江蘇省明德實驗學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

江蘇省明德實驗學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙兩位同學(xué)將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績均為整數(shù)滿分100分），乙同學(xué)對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分，則甲同學(xué)的平均成績超過乙同學(xué)的平均成績的概率為（）A． B． C． D．2．已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè),且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．4．設(shè)，“”，“”，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學(xué)生分別擔(dān)任班長、副班長、團支部書記和體育班委.男生當(dāng)選的人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．7．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（）A． B． C． D．8．在正方體中，過對角線的一個平面交于，交于得四邊形，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形一定為菱形B．四邊形在底面內(nèi)的投影不一定是正方形C．四邊形所在平面不可能垂直于平面D．四邊形不可能為梯形9．設(shè)a，b∈R，則“a≥b”是“a>bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．周末，某高校一學(xué)生宿舍甲乙丙丁四位同學(xué)正在做四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽音樂；③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在看書；④丙不在看書，也不寫信.已知這些判斷都是正確的，依據(jù)以上判斷，請問乙同學(xué)正在做的事情是（）A．玩游戲B．寫信C．聽音樂D．看書11．用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，應(yīng)假設(shè)（）A．方程沒有實根B．方程至多有一個實根C．方程至多有兩個實根D．方程恰好有兩個實根12．已知是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將正整數(shù)對作如下分組，第組為，第組為，第組為，第組為則第組第個數(shù)對為__________．14．從包括甲乙兩人的6名學(xué)生中選出3人作為代表，記事件：甲被選為代表，事件:乙沒有被選為代表，則等于_________.15．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系用“”連接為______．16．若，，則，的大小關(guān)系是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；18．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式對任意的恒有解，求的取值范圍.19．（12分）2018年俄羅斯世界杯激戰(zhàn)正酣，某校工會對全校教職工在世界杯期間每天收看比賽的時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間（單位：小時）14282012(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“球迷”，否則定義為“非球迷”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表：男女合計球迷40非球迷合計并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“球迷”與“性別”有關(guān)；(2)在全?！扒蛎浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，再從這6名“球迷”中選取2名世界杯知識講座.記其中女職工的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式：0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過點，且其左右焦點的坐標(biāo)分別是，.（1）求橢圓的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為動點，其中，直線經(jīng)過點且與橢圓相交于，兩點，若為的中點，是否存在定點，使恒成立？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點．（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點的直角坐標(biāo)為，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線過點且與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求直線的直角坐標(biāo)方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計算公式求解其概率值即可.【題目詳解】由題意可得：，設(shè)被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時，，即：，即x可能的取值為,結(jié)合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【題目點撥】本題主要考查莖葉圖的識別與閱讀，平均數(shù)的計算方法，古典概型計算公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、D【解題分析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D【題目點撥】本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡化運算.3、B【解題分析】

利用不等式性質(zhì)判斷或者舉反例即可.【題目詳解】對A,當(dāng)時不滿足對B,因為則成立.故B正確.對C,當(dāng)時不滿足,故不成立.對D,當(dāng)時不滿足,故不成立.故選：B【題目點撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)運用等,屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)和充分必要條件的定義進行判斷即可得到答案.【題目詳解】充分性：.所以即：，充分性滿足.必要性：因為，所以，.又因為，所以，即.當(dāng)時，，不等式不成立.當(dāng)時，，，不等式不成立當(dāng)時，，，不等式成立.必要性滿足.綜上：是的充要條件.故選：C【題目點撥】本題主要考查充要條件，同時考查了對數(shù)的比較大小，屬于中檔題.5、C【解題分析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學(xué)期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望6、C【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，可求得首項和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項公式得，解方程組得所以所以選C點睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項公式的應(yīng)用，屬于簡單題。7、A【解題分析】試題分析：分析題意可知，問題等價于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設(shè)長方體體的長，寬，高分別為，，，長方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，此時利用率為，故選A.考點：1.圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值.【名師點睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.8、D【解題分析】對于A，當(dāng)與兩條棱上的交點都是中點時，四邊形為菱形，故A錯誤；對于B,四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形,故B錯誤；對于C,當(dāng)兩條棱上的交點是中點時，四邊形垂直于平面,故C錯誤；對于D，四邊形一定為平行四邊形，故D正確.故選：D9、D【解題分析】

