2024屆上海外國語大學附屬上外高中高二數學第二學期期末聯考試題含解析

2024屆上海外國語大學附屬上外高中高二數學第二學期期末聯考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設,若,則()A．-1 B．0 C．1 D．2562．（2-x）（2x+1）6的展開式中x4的系數為（）A． B．320 C．480 D．6403．設非零向量，，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．已知命題：，命題：，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若命題，則為（）A． B． C． D．6．拋物線和直線所圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．7．已知非空集合，全集，集合,集合則（）A． B． C． D．8．在一組樣本數據為，，，（，，，，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的相關系數為（）A． B． C．1 D．-19．即將畢業(yè)，4名同學與數學老師共5人站成一排照相，要求數學老師站中間，則不同的站法種數是A．120 B．96 C．36 D．2410．如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若A．12aC．12a11．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是()A． B． C． D．12．已知是兩個非空集合，定義集合，則結果是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知（是虛數單位），則的共軛復數為________14．在數列中，，且．（1）求，，的值；（2）猜想數列的通項公式的表達式，并用數學歸納法證明你的猜想.15．已知圓：的面積為，類似的，橢圓：的面積為__．16．西周初數學家商高在公元前1000年發(fā)現勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現早于畢達哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數稱為勾股數.現從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數中隨機抽取3個數，則這3個數能構成勾股數的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）求函數的單調區(qū)間；（2）已知，且恒成立，求的最大值；18．（12分）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且．試用向量，，表示向量；若，，，，求的值．20．（12分）A、B、C是球O表面上三點，AB=6㎝，∠ACB=30°，點O到△ABC所在截面的距離為5㎝，求球O的表面積．21．（12分）設函數f（x）是增函數，對于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）；（2）證明f（x）是奇函數；（3）解不等式12f（x2）—f（x）＞122．（10分）為了更好地服務民眾，某共享單車公司通過向共享單車用戶隨機派送每張面額為0元，1元，2元的三種騎行券.用戶每次使用掃碼用車后，都可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得1元獎券、獲得2元獎券的概率分別是0.5、0.2，且各次獲取騎行券的結果相互獨立.（I）求用戶騎行一次獲得0元獎券的概率；（II）若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車，記該用戶當天獲得的騎行券面額之和為，求隨機變量的分布列和數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先求定積分，再求詳解：，故設1-2x，所以，，故選B點睛：求復合函數的定積分要注意系數能夠還原，二項式定理求系數和的問題，采用賦值法。2、B【解題分析】，展開通項，所以時，；時，，所以的系數為，故選B．點睛：本題考查二項式定理．本題中，首先將式子展開得，再利用二項式的展開通項分別求得對應的系數，則得到問題所要求的的系數．3、B【解題分析】

由，且，可得，展開并結合向量的數量積公式，可求出的值，進而求出夾角.【題目詳解】由，且，得，則，即，故，則，故.又，所以.故選：B【題目點撥】本題考查向量夾角的求法，考查向量的數量積公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.4、A【解題分析】

首先對兩個命題進行化簡，解出其解集，由是的必要不充分條件，可以得到關于的不等式，解不等式即可求出的取值范圍【題目詳解】由命題：解得或，則，命題：，，由是的必要不充分條件，所以故選【題目點撥】結合“非”引導的命題考查了必要不充分條件，由小范圍推出大范圍，列出不等式即可得到結果，較為基礎。5、B【解題分析】

利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結果即可．【題目詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題p：，則￢p為：?x∈Z，ex≥1，故選：B．【題目點撥】本題考查特稱命題與全稱命題的否定，是基礎題．6、C【解題分析】

先計算拋物線和直線的交點，再用定積分計算面積.【題目詳解】所圍成的封閉圖形的面積是：故答案為C【題目點撥】本題考查了定積分的應用，意在考查學生應用能力和計算能力.7、B【解題分析】分析：根據題意畫出圖形，找出與的并集，交集，判斷與的關系即可詳解：全集，集合,集合，，故選點睛：本題主要考查的是交集，并集，補集的混合運算，根據題目畫出圖形是解題的關鍵，屬于基礎題。8、D【解題分析】

根據回歸直線方程可得相關系數．【題目詳解】根據回歸直線方程是yx+2，可得這兩個變量是負相關，故這組樣本數據的樣本相關系數為負值，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關系數r＝﹣1．故選D．【題目點撥】本題考查了由回歸直線方程求相關系數，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數的含義是解題的關鍵．9、D【解題分析】分析：數學老師位置固定，只需要排學生的位置即可.詳解：根據題意得到數學老師位置固定，其他4個學生位置任意，故方法種數有種，即24種.故答案為：D.點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．10、D【解題分析】

