作業(yè)02 垂直平分線與角平分線-2021年八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（北師大版）（解析版）

作業(yè)02垂直平分線與角平分線

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分120分，完成時(shí)間90分鐘，試題共25題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置.

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)（70分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2021?北京門(mén)頭溝區(qū)?八年級(jí)期末）下列命題的逆命題是假命題的是（）

A.直角三角形兩銳角互余B.全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

C.兩直線平行，同位角相等D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

【答案】B

【分析】先分別寫(xiě)出這些定理的逆命題，再進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：4直角三角形的兩銳角互余的逆命題是兩銳角互余的三角形是直角三角形，是真命題；

B.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，是假命題：

C.兩直線平行，同位角相等的逆命題是同位角相等，兩直線平行，是真命題；

D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的逆命題是到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上，是真命題.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命

題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.

2.（2020?湖南長(zhǎng)沙市?八年級(jí)月考）在元旦聯(lián)歡會(huì)上，三個(gè)小朋友分別站在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，

他們玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰(shuí)先做到凳子上誰(shuí)就獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放

在三角形的（）

A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等可得答案.

【詳解】解：???三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

...為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚娜叺拇怪逼椒志€的交點(diǎn)，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查游戲公平性，判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，

概率相等就公平，否則就不公平，并熟練掌握三角形內(nèi)心、外心、垂心和重心的性質(zhì).

3.（2020?河南省直轄縣級(jí)行政單位?八年級(jí)月考）如圖為三條兩兩相交的公路，某石化公司擬建立一個(gè)加

油站，計(jì)劃使得該加油站到三條公路的距離相等，則加油站的可選位置有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，作三角形的三外角平分線，有三個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線有一個(gè)交點(diǎn)，但除去

深水湖泊那個(gè)交點(diǎn)，共有3個(gè).

【詳解】解：根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等可知，

三角形內(nèi)心（即三角形內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)）為1個(gè)位置，

另外兩外角平分線的交點(diǎn)，到三條公路的距離也相等，可找到3個(gè)，

但因?yàn)橛?個(gè)在深水湖泊，所以，有3個(gè)，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?浙江寧波市?八年級(jí)期末）如圖，△MC中，的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)。、E，

AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G,若如C=1OO。，則NE4G的度數(shù)是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC+NB,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB,根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)得到NEAB=NB,同理，ZGAC=ZC,計(jì)算即可.

【詳解】解：：NBAC=100°,ZC+ZB=180°-100°-80°,

「DE是AB的垂直平分線，；.EA=EB,.*./EAB=NB,同理：ZGAC=ZC,

AZEAB+ZGAC=ZC+ZB=80°,AZEAG=100°-80°=20°,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線

段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?貴州黔東南苗族侗族自治州?八年級(jí)月考）如圖，已知AABC,求作一點(diǎn)P,使P到/A的兩邊的

距離相等，且PA=PB.則對(duì)點(diǎn)P位置的判斷，正確的是（）

A.P為NA、NB兩角平分線的交點(diǎn)B.P為NA的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)

C.P為AC、AB兩邊上的高的交點(diǎn)D.P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的逆定理解題.

【詳解】「P到NA的兩邊的距離相等，；.P在NA的角平分線上，

???PA=PB,二P在線段AB的垂直平分線上，故P為NA的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定、線段垂直平分線的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解

題關(guān)鍵.

6.（2021?河南鄭州市?八年級(jí)期末）已知銳角NAO3,如圖

（1）在射線。4上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧MN,交射線OB于點(diǎn)O,連接CO；

（2）分別以點(diǎn)C,。為圓心，C。長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸，連接CROP；

（3）作射線OP交CO于點(diǎn)Q.根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，有如下結(jié)論：①CPHOB；②CP=2QC；

③ZAOP=ZBOP；@CD1OP.其中正確的有（）

C.③④D.③

【答案】B

【分析】由作圖易判斷射線OP為NAC出的角平分線，又為CD的垂直平分線，△CD尸為等邊三角形，由

它們的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由作圖（1）（2）可知OC=OD,CP=DP,

二射線OP為NAO5的角平分線，又為CD的垂直平分線..?.即NAOP=NBOP,CDLOP,故③④正確;

