2024屆浙江省麗水市四校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆浙江省麗水市四校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率等于的是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則函數(shù)滿足（）A．最小正周期為 B．圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在區(qū)間上為減函數(shù) D．圖像關(guān)于直線對(duì)稱3．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．5．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，若曲線與的關(guān)系為（）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含6．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．7．定義在上的函數(shù)，單調(diào)遞增，，若對(duì)任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若，則下列四個(gè)命題：①是在上的“追逐函數(shù)”；②若是在上的“追逐函數(shù)”，則；③是在上的“追逐函數(shù)”；④當(dāng)時(shí)，存在，使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③8．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)品（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程為，那么表中的值為（）A．4.5 B．3.75 C．4 D．4.19．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)為（）A． B． C． D．10．如圖所示，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，則（）A． B．1 C．2 D．011．由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為()A．6 B．4 C． D．12．“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)恰好是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的兩條漸近線的方程為_____.14．某地球儀上北緯緯線長(zhǎng)度為，則該地球儀的體積為_______.15．已知集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.16．若的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù),其中為常數(shù)且.(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求的值;(Ⅱ)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.18．（12分）某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測(cè)兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品作為樣本來(lái)檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖．表甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2103638122（1）將頻率視為概率．若乙套設(shè)備生產(chǎn)了10000件產(chǎn)品，則其中的合格品約有多少件？（2）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），且與曲線交于，兩點(diǎn).以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，若，求.20．（12分）某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，，……，后畫出如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：（1）求出物理成績(jī)低于50分的學(xué)生人數(shù)；（2）估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分以上為及格）；（3）從物理成績(jī)不及格的學(xué)生中選x人，其中恰有一位成績(jī)不低于50分的概率為，求此時(shí)x的值；21．（12分）已知函數(shù)().(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(Ⅱ)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．（1）記①討論函數(shù)單調(diào)性；②證明當(dāng)時(shí)，恒成立.（2）令設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用古典概型、組合的性質(zhì)直接求解.【題目詳解】在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式，組合的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】∵函數(shù)f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）?sinx=sin2x﹣?=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期為，故A不正確；令x=，求得f（x）=+=，為函數(shù)f（x）的最大值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，且f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱，故B不正確、D正確；在區(qū)間（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+為增函數(shù)，故C不正確，故選D．3、B【解題分析】

由題意得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可作出解答.【題目詳解】由題意得，e2i＝cos2＋isin2，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)坐標(biāo)的表示，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

試題分析：根據(jù)函數(shù)和都是奇函數(shù)，故排除A，C；由于函數(shù)是偶函數(shù)，周期為，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故不滿足題意條件，即B不正確；由于函數(shù)是偶函數(shù)，周期為，且在上是減函數(shù)，故滿足題意，故選D.考點(diǎn)：余弦函數(shù)的奇偶性；余弦函數(shù)的單調(diào)性.5、B【解題分析】

將兩曲線方程化為普通方程，可得知兩曲線均為圓，計(jì)算出兩圓圓心距，并將圓心距與兩圓半徑差的絕對(duì)值和兩半徑之和進(jìn)行大小比較，可得出兩曲線的位置關(guān)系.【題目詳解】在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，得，化為普通方程得，即，則曲線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，同理可知，曲線的普通方程為，則曲線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，兩圓圓心距為，，，，因此，曲線與相交，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，考查曲線極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，對(duì)于這類問(wèn)題，通常將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩圓圓心距與半徑和差的大小關(guān)系來(lái)得出兩圓的位置關(guān)系，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.6、A【解題分析】

用余弦的定義可以直接求解.【題目詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了余弦的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、B【解題分析】