由題意可得B1M【題目詳解】由題意可得B1=c+1【題目點撥】本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于基礎題．11、C【解題分析】

本題首先可以根據直角三角形的三邊長求出三角形的內切圓半徑，然后分別計算出內切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【題目詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率，故選C．【題目點撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．12、C【解題分析】

根據定義集合分析元素特征即可得解.【題目詳解】因為表示元素在中但不屬于，那么表示元素在中且在中即，故選C.【題目點撥】本題考查了集合的運算，結合題中給出的運算規(guī)則即可進行運算,屬于基礎題,二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據復數的四則運算以及共軛復數的概念即可求解．【題目詳解】，，共軛復數為故答案為【題目點撥】本題主要考查復數的四則運算以及共軛復數，屬于基礎題．14、（1），，（2）（）．證明見解析【解題分析】

（1）利用遞推式直接求：（2）猜想數列{an}的通項公式為（）用數學歸納法證明即可．【題目詳解】解：（1）∵，且，∴，，．（2）猜想數列的通項公式為（）．用數學歸納法證明如下：①當時，左邊，右邊，因此，左邊=右邊．所以，當時，猜想成立．②假設（，）時，猜想成立，即，那么時，.所以，當時，猜想成立．根據①和②，可知猜想成立．【題目點撥】本題考查了數列中的歸納法思想及證明基本步驟，屬于基礎題．15、【解題分析】

根據類比推理直接寫的結論即可.【題目詳解】圓中存在互相垂直的半徑，圓的面積為：橢圓中存在互相垂直的長半軸和短半軸，則類比可得橢圓的面積為：本題正確結果：【題目點撥】本題考查類比推理的問題，屬于基礎題.16、【解題分析】

由組合數結合古典概型求解即可【題目詳解】從11個數中隨機抽取3個數有種不同的方法，其中能構成勾股數的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【題目點撥】本題考查古典概型與數學文化，考查組合問題，數據處理能力和應用意識.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增；（2）.【解題分析】

（1）函數求導，根據導函數的正負判斷函數的單調性.（2）設，求導，根據函數的單調性求函數的最值，得到，再設函數根據函數的最值計算的最大值.【題目詳解】（1）由已知得，令，則由得，由，得所以函數在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增.（2）若恒成立，即恒成立當時，恒成立，則；當時，為增函數，由得，故，.當時，取最小值.依題意有，即，，令，則，，所以當，取最大值，故當時，取最大值.綜上，若，則的最大值為.【題目點撥】本題考查了函數的單調性，函數最值，恒成立問題，構造函數，綜合性大，技巧強，計算量大，意在考查學生的綜合應用能力.18、（1）見解析；（2）面角的余弦值為【解題分析】

（1）取的中點，連接，由已知條件推導出，，從而平面，從而．（2）由已知得，以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：取的中點，連接．∵，∴，∵四邊形是菱形，且，∴是等邊三角形，∴，又，∴平面，又平面，∴（2）由，得，又在等邊三角形中得，，已知，∴，∴以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，∴設平面的一個法向量為，則，∴，∴，∴設平面的一個法向量為，則，∴，∴，∴∴又∵二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為考點：直線與平面垂直的判定，二面角的有關計算19、（1）；（2）.【解題分析】

又，由此即可求出結果；（2）利用，和數量及的定義，代入得結果．【題目詳解】解：又由問知．【題目點撥】本題考查平面向量的基本定理，和平面向量的數量積的運算公式及平面向量基本定理的應用．20、【解題分析】

根據正弦定理求出ABC截面圓的半徑，再由距離求出球的半徑，再求出其表面積?！绢}目詳解】在中【題目點撥】根據正弦定理求出ABC截面圓的半徑，再由距離求出球的半徑，再求出其表面積。21、（1）0；（2）見解析；（3）{x|x<0或x>5}【解題分析】

試題分析：（1）利用已知條件通過x=y=0，直接求f（0）；（2）通過函數的奇偶性的定義，直接證明f（x）是奇函數；（3）利用已知條件轉化不等式．通過函數的單調性直接求解不等12試題解析：（1）令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0定義域關于原點對稱y=-x，得f(x)+f(-x)=f(0)=0，∴f(-x)=f(x)∴f(x)是奇函數12f(即f又由已知得：f(2x)=2f由函數f（x∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考點：抽象函數及其應用；函數單調性的性質；函數奇偶性的判斷；其他不等式的解法．【方法點睛】解決抽象函數問題常用方法：1．換元法：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數問題的基本方法；2．方程組法：運用方程組通過消參、消元的途徑也可以解決有關抽象函數的問題；3．待定系數法：如果抽象函數的類型是確定的，則可用待定系數法來解答有關抽象函數的問題；4．賦值法：有些抽象函數的性質是用條件恒等式給出的，可通過賦