專題05 軌跡方程的求法（教師版）-【高考總復(fù)習(xí)】2022高考數(shù)學(xué)滿分突破之解析幾何篇

文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)必刪專題05軌跡方程的求法【突破滿分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：1.動(dòng)點(diǎn)軌跡問題解題策略一般有以下幾種：直譯法：一般步驟為：①建系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點(diǎn),設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)；③列式,列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式；④代換,依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡；⑤證明,證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.(2)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；(4)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程．2.解軌跡問題注意：（1）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).

【考點(diǎn)精選例題精析】：定義法：定義法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。例1、已知中，、、的對(duì)邊分別為、、，若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，，求頂點(diǎn)的軌跡方程.【解析】：如右圖，以直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.由題意，構(gòu)成等差數(shù)列，（兩定點(diǎn)的距離等于定長—橢圓），即，又，的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中，，，故的軌跡方程為例2、已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線【解析】、建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0)設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn)則由題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入，得=λ,化簡得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸)(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0點(diǎn)M的軌跡是以(－，0）為圓心，為半徑的圓例3、【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.則,.所以.過點(diǎn)且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí),四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí),其方程為,,,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.直接法：直接法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。例4、已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)（如圖），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線．【解析】、設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有，即，．整理得，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．若，方程化為，它表示過點(diǎn)和x軸垂直的一條直線；若λ≠1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓．例5、【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。因此點(diǎn)P的軌跡方程為。（2）由題意知。設(shè),則，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F。參數(shù)法：參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。例6、過拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】、設(shè)，直線的斜率為，則直線的斜率為.直線OA的方程為，由解得，即，同理可得.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，消去，得，此即點(diǎn)的軌跡方程.例7、設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線【解析】、解法一設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x≠0)直線AB的方程為x=my+a由OM⊥AB，得m=－由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0所以y1y2=－4pa,x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2所以故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法二設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得∴AB的方程為，過定點(diǎn)，由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外）故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法三設(shè)M(x,y)(x≠0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OM⊥AB，得M既在以O(shè)A為直徑的圓……①上，又在以O(shè)B為直徑的圓……②上（O點(diǎn)除外），+②得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。例8、[2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)]已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．（I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.則.由題設(shè)可得，所以（舍去），.設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.而，所以.學(xué)科&網(wǎng)當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，所以，所求軌跡方程為.....12分代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。例9、如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程【解析】、設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程例10、如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)，則.在直線上，①又得即.②聯(lián)解①②得.又點(diǎn)在雙曲線上，，化簡整理得：，此即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.