山作圖（2）可知CP=CD=DP,即ACDP為等邊三角形，

又,：CDLOP,...CP=2CQ,故②正確；

若CP〃0B,則NCPO=NBOP,又,；ZA0P=4B0P,；.NCPO=NAOP,：.OC=PC,

故只有當(dāng)OC=PC時(shí)，CPIIOB,故①錯(cuò)誤.綜上，正確的有②③④.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).理

解作圖步驟隱藏的已知信息是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）

6.（2021?江蘇南京市?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，NBAC=30。，4尸平分/BAC,GF垂直平分4P,交AC于

F,Q為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，若尸。的最小值為3,則AF的長(zhǎng)為.

【答案】6

【分析】作P//L4C于從連接PF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出P”，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到必=

尸尸，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出/戶口，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：作于H,連接PF,當(dāng)PQLAB時(shí)，PQ的最小，

平分/BAC,PQLAB,PH±AC,:.PH=PQ=3,ZPAB=ZPAC=\50,

尸垂直平分AP,：.FA=FP,：.ZFPA=ZPAC=\5°,ZPF//=30°,

:.PF=2PH=6,.\AF=6,故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，掌握角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)以及

含30。角的直角二角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

8.（2021?浙江湖州市?八年級(jí)期末）如圖，在等腰三角形A8C中，AB=AC,ABAC=40°,D是BC

的中點(diǎn)，?！阓1至于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF=DE，連接A/,則ZF的度數(shù)為°.

【答案】70

【分析】由AB=4C，ZBAC^40°,。是的中點(diǎn)，求解NB=70。,證明A￡>_L8C,再求解

NAOE=70。，證明ZF=NAOE,從而可得答案.

【詳解】解：???AB^AC,NE4C=40°,。是5c的中點(diǎn)，

/.ZB=ZC=1（180°-40°）=70°,AD±BC,

???DEA.AB,.'.ZDEB=90°,ZBDE=90°-70°=20°,，NAOE=90。一20。=70。，

DELAB,EF=DE，：.AF=AD,：.ZFZADE^70°.故答案為：70.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的定義與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

9.（2020?常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，在AABC中，AB、AC邊的垂直平分線分別交

BC邊于點(diǎn)M、N.若BM^+CN?=MM,則NBAC=

【分析】連接AM,AN,由勾股定理的逆定理證出4AMN是直角三角形，NM4N=90°，證出

ZAMN=2/B,ZANM=2/C,得出+Z.ANM=2（N8+N。）=90。，證出

AB+AC=45°.由三角形內(nèi)角和定理可得出答案;

【詳解】如圖，連接AM,AN,

?.?AB,AC邊的垂直平分線分別交BC邊與點(diǎn)M,N,；.BM=AM,CN=AN,二ZB=Za4Af./C=/CAN，

BM2+CN2=MN2，,AM2+AN2=MN2，.二△AMN是直角三角形，NM47V=9O°，

,/￡AMN=々+/BAM，ZAW=NO+Z.CAN，，ZAMN=2ZJ3,ZANM=2ZC.

Z.AMN+ZAW=2（N6+NC）=90°,AN夕+NC=45°,

ABAC=180°-（N8+NC）=180°-45°=135°.故答案是135°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?北京房山區(qū)?八年級(jí)期末）已知等邊三角形ABC.如圖，

（1）分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)；

2

（2）作直線MN交A3于點(diǎn)。；

（3）分別以點(diǎn)A,C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于H,L兩點(diǎn);

2

（4）作直線“L交AC于點(diǎn)E；（5）直線MN與直線"L相交于點(diǎn)O；

（6）連接。4,OB,OC.根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論：

①OC=2OD；②AB=2OA；③OA=OB=OC；④ZDOE=120°,正確的是.

【答案】①③④

【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)O是三邊中垂線的交點(diǎn)，從而結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)以及中垂線的性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)

分析即可.

