2023年中考九年級數學高頻考點拔高訓練-三角形的動點問題

2023年中考九年級數學高頻考點拔高訓練-三角形的動點問題1．已知：如圖，∠QAN為銳角，H、B分別為射線AN上的點，點H關于射線AQ的對稱點為C，連接AC，CB．（1）依題意補全圖；（2）CB的垂直平分線交AQ于點E，交BC于點F．連接CE，HE，EB．①求證：△EHB是等腰三角形；②若AC+AB＝112AE，求cos2．如圖所示，點O是線段AC的中點，OB⊥AC，OA=9.（1）如圖1，若∠ABO=30°，求證ΔABC是等邊三角形；（2）如圖1，在（1）的條件下，若點D在射線AC上，點D在點C右側，且ΔBDQ是等邊三角形，QC的延長線交直線OB于點P，求PC的長度；（3）如圖2，在（1）的條件下，若點M在線段BC上，ΔOMN是等邊三角形，且點M沿著線段BC從點B運動到點C，點N隨之運動，求點N的運動路徑的長度.3．如圖，在等邊ΔABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米，如果點M以3厘米/的速度運動．（1）如果點M在線段CB上由點C向點B運動．點N在線段BA上由B點向A點運動，它們同時出發(fā)，若點N的運動速度與點M的運動速度相等：①經過2秒后，ΔBMN和ΔCDM是否全等？請說明理由．②當兩點的運動時間為多少秒時，ΔBMN剛好是一個直角三角形？（2）若點N的運動速度與點M的運動速度不相等，點N從點B出發(fā)，點M以原來的運動速度從點C同時出發(fā)，都順時針沿ΔABC三邊運動，經過25秒時點M與點N第一次相遇，則點N的運動速度是厘米/秒．（直接寫出答案）4．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如圖①，當∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連結DE，易證AB=AC+CD.（1）如圖②，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB，AC，CD又有怎樣的數量關系?不需要證明，請直接寫出你的猜想；（2）如圖③，當AD為△ABC的外角平分線時，線段AB，AC，CD又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.5．問題探究（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關系：；②若AC＝BC＝10，DC＝CE＝2，則線段AD的長為；（2）拓展延伸如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1．將△DCE繞點C在平面內順時針旋轉，設旋轉角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當點B，D，E在同一直線上時，畫出圖形，并求線段AD的長．6．如圖（1），AB=8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=6cm．點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動，它們運動的時間為t(s)（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=1時，判斷線段PC與PQ滿足的關系，并說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=α°”，其它條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．7．如圖，已知△ABC的頂點坐標分別為A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。動點M，N同時從A點出發(fā)，M沿A→C，N沿折線A→B→C，均以每秒1個單位長度的速度移動，當一個動點到達終點C時，另一個動點也隨之停止移動，移動時間記為t秒。連接MN。（1）求直線BC的解析式；（2）移動過程中，將△AMN沿直線MN翻折，點A恰好落在BC邊上點D處，求此時t值及點D的坐標；（3）當點M，N移動時，記△ABC在直線MN右側部分的面積為S，求S關于時間t的函數關系式。8．已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點（不與B，C點重合），∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關于x的函數關系式；（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．9．如圖1，在邊長為3的等邊ΔABC中，點D從點A出發(fā)沿射線AB方向運動，速度為1個單位/秒，同時點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向運動，過點D作DE//BC交射線AC于點E，連接DF交射線AC于點G．