待定系數(shù)法化歸輔助數(shù)列為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式

“待定系數(shù)法〞化歸輔助數(shù)列為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式陜西洋縣中學(xué)教科處劉大鳴李鵬云直接求數(shù)列的通項(xiàng)公式較難時(shí)，可挖掘題設(shè)關(guān)系，整體變形探求相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)輔助數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而使問題獲解.如何探求這個(gè)整體輔助數(shù)列？常常用“待定系數(shù)法〞化歸.本文就此分類解析之.1由一般數(shù)列切入，化歸含的代數(shù)式為等差數(shù)列求解.例1各項(xiàng)非零的數(shù)列，首項(xiàng)且，求數(shù)列的通項(xiàng).簡(jiǎn)析：由一般數(shù)列的切入點(diǎn)，“〞和題設(shè)易化歸輔助數(shù)列為等差數(shù)列求解.由和一般數(shù)列的切入點(diǎn)有，，整理有，，易知，整體把握等差數(shù)列定義變形有，.那么數(shù)列為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，.故所求通項(xiàng)公式1〔〕an=.2相鄰兩項(xiàng)滿足一階線性遞推關(guān)系，待定系數(shù)法可化歸輔助數(shù)列為等比數(shù)列求解.例2數(shù)列｛an｝的項(xiàng)滿足a1=b,且an+1=can+d，其中c.證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是簡(jiǎn)析：an+1=can+d，揭示了相鄰兩項(xiàng)滿足一階線性遞推關(guān)系，用待定系數(shù)法化歸輔助數(shù)列為等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.=1\*GB3①化歸輔助數(shù)列“公比為c的等比數(shù)列〞,用方程觀念求通項(xiàng).由a1=b,且an+1=can+d知，可探索用“待定系數(shù)法〞構(gòu)建輔助數(shù)列為等比數(shù)列求解.由an+1=can+d，假設(shè)｛an+t｝為等比數(shù)列，那么有an+1+t=can+d+t=c(an+.故｛an+t｝是以c為公比的等比數(shù)列.必有t=解得t=于是，數(shù)列｛an+｝是公比為c的等比數(shù)列，首項(xiàng)為b+故an+=(b+cn-1.解方程有，an=(b+cn-1-=2\*GB3②歸輔助數(shù)列“公比為c的等比數(shù)列〞，用累加法求通項(xiàng).由an+1=can+d和an=can-1+d,作差有，那么｛｝為公比為c的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=(c-1)b.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，=(a2-a1)cn-2=(cc-1)bcn-2.故｛an｝為等差型數(shù)列，其通項(xiàng)可用“累加法〞求解.對(duì)=(a2-a1)cn-2=(c-1)bcn-2，令n=2,3,4,…,n.對(duì)這n-1個(gè)等式累加有，()+()+()…+(a2-a1)=(c-1)b〔1+c+c2+…+cn-2〕=(c-1)b.整理化簡(jiǎn)有，3相鄰三項(xiàng)滿足線性遞推關(guān)系，待定系數(shù)法可化歸輔助數(shù)列為等比數(shù)列求解.例3數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.簡(jiǎn)析：假設(shè)注意到相鄰三項(xiàng)滿足線性遞推關(guān)系，可待定系數(shù)法化為輔助數(shù)列為等比數(shù)列求解.由知，假設(shè)，那么對(duì)照系數(shù)有，故，于是有，，即是首項(xiàng)為1-2=-1，公比為的等比數(shù)列，那么.其實(shí)質(zhì)為等差型數(shù)列求通項(xiàng)用“累加法〞.