【詳解】由題可得點(diǎn)o為等邊三角形ABC三邊中垂線的交點(diǎn)，g|j：MN±AB,HL1AC,

.,?根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：ZDAO=ZEAO=30°,AD=AE,.-.△ADO^AAEO,.,.OD=OE,

又根據(jù)中垂線的性質(zhì)得/EAO=NECO=30。，...在RtZ\COE中，OC=2OE,；.OC=2OD,故①正確：

在RtZ\ABE中，顯然AB=2AE,而OA>AE,.\AB/2OA,故②錯(cuò)誤；

根據(jù)中垂線性質(zhì)可得OA=OB,OA=OC,.\OA=OB=OC,故③正確；

在四邊形ADOE中，ZADO=ZAEO=90°,ZDAE=60°,

/.ZDOE=360o-90°x2-60o=120°,故④正確；故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的畫(huà)法和性質(zhì)，以及全等三角形判定與性質(zhì)，理解題

意中所作圖形的本質(zhì)是解題關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共5小題，共40分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟）

11.（2020?壽光市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）（1）小明在生活中遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,A、B、。表

示三個(gè)村莊，現(xiàn)在要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站P,要求它到三個(gè)村莊的距離相等，請(qǐng)確定其位置.

A

*

B

在學(xué)習(xí)了《圖形的軸對(duì)稱》這一章后，你能幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題嗎？（不要求作圖，只簡(jiǎn)要說(shuō)明你的思

路及依據(jù)）（2）通過(guò)上述題目的解決，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中可以解決很多類似的問(wèn)題，那么請(qǐng)你利用手中

的直尺（不能使用圓規(guī)），在下列正方形網(wǎng)格中找到一點(diǎn)。，使的它到4、3、C三點(diǎn)的距離相等.（注

意保留作圖痕跡）

圖1圖2圖3

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）構(gòu)造線段AB、AC,分別作兩條線段的垂直平分線即可解決問(wèn)題：

（2）根據(jù)（1）作出兩條線段垂直平分線，其交點(diǎn)即為所求.

【詳解】（1）構(gòu)造線段AB、AC,分別作兩條線段的垂直平分線，交于點(diǎn)P,此時(shí)P為所作的貨物中轉(zhuǎn)

站，原理是線段垂宜平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等/4。=40。.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.（2020?江西南昌市?八年級(jí)期中）如圖，在中，已知：A8=10,AC=8,A。是它的角平分線,

S43

且Z）E=4.（1）求AABC的面積；（2）在解完（1）問(wèn)后，小智經(jīng)過(guò)反思后發(fā)現(xiàn)瞪儂"=

小慧發(fā)現(xiàn)”='2,請(qǐng)判斷小智和小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正確，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若錯(cuò)誤，請(qǐng)說(shuō)明理由.

ACCD

【答案】（1）36,（2）都正確，證明見(jiàn)詳解

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DFLAB于F,AD是它的角平分線，DE_LAC利用角平分線性質(zhì)有DF=DE,

分別求S^ABD和SAACD?則SAABC=SAABD+SAACD計(jì)算即可

（2）都正確AD是它的角平分線，DE1AC,DFLAB,則DE=DF,由（1）知SAABD=」AB?DF,

2

SAACD=，AC?DE,求兩個(gè)三角形面積之比，

2

過(guò)A作AGLBCTG,AG是4ABD的高，也是AACD的高，分別求出利用高表示的三角形的面積

SAABD=LBD?AG,SMCDM’DOAG,再求求兩個(gè)三角形面積之比即可?

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D作DFLAB于F,AD是它的角平分線，DE1AC,DF=DE=4,

====

SAABD—AB*DF=-x1Ox4=20,SAACD—AC*DE=—x8x4=16,SAABCSAABD+SAACD20+16=36,

2222

AD是它的角平分線，DELAC,DF±AB,則DE二DF,

q-AB-DF

“△ABD2_______AB

SAABD=—AB?DF,SAACD=—AC?DE二—AC?DF~AC

222S^ACD工AC-DE

2

過(guò)A作AG_LBC于G,SZ.AA/AROLDJ=-BD.AG,SxAAAZWC-LDz=-DC-AG,

ABDF

sBD'AG_BDVS^ABD_\-_ABj=絲==嗎

S&ACD1DC.AGDCS^ACD-AC*DE^^.ACDDC

22

小智和小慧的發(fā)現(xiàn)都正確.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面枳與角平分線定理，掌握三角形的面枳與角平分線定理，會(huì)求三角形的面積,

會(huì)用面積證明角分線分得的兩線段的比是解題關(guān)鍵.

