初中數學-第28課時　與圓有關的位置關系

第28課時與圓有關的位置關系第六單元圓如果圓的半徑是r,點到圓心的距離是d,那么點在圓外?①

點在圓上?②

點在圓內?③

考點一點和圓的位置關系考點聚焦d>rd=rd<r位置關系相離相切相交幾何圖形交點個數012d與r的大小關系d④

r

d⑤

r

d⑥

r

考點二直線和圓的位置關系>=<切線的性質圓的切線⑦

過切點的半徑

推論(1)經過圓心且垂直于切線的直線必過⑧

(2)經過切點且垂直于切線的直線必過⑨

切線的判定(1)和圓只有⑩

公共點的直線是圓的切線

(2)如果圓心到一條直線的距離等于圓的?

,那么這條直線是圓的切線

(3)經過半徑的外端并且?

這條半徑的直線是圓的切線

常添輔助線連接圓心和切點考點三切線的性質與判定垂直于切點圓心一個半徑垂直于證圓的切線的技巧:(1)有公共點,連半徑,證垂直;(2)無公共點,作垂直,證半徑.切線長

經過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間線段的長,叫做這點到圓的切線長切線長定理

從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長?

,這一點和圓心的連線?

兩條切線的夾角

基本圖形

如圖所示,點P是☉O外一點,PA,PB分別切☉O于點A,B,AB交PO于點C,則有如下結論:(1)PA=PB;(2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP考點四切線長與切線長定理相等平分考點五三角形的外接圓與內切圓外接圓內切圓

圖形定義

經過三角形的三個頂點的圓

與三角形各邊都相切的圓圓心O

外心(三角形三條邊的?

的交點)

內心(三角形三個內角的?

的交點)

垂直平分線角平分線（續(xù)表）外接圓內切圓性質

三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等

三角形的內心到三角形的三條邊的距離相等畫法

作三角形任意兩邊的垂直平分線,其交點即為圓心O,以圓心O到任一頂點的距離為半徑作☉O即可

作三角形任意兩角的平分線,其交點即為圓心O,過點O作任一邊的垂線段作為半徑,作☉O即可圖28-11.[2018·嘉興]用反證法證明時,假設結論“點在圓外”不成立,那么點與圓的位置關系只能是 (

)A.點在圓內 B.點在圓上

C.點在圓心處 D.點在圓上或圓內題組一必會題對點演練D2.[九上P73習題第1題改編]已知☉O的直徑為10,圓心O到直線l的距離為3,則直線l與☉O的位置關系是 (

)A.相離 B.相切C.相交 D.無法確定C3.[九上P74習題第11題改編]如圖28-2,△ABC的周長為24,面積為48,則△ABC的內切圓的半徑是 (

)A.4 B.5 C.6 D.7圖28-2[答案]A4.[九上P73習題第4題改編]如圖28-3,AB是☉O的直徑,AD是☉O的弦,過點B的切線交AD的延長線于點C.若AD=DC,則∠ABD=

°.

圖28-3[答案]455.[九上P69例4改編]如圖28-4,☉O是△ABC的內切圓,切點分別為D,E,F,∠B=60°,∠C=70°,則∠EDF的度數為

.

圖28-4[答案]65°題組二易錯題【失分點】圖形不明確的情況下,忽視分類討論而漏解;三角形的外接圓與三角形的內切圓的概念混淆;證明切線時忽視直線與圓有交點與無交點的區(qū)別.6.[2017·廣州]如圖28-5,☉O是△ABC的內切圓,則點O是△ABC的 (

)A.三條邊的垂直平分線的交點B.三條角平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高的交點圖28-5B7.已知☉O的半徑為2,直線l上有一點P滿足PO=2,則直線l與☉O的位置關系是(

)A.相切 B.相離C.相離或相切 D.相切或相交D8.點P(非圓上一點)到☉O的最小距離為4cm,最大距離為9cm,則☉O的半徑為

cm.