例11、雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程。【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，∵存在，∴由三角形重心坐標(biāo)公式有，即?！?，∴。已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有即所求重心的軌跡方程為：。交軌法：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。例12、如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)【解析】設(shè)及，又，可得直線的方程為------①；直線的方程為------②.由①x②得---------③.又，代入③得，化簡得，此即點(diǎn)的軌跡方程.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓.例13、拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡。【解析】點(diǎn)A、B在拋物線上，設(shè)A（，B（所以kOA=kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0①又OM的方程為②由①②消去得yA+yB即得，即得。所以點(diǎn)M的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓,除去點(diǎn)（0，0）。

【達(dá)標(biāo)檢測】：1、設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．【解析】、（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解得所以橢圓方程為．(2)設(shè)點(diǎn)解方程組得由和得其中t＞1．消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為和．其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分．2．（2021·江蘇高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)、以及直線，設(shè)長為的線段在直線l上移動(dòng)（如圖所示），求直線和的交點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】.【分析】由題設(shè)條件P、A、M三點(diǎn)共線，Q、B、M三點(diǎn)共線．若設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為，，利用三點(diǎn)共線導(dǎo)出相應(yīng)的關(guān)系式后，若從中解出a和b，再由，可求得x和y滿足的方程，即交點(diǎn)M的軌跡方程．【詳解】解：如圖所示，∵點(diǎn)A、B在直線上，設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為，，，其中．當(dāng)時(shí)，由、、三點(diǎn)共線，得，解出a，得①，由、、三點(diǎn)共線，得，解出b，得．②由條件，得．∴．③，由①、②、③式得．整理得①．④，當(dāng)時(shí)，兩直線和的交點(diǎn)M與點(diǎn)或點(diǎn)重合，得點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)都滿足方程④．總之，④式就是點(diǎn)M的軌跡方程．④式可改寫成．∴軌跡的圖形是雙曲線，它的中心是點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線上．3．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）求兩動(dòng)直線與的交點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用兩直線所過的定點(diǎn)，以及兩直線的斜率關(guān)系，建立等式，即可求軌跡方程.【詳解】令，，則直線的斜率，直線的斜率，所以．易知過定點(diǎn)，過定點(diǎn)．令與的交點(diǎn)為，因?yàn)椋嬖?，所以，所以，，所以，整理得，所以交點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：4．（2021·梅河口市第五中學(xué)高二開學(xué)考試）已知平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)的距離的倍．（1）求點(diǎn)的軌跡方程：（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求、兩點(diǎn)間距離的最大值；（3）若過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于、兩點(diǎn)，，則是否存在直線，使取得最大值，若存在，求出此時(shí)的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）14；（3）存在；或．【分析】（1）由已知列關(guān)于，的方程化簡即可求得點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，把的坐標(biāo)代入（1）中的軌跡方程，整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，由此可得、兩點(diǎn)間距離的最大值；（3）由題意知的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為，且，，，，則，聯(lián)立直線與圓的方程，由判別式大于0求得的范圍，再求出及到直線的距離，代入三角形面積公式，利用配方法求最值，得到值，可得直線方程．【詳解】解：（1）由已知，．，即，（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡方程為，即：，；（3）由題意知的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為，且，，則：，聯(lián)立方程：，，又直線不點(diǎn)，．點(diǎn)到直線的距離，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，直線得方程為或．5．（2021·寧波市北侖中學(xué)）如圖，已知，直線，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M；①已知，求的值；②求的最小值．【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）可設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線，過作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，則，則我們根據(jù)，構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于，的方程，化簡后，即可得到所求曲線的方程；（2）①由過點(diǎn)的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立直線方程后，利用設(shè)而不求的思想，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，易求的值．②根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，由，得，化簡得曲線的方程為；（2）由于直線不能垂直于軸，且又過軸上的定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，則，設(shè)，，聯(lián)立方程組消去得，，故由，，得利用對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，得，，整理得，，所以.②因?yàn)?，，所以有：由上可知：，因此有，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：結(jié)合基本不等式，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6．