13.（2021?江蘇鎮(zhèn)江市?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分

線QV交于點(diǎn)。，這兩條垂直平分線分別交于點(diǎn)。、￡.（1）若30°,NACB=40。，求//ME

度數(shù)；（2）已知AADE的周長(zhǎng)Um,分別連接。A、OB、OC,若AOBC的周長(zhǎng)為27an,求。4的長(zhǎng).

【答案】（1）40。；（2）8cm

【分析】（1）求出N3AC=U0。，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=OB,EA=EC,可求出答案；

（2）根據(jù)AAOE的周長(zhǎng)11C771,求出BC,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求出OB+OC,根據(jù)線段垂直平分線的性

質(zhì)得到08=0C,計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）VZASC=30°,ZACB=40°,

/.ZBAC=180-ZABC-ZACB=180°—30°-40°=110°,

?.?。以是線段48的垂直平分線，二94=。氏；./￡>45=/48。=30。,，同理，EA=EC,

ZEAC=ZACB=40°,/.ZDAE=ZBAC-NBAD-ZEAC=110°-30°-40°=40°,

（2）連接。4,OB,OC,

,.?△ADE的周長(zhǎng)11cm,AD+DE+EA-ii^ctn),

BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=ll(c/n)；

?.?△OBC的周長(zhǎng)為27,:.OB+OC+BC^T1,-：BC=U,:.OB+OC=\6,

QOM垂直平分AB,OA=OB,同理，OA=OC,：.OA^OB=OC=8(cm)

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線

段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

14.(2021?安徽阜陽(yáng)市?八年級(jí)期末)己知：如圖，點(diǎn)A，3在NMQV的邊OM,ON上,Q4的垂直平

分線Cq與OB的垂直平分線ZJP相交于點(diǎn)P,連接Q4，PO,PB，AB.

(1)求證：①P4=P3；②NAP3=2NCP￡)；(2)探究：NMQV滿足什么條件時(shí)，APAB是等邊

三角形，并說(shuō)明理由；(3)若。4=03,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出符合條件的圖形，并探究NCP。與/4PB之

間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；(2)ZMON=150°.理由見(jiàn)解析；(3)作圖，見(jiàn)解析，

ZCPO=-ZAPB,理山見(jiàn)解析.

4

【分析】(1)①利用線段垂直平分線的性質(zhì)，等量代換即可；②利用角的平分線的性質(zhì)，代換計(jì)算即可；

(2)利用四邊形PCOD的內(nèi)角和為360。，計(jì)算得證；

(3)證明RtAPCO/RtAPDO(HL)即可得證.

【詳解】(1)證明：①?.?CP為04的垂直平分線，.=同理：PB=PO,:.PA=PB.

②?.?弘=PO,PCLOA,:.ZAPC=ZOPC=-ZAPO,同理.，NBPD=NOPD='NBPO,

22

ZAPB=ZAPO+ZBPO=2Z.CPO+2ZDPO=2(NCP。+NOP。)=2ZCPD；

(2)ZMON=150°.

理由：???NCPO+NCOP=90°,ZDPO+ZDOP=90°,ZMON+ZCPD=180°.

???ZMQN=150°,.-.ZCPD=180°-150°=30°,

由(1)得NAP3=2NCPr)=60°，P4=P3，.?.△BAB是等邊三角形；

(3)作圖如下，NCPO=L/APB.

4

理由：?.?OC=，OA,OD=、OB,OA=OB,：.OC=OD*

22

OC=OD

在和RtZ^POO中，cz，RtAPCORt/\PDO(HL),:"CPO=/DPO，

OP=Or

由（1）得ZAPC=NOPC,NBPD=ZOPD,ZAPC=ZCPO=ZOPD=NBPD,

：.ZCPO=-ZAPB.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線，角的平分線，等邊三角形的判定，直角三角形的全等，熟記性質(zhì),

靈活運(yùn)用等量代換思想，-一般與特殊思想是解題的關(guān)鍵.

15.（2020?東北師大附中明珠學(xué)校八年級(jí)期中）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部

分內(nèi)容.

