北京市海淀清華附中2024屆高二數(shù)學第二學期期末達標檢測試題含解析

北京市海淀清華附中2024屆高二數(shù)學第二學期期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，骰子朝上的面的點數(shù)分別為，，則滿足的概率為（）A． B． C． D．2．定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且3．在復平面內，復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．對于偶函數(shù)，“的圖象關于直線對稱”是“是周期為2的周期函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件5．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在時取得極大值，則的取值范圍是()A． B． C． D．7．設，是兩個不重合的平面，，是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．已知與之間的一組數(shù)據(jù)，則與的線性回歸方程必過點（）A． B． C． D．9．學校選派位同學參加北京大學、上海交通大學、浙江大學這所大學的自主招生考試，每所大學至少有一人參加,則不同的選派方法共有A．540種 B．240種 C．180種 D．150種10．已知某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是0.8，則該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為()A．0.85 B．0.8192 C．0.8 D．0.7511．如圖是某手機商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比堆積圖（如：第三季度華為銷量約占50%，蘋果銷量約占20%，三星銷量約占30%）．根據(jù)該圖，以下結論中一定正確的是（）A．華為的全年銷量最大 B．蘋果第二季度的銷量大于第三季度的銷量C．華為銷量最大的是第四季度 D．三星銷量最小的是第四季度12．如果，那么的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中的常數(shù)項等于_____.14．在的展開式中，的系數(shù)為_____.15．函數(shù)的單調遞減區(qū)間是_________.16．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示（網格紙上小正方形的邊長為1），則該“陽馬”外接球表面積為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，以為極點，為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù))．求直線被曲線截得的弦長.18．（12分）設命題冪函數(shù)在上單調遞減。命題在上有解；若為假，為真，求的取值范圍.19．（12分）（1）設：實數(shù)x滿足|x﹣m|＜2，設：實數(shù)x滿足＞1；若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍（2）已知p：函數(shù)f（x）＝ln（x2﹣ax+3）的定義城為R，已知q：已知且，指數(shù)函數(shù)g（x）＝（a﹣1）x在實數(shù)域內為減函數(shù)；若￢p∨q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．20．（12分）某校位同學的數(shù)學與英語成績如下表所示：學號數(shù)學成績英語成績學號數(shù)學成績英語成績將這位同學的兩科成績繪制成散點圖如下：（1）根據(jù)該校以往的經驗，數(shù)學成績與英語成績線性相關.已知這名學生的數(shù)學平均成績?yōu)?，英語平均成績?yōu)?考試結束后學校經過調查發(fā)現(xiàn)學號為的同學與學號為的同學（分別對應散點圖中的、）在英語考試中作弊，故將兩位同學的兩科成績取消，取消兩位作弊同學的兩科成績后，求其余同學的數(shù)學成績與英語成績的平均數(shù)；（2）取消兩位作弊同學的兩科成績后，求數(shù)學成績與英語成績的線性回歸方程，并據(jù)此估計本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊的英語成績（結果保留整數(shù)）.附：位同學的兩科成績的參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：，.21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，求的取值范圍．22．（10分）設是數(shù)列的前項的和，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，數(shù)列的前項和為，求使時的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先化簡，得到或.利用列舉法和古典概型概率計算公式可計算出所求的概率.【題目詳解】由，有，得或，則滿足條件的為，，，，，，，，，所求概率為．故選B.【題目點撥】本小題主要考查對數(shù)運算，考查列舉法求得古典概型概率有關問題，屬于基礎題.2、B【解題分析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結合解析式對其單調性以及函數(shù)值符號下結論．【題目詳解】設，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當時，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當時，，，故選B.【題目點撥】本題考查函數(shù)單調性與函數(shù)值符號的判斷，解決函數(shù)問題關鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．3、B【解題分析】

化簡復數(shù)，找出對應點得到答案.【題目詳解】對應點為在第二象限故答案選B【題目點撥】本題考查了復數(shù)的化簡，屬于簡單題.4、D【解題分析】

將兩個條件相互推導，根據(jù)推導的結果選出正確選項.【題目詳解】依題意，函數(shù)為偶函數(shù)，即.“的圖象關于直線對稱”“是周期為2的周期函數(shù)”.故為充要條件，即本小題選D.【題目點撥】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題.5、D【解題分析】

由奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對稱性，根據(jù)的圖象和的定義域便可判斷出錯誤，而由的單調性便可判斷選項錯誤，從而得出正確．【題目詳解】選項：根據(jù)的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知錯誤；選項：的定義域為，知該函數(shù)非奇非偶，可知錯誤；選項：時，為增函數(shù)，不符合題意，可知錯誤；選項：，可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在上單調遞減，可知正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)單調性的問題，屬于基礎題．6、D【解題分析】

求出原函數(shù)的導函數(shù)，可得當a≥0時，f（x）在x＝1取得極小值，不符合；當a＜0時，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），為使f（x）在x＝1取得極大值，則有l(wèi)n（﹣a）＞1，由此求得a的范圍得答案．【題目詳解】由，得f′（x）＝e2x+（a﹣e）ex﹣ae＝（ex+a）（ex﹣e）．當a≥0時，ex+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1．∴f（x）在（﹣∞，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，則f（x）在x＝1取得極小值，不符合；當a＜0時，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），為使f（x）在x＝1取得極大值，則有l(wèi)n（﹣a）＞1，∴a＜﹣e．∴a的取值范圍是a＜﹣e．故選：D．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，關鍵是明確函數(shù)單調性與導函數(shù)符號間的關系，是中檔題．7、D【解題分析】