（2021·安徽省懷遠(yuǎn)縣第一中學(xué)高二月考（理））已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)、處的切線分別為、，且與交于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求點(diǎn)的軌跡方程；（3）是否存在滿足的點(diǎn)？若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，有兩個(gè)．【分析】（1）利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)一步可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線、的方程，可得出兩個(gè)等式，結(jié)合等式結(jié)構(gòu)可得出直線的方程，再點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，即可得出點(diǎn)的軌跡方程；（3）分析點(diǎn)的軌跡直線與橢圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，由橢圓定義可得，則，所以，，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、、，由，即，求導(dǎo)得，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，，所以，直線的方程為，同理，直線的方程為，為直線、的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)都滿足方程，所以，經(jīng)過點(diǎn)、的直線是唯一的，故直線的方程為，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)的軌跡方程為；（3）若，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，因?yàn)橹本€經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故直線與橢圓交于兩點(diǎn)．因此，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二次曲線的切點(diǎn)弦所在直線方程的方法如下：（1）設(shè)出兩切點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出曲線在兩切點(diǎn)處的切線方程；（2）將兩切點(diǎn)的公共點(diǎn)代入兩切線方程，通過說明兩切點(diǎn)的坐標(biāo)滿足某直線方程，可得出切點(diǎn)弦方程.7．（2021·沙坪壩·重慶一中高三月考）過點(diǎn)的直線與拋物線交于P、Q兩點(diǎn).（1）求線段PQ的中點(diǎn)B的軌跡方程；（2）拋物線C的焦點(diǎn)為F，若，求直線l的斜率的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，，，代入拋物線方程中，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得以線段PQ的中點(diǎn)B的軌跡方程.（2）設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再運(yùn)用向量的夾角運(yùn)算公式表示又，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，解之可得直線l的斜率的范圍.【詳解】解：（1）設(shè)，，，代入得，，又，所以線段PQ的中點(diǎn)B的軌跡方程為.（2）設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立得，得，所以，又，又，又所以直線l的斜率.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時(shí)若直線過x軸上的一點(diǎn)，可將直線設(shè)成橫截式.8．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)動(dòng)點(diǎn)在直線和上的射影分別為點(diǎn)和，已知，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過直線上的一點(diǎn)作軌跡的兩條切線和(，為切點(diǎn))，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）見詳解.【分析】（1）利用直接法求軌跡方程，設(shè)，則代入條件可得，化簡即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線斜率，設(shè)，可得切線、的方程，聯(lián)立可得切點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在直線上，代入可得，再代入到直線的方程即可得解.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，由條件可得，整理可得點(diǎn)的軌方程為；（2）由（1）知，，求導(dǎo)可得，設(shè)，則切線的方程為，即①，同理可得切線的方程為②，聯(lián)立①②，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，又直線的斜率，所以直線的方程為：，即，又，代入可得，所以直線過定點(diǎn).9．（2021·安徽省舒城中學(xué)高三（理））已知點(diǎn)M是圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的弦，并使弦的中點(diǎn)恰好落在y軸上．（1）求點(diǎn)N的軌跡E的方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線l與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)D，滿足，，證明：點(diǎn)D總在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）解法一：由題意知，，設(shè)是上的任意點(diǎn)，表示出弦的中點(diǎn)恰好落在軸上，，代入可得點(diǎn)的軌跡方程．解法二：設(shè)，弦的中點(diǎn)為，，表示出向量，由垂徑定理得，由此可得軌跡方程；（2）證明：設(shè)，，，直線的方程為．與拋物線的方程聯(lián)立得，得出根與系數(shù)的關(guān)系，．根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得出點(diǎn)所在定直線．【詳解】（1）解法一：由題意知，，設(shè)是上的任意點(diǎn)，弦的中點(diǎn)恰好落在軸上，，，，整理得，，，點(diǎn)的軌跡方程為．解法二：設(shè)，弦的中點(diǎn)為，，因?yàn)樵谳S的負(fù)半軸上，故．，由垂徑定理得，故．（2）證明：設(shè)，，，直線的方程為．由得，，．由，，得，，故，化簡得，又，故，化簡得，即，則或．當(dāng)點(diǎn)在定直線上時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題意不符．故點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時(shí)若直線過x軸上的一點(diǎn)，可將直線設(shè)成橫截式.10．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓P與圓Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圓P與直線x＝﹣1相切，記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的軌跡方程；（2）設(shè)過定點(diǎn)S（﹣2，0）的動(dòng)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試問：在曲線C上是否存在點(diǎn)M（與A，B兩點(diǎn)相異），當(dāng)直線MA，MB的斜率存在時(shí)，直線MA，MB的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）點(diǎn)或【分析】（1）設(shè)圓心，圓的半徑為，根據(jù)題意可得以及，聯(lián)立消去即求出曲線C的軌跡方程；（2）假設(shè)存在曲線上點(diǎn)滿足條件，設(shè)，可得，再聯(lián)立直線與曲線C的軌跡方程即可得到，代入上式即可得到，所以，方程組的解即為所求的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)圓心，圓的半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切,所以①，又動(dòng)圓與直線相切.