線段垂直平分線：我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸.如圖，直線MN

是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連結(jié)附、PB.將線段AB沿直線對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)必與

P8完全重合.由此即有:

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

已知：如圖，MN_LAB,垂足為點(diǎn)C,AC=BC,點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn)求證：PA=PB.

分析：圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC,只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得必=PB.

圖③

（1）請(qǐng)根據(jù)教材中的分析,結(jié)合圖①，寫(xiě)出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理''完整的證明過(guò)程;

（2）如圖②，在AABC中,直線/,m,”分別是邊A8,BC,AC的垂直平分線.

求證：直線/、相、〃交于一點(diǎn)；（請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整）

證明：設(shè)直線/,，"相交于點(diǎn)O.

（3）如圖③，在AABC中，AB=BC,邊A8的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，邊BC的垂直平分線交4c于點(diǎn)E,

若/A8C=120。，4c=15,則OE的長(zhǎng)為

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）5

【分析】（1）證明△以C絲△PBC即可解決問(wèn)題.（2）如圖②中，設(shè)直線/、"?交于點(diǎn)。，連結(jié)AO、B0、

CO.利用線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題即可.（3）連接8Q,BE,證明ABDE是等邊三角形即

可.

【詳解】證明：（1）如圖①中，

AC=BC

在△%C和A/WC中，＜NPCA=NPCB,：.^PAC^/\PBCCSAS）,：.PA=PB.

PC=PC

（2）如圖②中，設(shè)直線/、，”交于點(diǎn)O,連結(jié)AO、BO、CO.

?直線/是邊48的垂直平分線，.?.OAnOB,

又?直線，”是邊8c的垂直平分線，.?.OBnOC,，OA=OC,

.?.點(diǎn)。在邊AC的垂直平分線〃上，直線/、/"、"交于點(diǎn)O.

（3）解：如圖③中，連接80,BE.

'：BA=BC,NA8C=120°,AZA=ZC=30°,

?邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,邊BC的垂宜平分線交AC于點(diǎn)E,

：,DA=DB,EB=EC,：.ZA=ZDBA=30°,NC=NEBC=30°,

：.NBDE=NA+/OBA=60。，NBED=ZC+ZEBC=60°,

，ABDE是等邊三角形，：.AD=BD=DE=BE=EC,

VAC=15,.*.OE=2AC=5.故答案為5.

3

【點(diǎn)睛】本題屬丁幾何變換綜合題，考查J'線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

能力培優(yōu)（50分）

一、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2020?浙江八年級(jí)期末）如圖，AABC中，ZBAC=60°,ZBAC的平分線與邊的垂直平分

線MO相交于。，DEJLAB交AB的延長(zhǎng)線于E,。尸_LAC于凡現(xiàn)有下列結(jié)論：?DE=DF-.②

DE+DF=AD^③。M平分NEOE;④AB+AC=24E,其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知NE4D=NR4T>=30°,故此可知ED=JA。，

2

DF=-AD,從而可證明②正確；③若DM平分NEZ）尸，則NEDM=60。，從而得到NABC為等邊三

2

角形，條件不足，不能確定，故③錯(cuò)誤；④連接30、DC,然后證明AEBDvAD尸C,從而得到班=R7,

從而可證明④.

【詳解】解：如圖所示：連接8。、DC.

①AD平分N8AC,DELAB,DEJ.AC，=二①正確.

②；/￡4。=60°,AO平分Z￡L4C,:.ZEAD=ZFAD=30°.

,.DE-LAB>：.ZAED=90°.-.?ZA￡D=90°,ZE4￡>=30°.:.ED=^AD.

同理.：OF=，A。..?.￡)E+DF=A￡)..?.②正確.

2

③由題意可知：Z￡：ZM=ZA￡>F=60°.假設(shè)平分ZEDF,則NEDW=60°,

又,；ZE=ZBMD=9O。,:.ZEBM=\2O°.,-.Z^BC=60°.

ZABC是否等于60。不知道，二不能判定MD平分NEDF，故③錯(cuò)誤.

④?.?DM是BC的垂直平分線，，。臺(tái)二。。.

DE=DF

在Rt/XBED和RtACFD中《，/.RtABED=RtACFD.

