2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊 4-4-2平面與平面垂直第2課時平面與平面垂直的性質(zhì) 學(xué)案

第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)教材要點(diǎn)要點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的，那么這條直線與另一個平面垂直．符號語言圖形語言作用①面面垂直?線面垂直；②作面的垂線狀元隨筆對面面垂直的性質(zhì)定理的理解（1）定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．（2）已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．基礎(chǔ)自測1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩個平面垂直，則經(jīng)過第一個平面內(nèi)的點(diǎn)作第二個平面的垂線必在第一個平面內(nèi)．（）（2）若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.（）（3）若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，則a⊥α.（）（4）三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．（）2.若兩個平面互相垂直，在第一個平面內(nèi)的一條直線a垂直于第二個平面內(nèi)的一條直線b，那么（）A．直線a垂直于第二個平面B．直線b垂直于第一個平面C．直線a不一定垂直于第二個平面D．過a的平面必垂直于過b的平面3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（）A．α∥γB．α⊥γC．α與γ相交但不垂直D．以上都有可能4.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是．題型1平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD.方法歸納（1）證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理．（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點(diǎn)：①兩個平面垂直；②直線必須在其中一個平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．跟蹤訓(xùn)練1已知：如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥平面PAB.題型2垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例2如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．（1）求證：PA⊥平面ABC；（2）當(dāng)E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．方法歸納（1）熟練垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解題的常規(guī)思路．（2）垂直關(guān)系證明的核心是線面垂直，準(zhǔn)確確定要證明的直線是關(guān)鍵，再利用線線垂直證明．跟蹤訓(xùn)練2如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為l.（1）求證：平面PBC⊥平面PAC.（2）求證：直線l⊥AC.eq\a\vs4\al(易錯辨析)平面與平面垂直的條件把握不準(zhǔn)確致誤例3（多選）已知兩個平面垂直，則下列說法中正確的有（）A．一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線B．一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線C．經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直D．過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面解析：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，對于A，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1與BD是異面直線，且夾角為60°，故A錯誤；B正確；對于C，A1A⊥平面ABCD，A1A?平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正確；對于D，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，過交線AD上的點(diǎn)作交線的垂線l，則l可能與另一平面垂直，也可能與另一平面不垂直，故D錯誤．故選BC.答案：BC易錯警示易錯原因糾錯心得對平面與平面垂直的條件把握不準(zhǔn)確，很容易認(rèn)為D正確，導(dǎo)致錯選為BCD.D選項(xiàng)其實(shí)與平面與平面垂直的性質(zhì)定理是不同的，即“兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直”與“兩個平面垂直，則過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，此垂線與另一個平面垂直”是不同的，關(guān)鍵是過點(diǎn)作的直線不一定在平面內(nèi)．課堂十分鐘1.已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是（）A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α2.已知平面α，β及直線a滿足α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，則（）A．a(chǎn)?βB．a(chǎn)⊥βC．a(chǎn)∥βD．a(chǎn)與β相交但不垂直3.已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β4.如圖，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O為AB中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個數(shù)為Ｗ．5.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，求證：平面SCD⊥平面SBC.第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)交線AB?αAB⊥CD[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：直線a與直線b均不一定垂直兩面的交線．答案：C3．解析：兩個平面都垂直于同一個平面，則這兩個平面可能平行，也可能相交，故A、B、C都有可能．答案：D4．解析：由題意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.答案：平行題型探究·課堂解透例1證明：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∵G為AD中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.跟蹤訓(xùn)練1證明：過點(diǎn)A作AE⊥PB，垂足為E.∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC?平面PBC，∴BC⊥AE.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA.又PA∩AE＝A，PA，AE?平面PAB∴BC⊥平面PAB.例2證明：(1)在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥AB于點(diǎn)G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.同理可證DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC(2)連接BE并延長交PC于點(diǎn)H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，AB?平面ABE，∴PC⊥AB又PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．跟蹤訓(xùn)練2證明：(1)因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以AB所對的圓周角∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAC，又因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PC，PB的中點(diǎn)，所以EF為△PCB的中位線，所以EF∥BC，又因?yàn)镋F?平面ACB，BC?平面ACB，所以EF∥平面ABC，又因?yàn)镋F?平面AEF，且平面AEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l，故l∥BC，由(1)知，BC⊥AC，所以l⊥AC.[課堂十分鐘]1．解析：根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理判斷．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，應(yīng)增加條件n⊥m，才能使n⊥β答案：B2．解析：由題意，α中存在直線b，b∥a，因?yàn)閍⊥AB，所以b⊥AB，因?yàn)棣痢挺?，α∩β＝AB，所以b⊥β，因?yàn)閎∥a，所以a⊥β答案：B3．解析：選項(xiàng)A缺少了條件l?α；選項(xiàng)B缺少了條件α⊥β；選項(xiàng)C缺少了條件α∩β＝m，l⊥m答案：D4．解析：∵CA＝CB，O為AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交線為AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD?平