所以②，聯(lián)立①②消去，可得．所以曲線的軌跡方程為.（2）假設(shè)存在曲線上點(diǎn)滿足條件，設(shè),則，,所以③顯然動(dòng)直線的斜率存在且不等于零，設(shè)，所以由，消去，得，由得或，所以,且，代入③得，令，為常數(shù)，整理得④因?yàn)棰苁綄?duì)任意恒成立.所以，所以或,即或即曲線上存在點(diǎn)或滿足題意.【點(diǎn)睛】本題第一問求軌跡方程，直接法即可求出，第二問解題關(guān)鍵是根據(jù)曲線的形式，設(shè)，聯(lián)立后得到的關(guān)系，設(shè)進(jìn)而整理成關(guān)于的方程，根據(jù)方程恒成立，得到方程組，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過原點(diǎn)且斜率大于零的直線l交曲線C于點(diǎn)P（異于原點(diǎn)O），過點(diǎn)P作圓的切線交C于另一點(diǎn)Q，證明：為定值．【答案】（1）曲線M的軌跡方程為和；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出所滿足的方程，化簡方程可求得的軌跡方程；（2）設(shè)出直線的斜率，分別接慮直線的斜率是否存在；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，計(jì)算出坐標(biāo)求解出的值，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，根據(jù)直線與圓相切得到的關(guān)系式，再根據(jù)聯(lián)立思想得到韋達(dá)定理形式，由此通過計(jì)算得出為定值.【詳解】（1）設(shè)，由題意：兩邊平方可得：當(dāng)時(shí)，化簡可得，當(dāng)時(shí)，，所以曲線M的軌跡方程為和；（2）法1：由題意可知，設(shè)直線、的斜率分別是，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，解得，，，，則．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由題意知，，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即．聯(lián)立方程組得到一元二次方程，設(shè)，，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，又，，則綜上可知為定值2．法2：由題意可知，設(shè)直線、的斜率分別是，，由題意可知直線的斜率不能為0，故可設(shè)的方程為；因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即．聯(lián)立方程組得到一元二次方程．設(shè)，，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，則．又，，則．即為定值2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題第二問的關(guān)鍵在于通過聯(lián)立的思想得到坐標(biāo)所滿足的關(guān)系以及通過相切關(guān)系得到對(duì)應(yīng)參數(shù)間的等量關(guān)系，借助坐標(biāo)將斜率之差變形為和韋達(dá)定理有關(guān)的形式，從而達(dá)到判斷是否為定值的目的.12．（2021·四川南充·高三（理））已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長為．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）若在軌跡上，過點(diǎn)作軌跡的弦，，若，證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，直線過定點(diǎn)．【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，當(dāng)不在軸上時(shí)，軌跡方程為；當(dāng)在軸上時(shí)，與原點(diǎn)重合，即得軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立直線和拋物線的方程得到韋達(dá)定理，由得，即得直線過定點(diǎn)．【詳解】解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，由題可知，當(dāng)不在軸上時(shí)，過作交于，則是的中點(diǎn)．所以，化簡得當(dāng)在軸上時(shí)，動(dòng)圓過定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長為，所以與原點(diǎn)重合，即點(diǎn)也滿足方程，綜上，動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為（2）因?yàn)樵谏?，所以，設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立，得，由得，，．因?yàn)?，所以．所以，又因?yàn)?，，所以，所以或，所以或所以或．因?yàn)楹愠闪?，所以，所以直線的方程，所以直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn).13．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））線段的長等于，兩端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的動(dòng)直線，交曲線于、兩點(diǎn)，若為曲線的左頂點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，求證：為定值，并求出該定值．【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、、，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出代入等式化簡可得出曲線的方程；（2）將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由直線的斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)、、，由于，則①，，，可得到，代入①式得點(diǎn)的軌跡方程為；（2）設(shè)的方程為，由（1）知，由，消去整理得：.設(shè)、，則，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．14．（2021·河北張家口·高三）已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足：直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線.拋物線與在第一象限的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作直線l交曲線于點(diǎn)B.交拋物線于點(diǎn)E(點(diǎn)B，E不同于點(diǎn)A).（1）求曲線的方程.（2）是否存在不過原點(diǎn)的直線l，使點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)？若存在，求出p的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，p的最大值為.