BD=DC

；.BE=FC.AB+AC=AE-BE+AF+FC

又；4E=AF，BE=FC,:.AB+AC=2AE.故④正確.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握本

題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?浙江八年級(jí)期末）如圖在AABC中，NABC和4cB的平分線交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作所〃5c交

AB于E，交AC于F，過(guò)點(diǎn)G作GO_LAC于。，下列四個(gè)結(jié)論：其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

①EF=BE+CF；②N3GC=90°+NA；③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；

④設(shè)G￡>=m,AE+AF=〃，則5小b=加〃；⑤廠的周長(zhǎng)等于他+AC的和.

【答案】C

【分析】①根據(jù)NABC和乙4cB的平分線相交于點(diǎn)G可得出/E8G=NCBG,NBCG=NFCG,再由E尸〃

8c可知NC8G=NEG8,NBCG=NCGF,故可得出BE=￡G,GF=CF,由此可得出結(jié)論；②先根據(jù)角平分

線的性質(zhì)得出NG8C+/GC8=L（N4BC+NAC8）,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；③根據(jù)三角形

2

角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；④連接AG,由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；⑤根據(jù)BE=EG,GF=CF,

進(jìn)行等量代換可得結(jié)論.

【詳解】解：①??,/ABC和/AC3的平分線相交于點(diǎn)G,.?./E2G=/C3G,NBCG=NFCG.

'：EF//BC,:.NCBG=NEGB,NBCG=NCGF,:.NEBG=NEGB,NFCG=NCGF,

：.BE=EG,GF=CF,：.EF=EG+GF=BE+CF,故①正確;

②；/ABC和/ACB的平分線相交于點(diǎn)G,

AZGBC+ZGCB=-QZABC+ZACB~)=—(180°-NA),

22

...NBGC=180°-(NGBC+/GC8)=180°--(180°-Z/l)=90°+—ZA,故②錯(cuò)誤;

22

③；/48C和NAC8的平分線相交于點(diǎn)G,：.點(diǎn)G也在N84C的平分線上，

.?.點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故③正確；

④連接AG,作GMLA8于M,如圖所示：

?.?點(diǎn)G是△ABC的角平分線的交點(diǎn)，GD=m,AE+AF^n,：.GD=GM=m,

5A4EA--AE'GM+-AF*GD=—（AE+AF）*GD=—nm,故④錯(cuò)誤.

2222

⑤，：BE=EG,GF=CF,：.AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC,

即尸的周長(zhǎng)等于AB+AC的和，故⑤正確，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、二角形內(nèi)角和定理等知

識(shí)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?山東濰坊市?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以M,N為圓心，大于工MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于

2

點(diǎn)P,連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.A力平分N8ACB.ZADC=60°C.點(diǎn)力在A8的垂直平分線上D.S^DACiS^ABC=\：2

【答案】D

【分析】由作圖可得：AD平分的C可判斷A，再求解NZMC=/D48=L/A4C=30。，可得

2

ZA￡）C=60°,可判斷3,再證明0A=。8,可判斷C,過(guò)。作。尸，A3于/再證明DC=。/，再

5s

利用=--要一，可判斷。，從而可得答案.

【詳解】解：vZC=90°,ZB=30°,???/胡。=90。-30。=60。，

由作圖可得：平分/R4C,故A不符合題意：.?./D4C=ND46=』ZBAC=30°,

2

.?.ZAT）C=90°-30°=60°,故3不符合題意：

?.?ZDA5=NB=30。，.?.DA=QB,二。在AB的垂直平分線上，故。不符合題意；

過(guò)。作。E_LAB于/，???NC=90°,AT）平分/R4C,二

Z.B—30。，，A8=2AC,SACD=—AC*CD,SABD=—AB*DF,

qq~AC^CD

.乙力=A2AC_AC_AC_1

AC"ACD故。符合題

+s1AC.CD+-1AC+AB~AC+2AC~3AC~3

°sAABC—sT°^ABDAB*DF

22

意；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定,

等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?河南安陽(yáng)市?八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AC=BC,AB=6,AABC的面積為12,CD_LAB

于點(diǎn)。，直線EF垂直平分BC交A8于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)凡P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PB￡＞的周

長(zhǎng)的最小值是（）

c

A.6B.7C.10D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知C￡>為AABC底邊A5上的高線，根據(jù)面積關(guān)系即可求得

CD的長(zhǎng)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)5和點(diǎn)C關(guān)于直線EF對(duì)稱，所以當(dāng)尸與G重合時(shí)，依+PD的

值最小，根據(jù)。。和8力的長(zhǎng)度即可求得△QBD周長(zhǎng)的最小值.