選項逐一分析，得到正確答案.【題目詳解】A.正確，垂直于同一條直線的兩個平面平行；B.正確，垂直于同一個平面的兩條直線平行；C.正確，因為平面內存在直線，使，若，則，則；D.不正確，有可能.故選D.【題目點撥】本題重點考查了平行和垂直的概念辨析問題，屬于簡單題型.8、C【解題分析】

計算出和，即可得出回歸直線必過的點的坐標.【題目詳解】由題意可得，，因此，回歸直線必過點，故選：C.【題目點撥】本題考查回歸直線必過的點的坐標，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點”這一結論的應用，考查結論的應用，屬于基礎題.9、D【解題分析】分析：按題意5人去三所學校，人數(shù)分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分類加法原理求解．詳解：由題意不同方法數(shù)有．故選D．點睛：本題考查排列組合的綜合應用，此類問題可以先分組再分配，分組時在1，2，2一組中要注意2,2分組屬于均勻分組，因此組數(shù)為，不是，否則就出錯．10、B【解題分析】

因為某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是，則該射擊運動員射擊4次看做4次獨立重復試驗，則至少擊中3次的概率11、A【解題分析】

根據(jù)圖象即可看出，華為在每個季度的銷量都最大，從而得出華為的全年銷量最大，從而得出正確；由于不知每個季度的銷量多少，從而蘋果、華為和三星在哪個季度的銷量大或小是沒法判斷的，從而得出選項，，都錯誤．【題目詳解】根據(jù)圖象可看出，華為在每個季度的銷量都最大，所以華為的全年銷量最大；每個季度的銷量不知道，根據(jù)每個季度的百分比是不能比較蘋果在第二季度和第三季度銷量多少的，同樣不能判斷華為在哪個季度銷量最大，三星在哪個季度銷量最??；，，都錯誤，故選．【題目點撥】本題主要考查對銷量百分比堆積圖的理解．12、D【解題分析】

由誘導公式，可求得的值，再根據(jù)誘導公式化簡即可．【題目詳解】根據(jù)誘導公式，所以而所以選D【題目點撥】本題考查了誘導公式在三角函數(shù)式化簡中的應用，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

由題意可得，再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數(shù)項的值．【題目詳解】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，，通項公式為，令，求得，可得二項展開式常數(shù)項等于，故答案為1．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．14、【解題分析】

本題考查二項式定理.二項展開式的第項為.則的第項為，令，可得的系數(shù)為15、【解題分析】

求出導函數(shù)，在上解不等式可得的單調減區(qū)間．【題目詳解】，其中，令，則，故函數(shù)的單調減區(qū)間為，填．【題目點撥】一般地，若在區(qū)間上可導，且，則在上為單調減函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導且為減函數(shù)，則．注意求單調區(qū)間前先確定函數(shù)的定義域．16、【解題分析】

由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,.求出PC長度,可得四棱錐外接球的半徑,代入球的表面積公式即可求得.【題目詳解】由三視圖還原幾何體如圖,該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,,該幾何體外接球的半徑為.該“陽馬”外接球表面積為.故答案為:.【題目點撥】本題考查三視圖還原幾何體,考查幾何體外接球的表面積,難度較易.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】分析：首先求得直角坐標方程，然后求得圓心到直線的距離，最后利用弦長公式整理計算即可求得最終結果；詳解：利用加減消元法消去參數(shù)得曲線的直角坐標方程是，同時得到直線的普通方程是，圓心到直線的距離，則弦長為直線被曲線截得的弦長為點睛：本題考查了圓的弦長公式，極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程互化等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．18、.【解題分析】試題分析：由真可得，由真可得，為假，為真等價于一真一假，討論兩種情況，分別列不等式組，求解后再求并集即可.試題解析：若正確，則，若正確，為假，為真，∴一真一假即的取值范圍為.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）解絕對值不等式求得中的范圍，解分式不等式求得中的取值范圍.由是的必要不充分條件知是的充分不必要條件，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.（2）根據(jù)的定義域為求得為真時，的取值范圍.根據(jù)的單調性求得為假時的取值范圍.為假命題可知真假，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】（1）記，即由條件是的必要不充分條件知是的充分不必要條件，從而有是的真子集，則，可得，故（2）當為真命題時，函數(shù)的定義域為，則恒成立，即，從而；條件為假命題可知真假，當為假命題時有即從而當真假有即,故【題目點撥】本小題主要考查絕對值不等式、分式不等式的解法，考查對數(shù)函數(shù)的定義域，考查指數(shù)函數(shù)的單調性，考查含有簡單邏輯聯(lián)結詞命題真假性有關知識，屬于中檔題.20、（1）其余學生的數(shù)學平均分、英語平均分都為分；（2）數(shù)學成績與英語成績的線性回歸方程，本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊，他的英語成績估計為分.【解題分析】

（1）利用平均數(shù)的公式求出這名學生的數(shù)學成績之和以及英語成績之和，再減去、號學生的數(shù)學成績和英語成績，計算其余名學生的數(shù)學成績平均分和英語成績的平均分；（2）設取消的兩位同學的兩科成績分別為、，根據(jù)題中數(shù)據(jù)計算出和，并代入最小二乘法公共計算出回歸系數(shù)和，可得出回歸方程，再將號學生的數(shù)學成績代入回歸直線方程可得出其英語成績.【題目詳解】（1）由題名學生的數(shù)學成績之和為，英語成績之和為，取消兩位作弊同學的兩科成績后，其余名學生的數(shù)學成績之和，其余名學生的英語成績之和為.其余名學生的數(shù)學平均分，英語平均分都為；（2）不妨設取消的兩位同學的兩科成績分別為、，由題，，，，數(shù)學成績與英語成績的線性回歸方程.代入學號為的同學數(shù)學成績得，本次英語考試學號為的同學