【分析】（1）利用斜率公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l與橢圓的方程聯(lián)立、直線l與拋物線方程聯(lián)立、拋物線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、基本不等式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，.，，即，即，曲線C1的方程為.（2）設(shè)，，，顯然直線l存在斜率，設(shè)，，，.又，，，因此有，，，，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為，即.此時(shí)，直線不過點(diǎn)M，N.故存在不過原點(diǎn)的直線，使點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，且p的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過解方程組求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.15．（2021·全國高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線上的動(dòng)點(diǎn)分別作的兩條切線、（、為切點(diǎn)），為弦的中點(diǎn)，直線：分別與軸、軸交于點(diǎn)、，求的面積的取值范圍.【答案】（1），曲線是以為圓心，半徑為2的圓；（2）.【分析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)，代入距離比關(guān)系式，化簡方程可得；（2）先求切點(diǎn)弦方程，再根據(jù)切點(diǎn)弦過定點(diǎn)及弦中點(diǎn)性質(zhì)得出N點(diǎn)軌跡，然后求出動(dòng)點(diǎn)N到定直線EF的距離最值，最后求出面積最值.切點(diǎn)弦方程的求法可用以下兩種方法.法一：由兩切點(diǎn)即為兩圓公共點(diǎn)，利用兩圓相交弦方程（兩圓方程作差）求出切點(diǎn)弦方程；法二：先分別求過Q、R兩點(diǎn)的切線方程，再代入點(diǎn)P坐標(biāo)，得到Q、R兩點(diǎn)都適合的同一直線方程，即切點(diǎn)弦方程.【詳解】解：（1）設(shè)，由，得.化簡得，即.故曲線是以為圓心，半徑為2的圓.（2）法一(由兩圓相交弦方程求切點(diǎn)弦方程)：由題意知,、與圓相切，、為切點(diǎn)，則，，則D、R、P、Q四點(diǎn)共圓，Q、R在以為直徑的圓上(如圖).設(shè)，又，則的中點(diǎn)為，.以線段為直徑的圓的方程為，整理得①(也可用圓的直徑式方程化簡得.)又、在：②上，由兩圓方程作差即②①得：.所以，切點(diǎn)弦所在直線的方程為.法二(求Q、R均滿足的同一直線方程即切點(diǎn)弦方程)：設(shè)，，.由，可得處的切線上任一點(diǎn)滿足(如圖)，即切線方程為.整理得.又，整理得.同理，可得處的切線方程為.又既在切線上，又在切線上，所以，整理得.顯然，，的坐標(biāo)都滿足直線的方程.而兩點(diǎn)確定一條直線，所以切點(diǎn)弦所在直線的方程為.則恒過坐標(biāo)原點(diǎn).由消去并整理得.設(shè)，，則.點(diǎn)縱坐標(biāo).因?yàn)?，顯然，所以點(diǎn)與點(diǎn)，均不重合.(或者由對(duì)稱性可知，的中點(diǎn)N點(diǎn)在x軸上當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，因?yàn)?，點(diǎn)P不在x軸上，則點(diǎn)N也不在x軸上，所以點(diǎn)與、均不重合.)因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，且為圓心，由圓的性質(zhì)，可得，即(如圖).所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心為，半徑.因?yàn)橹本€分別與軸、軸交于點(diǎn)、，所以，，.又圓心到直線的距離.設(shè)的邊上的高為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為；點(diǎn)到直線的距離的最大值為(如圖).則的最小值，最大值.因此，的面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】設(shè)是圓錐曲線外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)所在的直線方程為切點(diǎn)弦方程.常見圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程有以下結(jié)論：圓的切點(diǎn)弦方程：，圓的切點(diǎn)弦方程：橢圓的切點(diǎn)弦方程：；雙曲線的切點(diǎn)弦方程：；拋物線的切點(diǎn)弦方程為：.特別地，當(dāng)為圓錐曲線上一點(diǎn)時(shí)，可看作兩切線重合，兩切點(diǎn)A、B重合，以上切點(diǎn)弦方程即曲線在P處的切線方程.16．（2021·全國高三）在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，平面內(nèi)兩點(diǎn)，同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：①是三條邊中線的交點(diǎn)；②是的外心；③．（Ⅰ）求的頂點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）若點(diǎn)與（Ⅰ）中軌跡上的點(diǎn)，三點(diǎn)共線，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)出三點(diǎn)所在的直線方程，與（Ⅰ）中的軌跡方程聯(lián)立，由判別式大于0求出的范圍，利用韋達(dá)定理得到，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，將表示為的關(guān)系式，進(jìn)一步得到的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）設(shè)，，，因?yàn)槭堑耐庑模?，所以在線段的中垂線上，所以．因?yàn)?，所以．又是三條邊中線的交點(diǎn)，所以是的重心，所以，，所以．又，所以，化簡得（），所以頂點(diǎn)的軌跡方程為（）．（Ⅱ）因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，，三點(diǎn)所在直線斜率存在且不為0，設(shè)所在直線的方程為，聯(lián)立得．由，得．設(shè)，，則所以．又，所以，所以．故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理得到，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，將表示為的關(guān)系式.17．（2021·江西上饒·高三（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之和等于直線的斜率.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過作斜率為的直線與軌跡相交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與分別交軌跡于點(diǎn)、，設(shè)直線的斜率為，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（且）；（2）存在，使得.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用化簡可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，求出直線、的方程，分別將這兩條直線與曲線的方程聯(lián)立，求出、，利用斜率公式求出，進(jìn)而可得出的值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，即，則且.整理可得（且）.因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（且）；（2）設(shè)點(diǎn)，則，解得，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為