（1）如圖1，當DF⊥AB時，求運動了多長時間？（2）如圖1，當點D在線段AB（不考慮端點）上運動時，是否始終有EG=GC？請說明理由；（3）如圖2，過點D作DH⊥AC，垂足為H，當點D在線段AB（不考慮端點）上時，HG的長始終等于AC的一半；如圖3，當點D運動到AB的延長線上時，HG的長是否發(fā)生變化？若改變，請說明理由；若不變，求出HG的長．10．如圖1，在ΔABC中，AB=AC,∠ABC=α,D是BC上的一點，以AD為邊作ΔADE，使AE=AD,∠DAE+∠BAC=180（1）直接用含a的式子表示∠ADE的度數是；（2）以AB,AE為邊作平行四邊形ABFE；①如圖2，若點F恰好落在DE上，試判斷線段BD與線段CD的長度是否相等，并說明理由.②如圖3，若點F落在是DE上，且BC=4,DF=1，求線段CF的長（直接寫出結果，不說明理由）.11．如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cosA＝45，點D為AC邊上的動點（點D不與點A，C重合），以D為頂點作∠BDF＝∠A，射線DE交BC邊于點E，過點B作BF⊥BD交射線DE于點F，連接CF（1）求證：△ABD∽△CDE；（2）當DE∥AB時（如圖2），求AD的長；（3）點D在AC邊上運動的過程中，若DF＝CF，則CD＝．12．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點E從D點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C→B→C作勻速移動，點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動．（1）試證明：AD∥BC．（2）在移動過程中，小芹發(fā)現當點G的運動速度取某個值時，有△DEG與△BFG全等的情況出現，請你探究當點G的運動速度取哪些值時，△DEG與△BFG全等．13．如圖，在平面直角坐標系中，△ABO的頂點O是坐標原點，點A的坐標為（﹣30，0），點B的坐標為（﹣30，30），△CDE是位于y軸的左側且邊長為83的等邊三角形，邊DE垂直于x軸，△CDE從點C與點O重合的位置開始，以每秒2個單位長的速度先沿點O到點A的方向向左平移，當DE邊與直線AB重合時，繼續(xù)以同樣的速度沿點A到點B的方向向上平移，當點D與點B重合時，△CDE停止移動．（1）求直線OB的函數表達式；（2）當△CDE移動3秒時，請直接寫出此時點C的坐標為；（3）在△CDE的平移過程中，連接AE，AC，當△ACE的面積為363時，請直接寫出此時點E的坐標為．14．在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，∠C＝90°，D是AC邊上一點，CDAD=23，直線DE交（1）如圖1，若DE∥AB，CD＝，EB＝；（2）如圖2，在（1）的條件下，等腰Rt△CMN的端點M在直線DE上運動，連接EN，請判斷DM與NE的關系，并說明理由；（3）如圖3，若∠CDE＝60°，等腰Rt△CMN的端點M點在直線DE上運動，連接NB，請直接寫出NB的最小值．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，D是射線CA上一點，連接BD，以點B為中心，將線段BD順時針旋轉60°，得到線段BE，連接AE（1）如圖1，當點D在線段CA上時，連接DE，若DE⊥AB，則線段AE，BE的數量關系是；（2）當點D在線段CA的延長線上時，依題意補全圖形2．①探究線段AE，BE的數量關系，并證明；②直接寫出線段CD，AB，AE之間的數量關系．16．已知，如圖在平面直角坐標系中，直線y＝﹣43（1）求k的值；（2）以BC為邊在第一象限內作等腰直角△BCD，∠BCD＝90°，BC＝CD，動點P從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，連接PD，設P點運動的時間為t，△PCD的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，在點P運動過程中，當△PCD為等腰三角形時，求P點坐標．