[答案]2.5或6.5考向一點與圓的位置關系圖28-6[答案]B考向二直線與圓的位置關系例2

[2018·大慶]已知直線y=kx(k≠0)經過點(12,-5),將直線向上平移m(m>0)個單位,若平移后得到的直線與半徑為6的☉O相交(點O為坐標原點),則m的取值范圍為

.

|考向精練|1.[九上P67例2]如圖28-7,△ABC是☉O的內接三角形,AB是☉O的直徑,∠CAD=∠ABC.判斷直線AD與☉O的位置關系,并說明理由.圖28-7解:直線AD與☉O相切.理由如下:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°.又∵∠CAD=∠ABC,∴∠CAD+∠BAC=90°,即AD⊥AB.∵AB是☉O的直徑,∴直線AD與☉O相切(經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).圖28-8圖28-8考向三圓的切線的性質圖28-9例3

[2019·資陽]如圖28-9,AC是☉O的直徑,PA切☉O于點A,PB切☉O于點B,且∠APB=60°.(1)求∠BAC的度數;(2)若PA=1,求點O到弦AB的距離.解:(1)∵PA切☉O于點A,PB切☉O于點B,∴PA=PB,∠PAC=90°.∵∠APB=60°,∴△APB是等邊三角形,∴∠BAP=60°,∴∠BAC=∠PAC-∠BAP=30°.圖28-9例3

[2019·資陽]如圖28-9,AC是☉O的直徑,PA切☉O于點A,PB切☉O于點B,且∠APB=60°.(2)若PA=1,求點O到弦AB的距離.|考向精練|1.[2019·無錫]如圖28-10,PA是☉O的切線,切點為A,PO的延長線交☉O于點B.若∠P=40°,則∠B的度數為 (

)A.20° B.25° C.40° D.50°圖28-10[答案]B2.[2019·福建]如圖28-11,PA,PB是☉O的兩條切線,A,B為切點,點C在☉O上,且∠ACB=55°,則∠APB等于 (

)A.55° B.70° C.110° D.125°圖28-11[答案]

B[解析][解析]連接OA,OB,∵PA,PB是☉O的兩條切線,A,B為切點,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠ACB=55°,∴∠AOB=2∠ACB=110°,∴∠APB=360°-110°-90°-90°=70°.3.[2019·南京]如圖28-12,PA,PB是☉O的切線,A,B為切點,點C,D在☉O上.若∠P=102°,則∠A+∠C=

.

圖28-12[答案]219°

[答案]A

圖28-13圖28-14考向四圓的切線的判定方法圖28-15例4

[2019·淮安]如圖28-15,AB是☉O的直徑,AC與☉O交于點F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足為E.(1)試判斷直線DE與☉O的位置關系,并說明理由;(2)若☉O的半徑為2,∠BAC=60°,求線段EF的長.解:(1)直線DE與☉O相切.理由如下:如圖所示,連接OD,則OA=OD,∴∠ODA=∠BAD.∵弦AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠BAD,∴∠FAD=∠ODA,∴OD∥AF.又∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∵OD是☉O的半徑,∴直線DE與☉O相切.圖28-15例4

[2019·淮安]如圖28-15,AB是☉O的直徑,AC與☉O交于點F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足為E.(2)若☉O的半徑為2,∠BAC=60°,求線段EF的長.|考向精練|[2018·宿遷]如圖28-16,AB,AC分別是☉O的直徑和弦,OD⊥AC于點D.過點A作☉O的切線與OD的延長線交于點P,PC,AB的延長線交于點F.(1)求證:PC是☉O的切線;(2)若∠ABC=60°,AB=10,求線段CF的長.圖28-16解:(1)證明:連接OC,則OC=OA,∴∠OAD=∠OCD.∵OD⊥AC,∴∠ADO=∠CDO=90°,∴∠POA=∠POC.又∵OP=OP,∴△POA≌△POC.∵PA是☉O的切線,∴∠PAO=90°,∴∠PCO=∠PAO=90°,即OC⊥PC.∴PC是☉O的切線.[2018·宿遷]如圖28-16,AB,AC分別是☉O的直徑和弦,OD⊥AC于點D.過點A作☉O的切線與OD的延長線交于點P,PC,AB的延長線交于點F.(2)若∠ABC=60°,AB=10,求線段CF的長.圖28-16考向五三角形的內切圓與外接圓圖28-17例5

[2018·南京]結果如此巧合!下面是小穎對一道題目的解答.題目:如圖28-17,Rt△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.解:設△ABC的內切圓分別與AC,BC相切于點E,F,CE的長為x.根據切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根據勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.圖28-17例5

[2018·南京]結果如此巧合!下面是小穎對一道題目的解答.題目:如圖28-17,Rt△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.解:設△ABC的內切圓分別與AC,BC相切于點E,F,CE的長為x.根據切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根據勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.(2)證明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.根據勾股定理的逆定理,得∠C=90°.圖28-17例5