【詳解】如圖

???AABC的面積為12,CDLAB：.-ABCD=n,BD=AD=-AB=3,解得，CO=4,

22

直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E,：.點(diǎn)8和點(diǎn)C關(guān)于直線EF對(duì)稱，

，當(dāng)尸與G重:合時(shí)，必+P0的值最小，最小值等TCO的長(zhǎng)，

周長(zhǎng)的最小值是皿+C￡>=3+4=7,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題的應(yīng)用、三角形的面積

等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出P點(diǎn)的位置.

二、填空題（本大題共3小題，每小題4分，共12分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）

5.（2021?四川成都市?成都鐵路中學(xué)八年級(jí)期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)

角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、。同時(shí)在不等邊△A8C的內(nèi)部時(shí)，那么N80C和

NBPC的數(shù)量關(guān)系是一.

BC

【答案】4NBPC—36()。

【分析】根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到ZB4C=2N8PC—180。：再根據(jù)

三角形垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到NB0C=2/BAC,進(jìn)而得出NBOC和ZBPC

的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：BP平分ZABC,CP平分ZACB./PBC=-ZABC,NPCB=-ZACB,

22

.?.NBPC=18(T-(NP8C+NPCB)=180。-(gZABC+gz4cB)=180°-g(NABC+NACB)

=180°--(1800-ZBAC)=90°+-ZBAC,即ABAC=2ZBPC:

22

如圖，連接AO.???點(diǎn)。是這個(gè)三角形三邊垂宜平分線的交點(diǎn)，.?.Q4=Q5=OC,

:.NOAB=/OBA,ZOAC^ZOCA,ZOBC^ZOCB,

ZAOB=1800-2ZOAB,ZAOC=1800-2ZOAC,

NBOC=360°-(ZAOB+ZAOC)=360°-(180°-220AB+180°-2ZOAC),

=2/OAB+2ZO4C=2ZBAC=2Q/BPC-180°)=4ZBPC-360°，

故答案為：4ZBPC-3600.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的垂直平分線與角平分線，熟練掌握三角形的垂直平分線與角平分線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

6.（2021?重慶八年級(jí)期末）如圖，已知NABC、NE4c的角平分線BP、AP相交于點(diǎn)P,PM1BE,PN1.

BF,垂足分別為M、N.現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①C尸平分N4b；②NBPC=；/BAC；③4PC=90。-gNABC；

④SMPM+S&CPN>SMPC.其中結(jié)論正確的為.（填寫(xiě)結(jié)論的編號(hào)）

E

【答案】①②③

【分析】①過(guò)點(diǎn)P做PDLAC,因?yàn)锳P平分NEAC,可以得到MP=PD,再證明APDC/A/WC即可得出

結(jié)論；②根據(jù)BP和CP都是角平分線，即可得到/BPC=180O-/PBC-NPCB=180。-!ZABC-(I8O°-ZPCN)

2

ZABC+ZPCN---ZABC+-ZACN,根據(jù)外角定理，可以得到NBPC=-^NABC+，(ZBAC+

22222

ZABC)=—ZBAC,即可得到結(jié)論；③由①可得，APDCMAPNC,故NAPC=，/MPN,因?yàn)?PMB=

22

ZPNB=90°,所以/MPN=18(T-/ABC,代入得NAPC=90。-,乙鉆心即可得出結(jié)論；

2

④由①可得，&PDC與APNC，故S^AP\f+S^CPN=S/i,APC)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)P做PDLAC,如圖所示：

VAP是/MAC的平分線，PMJ_AE，PM=PD

：BP是/ABC的角平分線，PN_LBF；.PM=PN；.PD=PN

,:PC=PC：.#DC、PNC/.ZPCD=ZPCN,故①正確；

②：BP和CP分別是/ABC和/ACN的角平分線以及三角形內(nèi)角和為180°

/.ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°--ZABC-(180°-ZPCN)=--ZABC+ZPCN=--ZABC+—ZCAN

2222

「外角定理；./BPC=-；/ABC+g(/BAC+/ABC)=；/BAC,故②正確；

③由①可得，&PDCmAPNC，

：NPMB=NPNB=90°以及四邊形內(nèi)角和為360°.\ZMPN=180°-ZABC

AZAPC=90°-ZABC,故③正確；③由①可得，APDCm&PNC，且且AP/M

:?SAAPM+S,\CPN=S(、APC，故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的角平分線以及角度運(yùn)算，熟練各性質(zhì)以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硎墙鉀Q本題的關(guān)鍵.