答案解析部分1．【答案】（1）解：圖形如圖1所示：（2）解：①證明：如圖2中，∵C，H關于AQ對稱，∴∠CAE＝∠EAH，AC＝AH，∵AE＝AE，∴△ACE≌△AHE（SAS），∴EC＝EH，∵EF垂直平分線段BC，∴EC＝EB，∴EH＝EB，∴△EHB是等腰三角形．②解：如圖2﹣1中，作EM⊥AB于M．∵EH＝EB，EM⊥BH，∴HM＝MB，∴AC+AB＝AH+AB＝AM﹣HM+AM+BM＝2AM，∵AC+AB＝112∴4AM＝11AE，在Rt△AEM中，cos∠EAB＝AMAE＝∴cos∠EAB＝112．【答案】（1）解：∵∠ABO=30°，OB⊥AC，∴∠BAO=60°，∵O是線段AC中點，OB⊥AC，∴BA=BC，∴ΔABC是等邊三角形（2）解：∵ΔABC、ΔBDQ是等邊三角形，∴∠ABC=∠DBQ=60°，AB=BC，BD=BQ，∴∠ABD=∠CBQ，∴ΔBAD?ΔBCQ，∴∠BCQ=∠BAD=60°，∵∠BCA=60°，∴∠OCP=60°，∵∠POC=90°，∴∠OPC=30°，∴PC=2OC=18（3）解：取BC的中點H，連接OH,連接CN，分兩種情況討論：當M在線段BH上時，如圖2，∵H是BC的中點，OB⊥AC,∴OH=1∴ΔOCH是等邊三角形,∵ΔOMN是等邊三角形,∴∠MON=∠HOC=60°，OM=ON，∴∠MOH=∠CON,∠OHM=∴ΔOMH?ΔONC，∴∠OCN=∠OHM=120°∴點N從起點到C作直線運動,∵當點M在點B時，CN=BH=9,∴點M從B運動到H時，點N運動路徑的長度等于9；當點M在線段HC上時，如圖3，∵H是BC的中點，OB⊥AC,∴OH=1∴ΔOCH是等邊三角形,∵ΔOMN是等邊三角形,∴∠MON=∠HOC=60°，OM=ON，∴∠MOH=∠CON,∴ΔOMH?ΔONC，∴∠OCN=∠OHM=60°∴點N從C到終點作直線運動,∵當點M在點C時，CN=CH=9,∴點M從H運動到C時，點N運動路徑的長度等于9；綜上所述，N的路徑長度為：9+9=18.3．【答案】（1）解：①ΔBMN?ΔCDM．理由如下：VN=VM=3∴CM=2×3=6(cm)BN=2×3=6(cm)BM=BC?CM=10?6=4(cm)∴BN=CM∵CD=4(cm)∴BM=CD∵∠B=∠C=60°，∴ΔBMN?ΔCDM．(SAS)②設運動時間為t秒，ΔBMN是直角三角形有兩種情況：Ⅰ．當∠NMB=90°時，∵∠B=60°，∴∠BNM=90°?∠B=90°?60°=30°，∴BN=2BM，∴3t=2×(10?3t)∴t=20Ⅱ．當∠BNM=90°時，∵∠B=60°，∴∠BMN=90°?∠B=90°?60°=30°．∴BM=2BN，∴10?3t=2×3t∴t=10∴當t=209秒或t=10（2）3.8或2.64．【答案】（1）解：猜想:AB=AC+CD.證明:如圖②，在AB上截取AE=AC，連結DE,

∵AD為△ABC的角平分線時，∠BAD=∠CAD,∵AD=AD,∴△ADE≌△ADC(SAS),∠AED=∠C，ED=CD,∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B∴∠B=∠EDB∴EB=ED,∴EB=CD,∴AB=AE+DE=AC+CD.（2）解：猜想:AB+AC=CD.證明:在BA的延長線上截取AE=AC，連結ED.

∵AD平分∠FAC∴∠EAD=∠CAD.在△EAD與△CAD中,AE=AC，∠EAD=∠CAD,AD=AD,∴△EAD≌△CAD∴ED=CD,∠AED=∠ACD,∴∠FED=∠ACB.又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,∠EDB=∠B∴EB=ED,EA+AB=EB=ED=CD∴AC+AB=CD5．【答案】（1）垂直；4（2）解：①如圖：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1，∴AB=27,DE=2,∠ACD＝∠BCE,ACDC∴△ACD∽△BCE．∴∠ADC＝∠E，ADBE又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE=90°，即∠ADE=90°．∴AD⊥BE．設BE=x，則AD=3x．在Rt△ABD中，AD即（3解得x1∴AD=33②如圖，同①設BE=x，則AD=3x．在Rt△ABD中，AD2+B解得x1∴AD=23綜上可得，線段AD的長為36．【答案】（1）解：PC=PQ且PC⊥PQ；理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，當t=1時，AP=BQ=2，∴BP=AB-AP=8-2=6，∴BP=AC=6，在△ACP和△BPQ.AP=BQ∠A=∠B∴△ACP≌△BPQ，∴PC=PQ，∴∠C=∠QPB，∵∠APC+∠C=90°，∴∠APC+∠QPB=90°，即PC=PQ且PC⊥PQ；（2）解：存在x的值，使得△ACP與△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，可得：6=8-2t，2t=xt，解得：x=2，t=1；②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，可得：6=xt，2t=8-2t，解得：x=3，t=2.7．