利用特殊值來得出“a≥b”與“a>b【題目詳解】若a=b=3，則a≥b，但a>b若a=2，b=-3，a>b成立，但a≥b因此，“a≥b”是“a>b”的既不充分也不必要條件，故選：D【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷，常用集合的包含關(guān)系來進行判斷，也可以利用特殊值以及邏輯推證法來進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題。10、D【解題分析】由①知甲在聽音樂或玩游戲，由②知乙在看書或玩游戲，由④知丙在聽音樂或玩游戲，由③知，丁在看書，則甲在聽音樂，丙在玩游戲，乙在看書，故選D.11、A【解題分析】分析：直接利用命題的否定寫出假設(shè)即可,至少的反面是一個都沒有。詳解：用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是方程沒有實根．故選：A．點晴：本題主要考察反證法，注意反證法證明問題時，反設(shè)實際是命題的否定12、A【解題分析】

分子分母同時乘以，化簡整理，得出，再判斷象限．【題目詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（），所以位于第一象限．故選A．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)歸納推理可知，每對數(shù)字中兩個數(shù)字不相等，且第一組每一對數(shù)字和為，第二組每一對數(shù)字和為，第三組每對數(shù)字和為，第組每一對數(shù)字和為，第組第一對數(shù)為，第二對數(shù)為，第對數(shù)為，第對數(shù)為，故答案為.14、【解題分析】因為，所以。應(yīng)填答案。15、【解題分析】

分別判斷出，，，從而得到三者大小關(guān)系.【題目詳解】，，則的大小關(guān)系用“”連接為本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查指對數(shù)比較大小類的問題，解決此類問題的方法主要有兩種：1.構(gòu)造合適的函數(shù)模型，利用單調(diào)性判斷；2.利用臨界值進行區(qū)分.16、【解題分析】分析：作差法，用，判斷其符號．詳解：，所以，．點睛：作差法是比較大小的基本方法，根式的分子有理化是解題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析；【解題分析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【題目詳解】（1）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（2）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18、(1)(2)【解題分析】分析：（1）當(dāng)時，，據(jù)此零點分段可得不等式的解集為.（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，由絕對值三角不等式的性質(zhì)可得.據(jù)此可得的取值范圍是.詳解：（1）因為，所以，當(dāng)時，，即，所以，當(dāng)時，，即，所以，當(dāng)時，，即，所以，綜上所述，原不等式的解集是.（2），.因為關(guān)于的不等式對任意的恒有解.所以，解得.點睛：絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．19、（1）有（2）見解析【解題分析】分析：（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，由此計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（2）由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2名女職工，所以的可能取值為0，1，2，求出相對應(yīng)的概率值，即可求得答案.詳解：（1）由題意得下表：的觀測值為.所以有的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關(guān).（2）由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2名女職工，所以的可能取值為0，1，2.且，，，所以的分布列為.點睛：解決獨立性檢驗應(yīng)用問題的方法解決一般的獨立性檢驗問題，首先由所給2×2列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，然后根據(jù)統(tǒng)計量的計算公式確定的值，最后根據(jù)所求值確定有多大的把握判定兩個變量有關(guān)聯(lián)．20、（1），；（2）在定點【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的焦點得到，根據(jù)橢圓過點，由橢圓的定義得到，再求出，從而得到橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，則，，利用點差法，得到，從而表示出線段的垂直平分線，再根據(jù)直線過定點，得到關(guān)于的方程組，得到定點的坐標(biāo).【題目詳解】（1）設(shè)橢圓方程：.∴.∵橢圓經(jīng)過點，∴，∴，可得.橢圓的離心率為，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：.（2）設(shè)，，因為為中點，則，.∵、在曲線上，∴，將以上兩式相減得：.所以得到，∴線段的垂直平分線方程：，整理得令，得故線段的垂直平分線過定點.所以存在定點，使恒成立.【題目點撥】本題考查根據(jù)橢圓定義求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，點差法表示線段垂直平分線，橢圓中直線過的定點，屬于中檔題.21、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）將點代入橢圓方程,結(jié)合關(guān)系式和,組成方程組,可解得的值