7.(2020?安陸市潰東學(xué)校八年級(jí)月考)如圖，任意畫(huà)一個(gè)NA=60。的△ABC,再分別作AABC的兩條

角平分線BE和CD,BE和CD交于點(diǎn)P,連接AP.有以下結(jié)論：①NBPC=120。；②AP平分NBAC；③

PD=PE；④BD+CE=BC；⑤5冊(cè)物+S^CE=5k蹂.其中正確結(jié)論的序號(hào)是一.

【答案】①②③④⑤

【分析】首先由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出NPBC+NPCB的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出/

BPC的度數(shù)，由此判斷①；由NBPC=120。可知NDPE=120。，過(guò)點(diǎn)P作PFJ_AB,PG1AC,PH1BC,由角

平分線的性質(zhì)可知AP是NBAC的平分線，由此判斷②；由全等三角形的判定定理可得出4PFD絲4PGE,

由此判斷③；由三角形全等的判定定理可得出4BHP絲△BFP,ACHP^ACGP,然后根據(jù)全等三角形推出

BC=BD+CE,由此判斷④，根據(jù)全等可得SAPBD、S^PCE和S*BC的關(guān)系，由此即可解答本題.

【詳解】VBE,CD分別是NABC和NACB的平分線,ZA=60°,

ZPBC+ZPCB=-(180°-ZBAC)=-(180°-60°)=60°,

22

.".ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=180。-60。=120。，故①正確；

VZBPC=120°,.,.ZDPE=120°,過(guò)點(diǎn)P作PFJ_AB,PG_LAC,PH±BC,

?；BE,CD分別是NABC和NACB的平分線，；.PF=PH=PG,；.AP平分NBAC,故②正確;

由②可知：PF=PH=PG,VZBAC=60°,ZAFP=ZAGP=90°,ZFPG=120°,

/.ZDPF=ZEPG,.".APFDsAPGE(ASA),；.PD=PE,.,.③正確;

又?；BP=BP,PF=PH,ARtABHP=RtABFP（HL）,同理：RtACHP=RtACGP,；.BH=BD+DF,CH=CE-GE,

兩式相力口得：BH+CH=BD+DF+CE-GE,VDF=GE,；.BD+CE=BC,④正確：

VAPBD,APCE,APBC,的高相等，BD+CE=BC,/.SAPBD+S^PCE=SAPBC,故⑤正確.

故答案是：①②③④⑤

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造全等三角

形，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共3小題，共26分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟）

8.（2021?福建三明市?八年級(jí)期末）在四邊形ABCD中，/A=NB=90。，BC=4,CD=6,E為AB邊上

的點(diǎn).（1）連接CE,DE,CEXDE.①如圖1,若AE=BC,求證：AD=BE；②如圖2,若AE=BE,

求證：CE平分/BCD；（2）如圖3,F是/BCD的平分線CE上的點(diǎn)，連結(jié)BF,DF,BF=DF=4,

2

求CF的長(zhǎng).

【分析】（1）①先證明NADE=NCEB,再證明AAOEgABEC,從而可得結(jié)論；②如圖，延長(zhǎng)OE交CB

的延長(zhǎng)線于G,證明AAOEGABG瓦可得￡>E=GE,結(jié)合利用垂直平分線的性質(zhì)可得

CD=CG,再利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）如圖，過(guò)尸作F7_LCZ）于T,作FG_L3C于G,證

明/丁=EG,再證明RfAFDTgRfAFBG,可得。7=BG,證明CT=CG,求解0T=1,

CT=6-1=5,再利用勾股定理求解口=也，從而可得答案.

2

【詳解】解：（I）①