【答案】（1）解：設直線BC解析式為：y=kx+b，∵B（0，4），C（-3，0），∴b=4?3k+b=0解得：k=∴直線BC解析式為：y=43（2）解：依題可得：AM=AN=t，∵△AMN沿直線MN翻折，點A與點點D重合，∴四邊形AMDN為菱形，作NF⊥x軸，連接AD交MN于O′，∵A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∴M（3-t，0），又∵△ANF∽△ABO，∴ANAB=AFAO=∴t5=AF3=∴AF=35t，NF=4∴N（3-35t，4∴O′（3-45t，2設D（x，y），∴x+32=3-45t，y+02∴x=3-85t，y=4∴D（3-85t，4又∵D在直線BC上，∴43×（3-85t）+4=∴t=3011∴D（-1511，24（3）①當0<t≤5時（如圖2），△ABC在直線MN右側部分為△AMN，∴S=SΔAMN=12·AM·DF=12×t×45t=②當5<t≤6時，△ABC在直線MN右側部分為四邊形ABNM，如圖3∵AM=AN=t，AB=BC=5，∴BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t，又∵△CNF∽△CBO，∴CNCB=NF∴10?t5=NF∴NF=45∴S=SΔABC-SΔCNM=12=12×6×4-12×（6-t）×=-25t2+328．【答案】（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=∠ADE=45°，∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴BD∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=2，DC=2-x，EC=1-y，∴x∴y=x2-2x+1（3）解：當AD=DE時，△ABD≌△CDE，∴BD=CE，∴x=1-y，即2x-x2=x，∵x≠0，∴等式左右兩邊同時除以x得：x=2-1∴AE=1-x=2-2，當AE=DE時，DE⊥AC，此時D是BC中點，E也是AC的中點，所以，AE=12當AD=AE時，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；綜上，在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，AE的長為2-2或129．【答案】（1）解：設運動了x秒，則AD=x，BD=3?x，BF=3+x，當DF⊥AB時，∵∠B=60∴∠DFB=30∴BF=2BD，即3+x=2(3?x)，解得x=1，∴運動了1秒．（2）解：∵DE//BC，∴∠ADE=∠B=60∴ΔADE是等邊三角形，∴AD=DE∵AD=CF∴DE=CF又∵DE//BC∴∠DEG=∠GCF，∠GDE=∠GFC．在ΔDEG與ΔFCG中∠DEG=∠GCF∴ΔDEG?ΔFCG(ASA)∴EG=GC；（3）解：不變．理由：∵DE//BC，∴∠ADE=∠B=60∴ΔADE是等邊三角形，∵DH⊥AE，∴HE=1在ΔDEG與ΔFCG中∠DEG=∠GCFDE=FC∴ΔDEG?ΔFCG(ASA)，∴EG=GC，∴EG=1∴HG=HE?EG=110．【答案】（1）90（2）解：①證明：∵四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB∥EF.∴∠EDC＝∠ABC＝α，由（1）知，∠ADE＝90°?α，∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD；②311．【答案】（1）證明：如圖1中，∵BA＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ABD，∠BDE＝∠A，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△CDE（2）解：如圖2中，作BM⊥AC于M．在Rt△ABM中，則AM＝AB?cosA＝20×45由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴202＝162+BM2，∴BM＝12，∵AB＝BC，BM⊥AC，∴AC＝2AM＝32，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△ACB，∴AB∴AD＝AB2AC（3）1412．【答案】（1）證明：在△ABD和△CDB中，AD=BC∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：設運動時間為t，點G的運動速度為v，當0＜t≤43時，若△DEG≌△BFG，則DE=BF∴t=4?3t6?BG=BG∴t=1BG=3∴v＝3；若△DEG≌△BGF，則DE=BGDG=BF∴t=BG6?BG=4?3t∴t=?1BG=?1當43＜t≤83時，若△DEG≌△BFG，則∴t=3t?46?BG=BG∴t=2BG=3∴v＝1.5；若△DEG≌△BGF，則DE=BGDG=BF∴t=BG6?BG=3t?4∴t=5∴v＝1．綜上，點G的速度為1.5或3或113．【答案】（1）解：由題意，設直線OB的函數表達式為y=kx，將點B(?30,30)代入得：?30k=30，解得k=?1，則直線OB的函數表達式為y=?x；（2）