初中數(shù)學(xué)-第28課時(shí)　與圓有關(guān)的位置關(guān)系

第28課時(shí)與圓有關(guān)的位置關(guān)系第六單元圓如果圓的半徑是r,點(diǎn)到圓心的距離是d,那么點(diǎn)在圓外?①

點(diǎn)在圓上?②

點(diǎn)在圓內(nèi)?③

考點(diǎn)一點(diǎn)和圓的位置關(guān)系考點(diǎn)聚焦d>rd=rd<r位置關(guān)系相離相切相交幾何圖形交點(diǎn)個(gè)數(shù)012d與r的大小關(guān)系d④

r

d⑤

r

d⑥

r

考點(diǎn)二直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系>=<切線(xiàn)的性質(zhì)圓的切線(xiàn)⑦

過(guò)切點(diǎn)的半徑

推論(1)經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)⑧

(2)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)⑨

切線(xiàn)的判定(1)和圓只有⑩

公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)

(2)如果圓心到一條直線(xiàn)的距離等于圓的?

,那么這條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)

(3)經(jīng)過(guò)半徑的外端并且?

這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)

常添輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)考點(diǎn)三切線(xiàn)的性質(zhì)與判定垂直于切點(diǎn)圓心一個(gè)半徑垂直于證圓的切線(xiàn)的技巧:(1)有公共點(diǎn),連半徑,證垂直;(2)無(wú)公共點(diǎn),作垂直,證半徑.切線(xiàn)長(zhǎng)

經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)切線(xiàn)長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn),它們的切線(xiàn)長(zhǎng)?

,這一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)?

兩條切線(xiàn)的夾角

基本圖形

如圖所示,點(diǎn)P是☉O外一點(diǎn),PA,PB分別切☉O于點(diǎn)A,B,AB交PO于點(diǎn)C,則有如下結(jié)論:(1)PA=PB;(2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP考點(diǎn)四切線(xiàn)長(zhǎng)與切線(xiàn)長(zhǎng)定理相等平分考點(diǎn)五三角形的外接圓與內(nèi)切圓外接圓內(nèi)切圓

圖形定義

經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓

與三角形各邊都相切的圓圓心O

外心(三角形三條邊的?

的交點(diǎn))

內(nèi)心(三角形三個(gè)內(nèi)角的?

的交點(diǎn))

垂直平分線(xiàn)角平分線(xiàn)（續(xù)表）外接圓內(nèi)切圓性質(zhì)

三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

三角形的內(nèi)心到三角形的三條邊的距離相等畫(huà)法

作三角形任意兩邊的垂直平分線(xiàn),其交點(diǎn)即為圓心O,以圓心O到任一頂點(diǎn)的距離為半徑作☉O即可

作三角形任意兩角的平分線(xiàn),其交點(diǎn)即為圓心O,過(guò)點(diǎn)O作任一邊的垂線(xiàn)段作為半徑,作☉O即可圖28-11.[2018·嘉興]用反證法證明時(shí),假設(shè)結(jié)論“點(diǎn)在圓外”不成立,那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系只能是 (

)A.點(diǎn)在圓內(nèi) B.點(diǎn)在圓上

C.點(diǎn)在圓心處 D.點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)題組一必會(huì)題對(duì)點(diǎn)演練D2.[九上P73習(xí)題第1題改編]已知☉O的直徑為10,圓心O到直線(xiàn)l的距離為3,則直線(xiàn)l與☉O的位置關(guān)系是 (

)A.相離 B.相切C.相交 D.無(wú)法確定C3.[九上P74習(xí)題第11題改編]如圖28-2,△ABC的周長(zhǎng)為24,面積為48,則△ABC的內(nèi)切圓的半徑是 (

)A.4 B.5 C.6 D.7圖28-2[答案]A4.[九上P73習(xí)題第4題改編]如圖28-3,AB是☉O的直徑,AD是☉O的弦,過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C.若AD=DC,則∠ABD=

°.

圖28-3[答案]455.[九上P69例4改編]如圖28-4,☉O是△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為D,E,F,∠B=60°,∠C=70°,則∠EDF的度數(shù)為

.

圖28-4[答案]65°題組二易錯(cuò)題【失分點(diǎn)】圖形不明確的情況下,忽視分類(lèi)討論而漏解;三角形的外接圓與三角形的內(nèi)切圓的概念混淆;證明切線(xiàn)時(shí)忽視直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)與無(wú)交點(diǎn)的區(qū)別.6.[2017·廣州]如圖28-5,☉O是△ABC的內(nèi)切圓,則點(diǎn)O是△ABC的 (

)A.三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)B.三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)C.三條中線(xiàn)的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)圖28-5B7.已知☉O的半徑為2,直線(xiàn)l上有一點(diǎn)P滿(mǎn)足PO=2,則直線(xiàn)l與☉O的位置關(guān)系是(

)A.相切 B.相離C.相離或相切 D.相切或相交D8.點(diǎn)P(非圓上一點(diǎn))到☉O的最小距離為4cm,最大距離為9cm,則☉O的半徑為

cm.

[答案]2.5或6.5考向一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圖28-6[答案]B考向二直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系例2

[2018·大慶]已知直線(xiàn)y=kx(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(12,-5),將直線(xiàn)向上平移m(m>0)個(gè)單位,若平移后得到的直線(xiàn)與半徑為6的☉O相交(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則m的取值范圍為

.

|考向精練|1.[九上P67例2]如圖28-7,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,AB是☉O的直徑,∠CAD=∠ABC.判斷直線(xiàn)AD與☉O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.圖28-7解:直線(xiàn)AD與☉O相切.理由如下:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°.又∵∠CAD=∠ABC,∴∠CAD+∠BAC=90°,即AD⊥AB.∵AB是☉O的直徑,∴直線(xiàn)AD與☉O相切(經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)).圖28-8圖28-8考向三圓的切線(xiàn)的性質(zhì)圖28-9例3

[2019·資陽(yáng)]如圖28-9,AC是☉O的直徑,PA切☉O于點(diǎn)A,PB切☉O于點(diǎn)B,且∠APB=60°.(1)求∠BAC的度數(shù);(2)若PA=1,求點(diǎn)O到弦AB的距離.解:(1)∵PA切☉O于點(diǎn)A,PB切☉O于點(diǎn)B,∴PA=PB,∠PAC=90°.∵∠APB=60°,∴△APB是等邊三角形,∴∠BAP=60°,∴∠BAC=∠PAC-∠BAP=30°.圖28-9例3

[2019·資陽(yáng)]如圖28-9,AC是☉O的直徑,PA切☉O于點(diǎn)A,PB切☉O于點(diǎn)B,且∠APB=60°.(2)若PA=1,求點(diǎn)O到弦AB的距離.|考向精練|1.[2019·無(wú)錫]如圖28-10,PA是☉O的切線(xiàn),切點(diǎn)為A,PO的延長(zhǎng)線(xiàn)交☉O于點(diǎn)B.若∠P=40°,則∠B的度數(shù)為 (

)A.20° B.25° C.40° D.50°圖28-10[答案]B2.[2019·福建]如圖28-11,PA,PB是☉O的兩條切線(xiàn),A,B為切點(diǎn),點(diǎn)C在☉O上,且∠ACB=55°,則∠APB等于 (

)A.55° B.70° C.110° D.125°圖28-11[答案]

B[解析][解析]連接OA,OB,∵PA,PB是☉O的兩條切線(xiàn),A,B為切點(diǎn),∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠ACB=55°,∴∠AOB=2∠ACB=110°,∴∠APB=360°-110°-90°-90°=70°.3.[2019·南京]如圖28-12,PA,PB是☉O的切線(xiàn),A,B為切點(diǎn),點(diǎn)C,D在☉O上.若∠P=102°,則∠A+∠C=

.

圖28-12[答案]219°

[答案]A

圖28-13圖28-14考向四圓的切線(xiàn)的判定方法圖28-15例4

[2019·淮安]如圖28-15,AB是☉O的直徑,AC與☉O交于點(diǎn)F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足為E.(1)試判斷直線(xiàn)DE與☉O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若☉O的半徑為2,∠BAC=60°,求線(xiàn)段EF的長(zhǎng).解:(1)直線(xiàn)DE與☉O相切.理由如下:如圖所示,連接OD,則OA=OD,∴∠ODA=∠BAD.∵弦AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠BAD,∴∠FAD=∠ODA,∴OD∥AF.又∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∵OD是☉O的半徑,∴直線(xiàn)DE與☉O相切.圖28-15例4

[2019·淮安]如圖28-15,AB是☉O的直徑,AC與☉O交于點(diǎn)F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足為E.(2)若☉O的半徑為2,∠BAC=60°,求線(xiàn)段EF的長(zhǎng).|考向精練|[2018·宿遷]如圖28-16,AB,AC分別是☉O的直徑和弦,OD⊥AC于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)A作☉O的切線(xiàn)與OD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P,PC,AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.(1)求證:PC是☉O的切線(xiàn);(2)若∠ABC=60°,AB=10,求線(xiàn)段CF的長(zhǎng).圖28-16解:(1)證明:連接OC,則OC=OA,∴∠OAD=∠OCD.∵OD⊥AC,∴∠ADO=∠CDO=90°,∴∠POA=∠POC.又∵OP=OP,∴△POA≌△POC.∵PA是☉O的切線(xiàn),∴∠PAO=90°,∴∠PCO=∠PAO=90°,即OC⊥PC.∴PC是☉O的切線(xiàn).[2018·宿遷]如圖28-16,AB,AC分別是☉O的直徑和弦,OD⊥AC于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)A作☉O的切線(xiàn)與OD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P,PC,AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.(2)若∠ABC=60°,AB=10,求線(xiàn)段CF的長(zhǎng).圖28-16考向五三角形的內(nèi)切圓與外接圓圖28-17例5

[2018·南京]結(jié)果如此巧合!下面是小穎對(duì)一道題目的解答.題目:如圖28-17,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC,BC相切于點(diǎn)E,F,CE的長(zhǎng)為x.根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.圖28-17例5

[2018·南京]結(jié)果如此巧合!下面是小穎對(duì)一道題目的解答.題目:如圖28-17,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC,BC相切于點(diǎn)E,F,CE的長(zhǎng)為x.根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.(2)證明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.根據(jù)勾股定理的逆定理,得∠C=90°.圖28-17例5