由題意，分析每一個(gè)選項(xiàng)，首先判斷單調(diào)性，以及，再假設(shè)是“追逐函數(shù)”，利用題目已知的性質(zhì)，看是否滿足，然后確定答案.【題目詳解】對(duì)于①，可得，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，此時(shí)當(dāng)k=100時(shí)，不存在，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若是在上的“追逐函數(shù)”，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，在是遞增函數(shù)，若是“追逐函數(shù)”則，即，設(shè)函數(shù)即，則存在，所以②正確；對(duì)于③，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，當(dāng)k=4時(shí)，就不存在，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)t=m=1時(shí)，就成立，驗(yàn)證如下：，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即此時(shí)取即，故存在存在，所以④正確；故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對(duì)新定義的理解、應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)等，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)新定義的理解不到位而不能將其轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關(guān)系，實(shí)際上對(duì)新定義問(wèn)題的求解通常是將其與已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)相結(jié)合或?qū)⑵浔硎鲞M(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從而更加直觀，屬于難題.8、C【解題分析】

根據(jù)回歸直線必過(guò)，求出代入回歸直線可構(gòu)造出方程求得結(jié)果.【題目詳解】由數(shù)據(jù)表可知：，由回歸直線可知：，即：，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用回歸直線求解實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確回歸直線必過(guò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式即可得出．【題目詳解】x＝cos，y＝sin，可得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】分析：由切線方程確定切點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由切線方程可知，當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，函數(shù)在處切線的斜率為，即，據(jù)此可知：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查切線的幾何意義及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、D【解題分析】

先求可積區(qū)間，再根據(jù)定積分求面積.【題目詳解】由,得交點(diǎn)為，所以所求面積為，選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分求封閉圖形面積，考查基本求解能力，屬基本題.12、B【解題分析】時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不是奇函數(shù)時(shí)，不一定奇函數(shù)，當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，由可得，所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的必要不充分條件，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意計(jì)算出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用雙曲線知識(shí)求出的值，即可得到漸近線方程【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的半焦距，解得，故其漸近線方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了求雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意分別計(jì)算出焦點(diǎn)坐標(biāo)和的值，然后可得漸近線方程，較為基礎(chǔ)14、【解題分析】

地球儀上北緯緯線的周長(zhǎng)為，可求緯線圈的半徑，然后求出地球儀的半徑，再求體積．【題目詳解】作地球儀的軸截面，如圖所示：因?yàn)榈厍騼x上北緯緯線的周長(zhǎng)為，所以，因?yàn)?，所以，所以地球儀的半徑，所以地球儀的體積，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題地球儀為背景本質(zhì)考查線面位置關(guān)系和球的體積，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

通過(guò)，即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要集合交的運(yùn)算，難度較小.16、56【解題分析】試題分析：首先根據(jù)已知展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等得；然后寫出其展開式的通項(xiàng)，令即可求出展開式中的系數(shù).考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解題分析】

（I）由題意把代入導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)得0，即可求的值；（II）由題意等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下求極值，列關(guān)于a的不等式求解．【題目詳解】(Ⅰ)依題意得,所以，是函數(shù)的極值點(diǎn)，得f′(2)=0，解得或（舍去），故，(Ⅱ)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),即方程有三個(gè)不同實(shí)根，因?yàn)樗杂腥齻€(gè)不等實(shí)根，令，，，令，解得，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以為的極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),需滿足，解得，的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通常利用轉(zhuǎn)化思想將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化成等價(jià)函數(shù)或者方程根的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)條件列出不等式求解，考查數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用，屬于較難題.18、（1）8600件；（2）列聯(lián)表見解析，不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下可以認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．【解題分析】

（1）計(jì)算出不合格品率，和不合格品件數(shù)，由此求得合格品件數(shù).（2）根據(jù)題目所給表格和圖像數(shù)據(jù)，填寫好聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出“不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下可以認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．”【題目詳解】解：（1）由題圖1知，乙套設(shè)備生產(chǎn)的不合格品的概率約為，∴乙套設(shè)備生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格品約為（件），故合格品的件數(shù)為（件）．（2）由題中的表1和圖1得到2×2列聯(lián)表如下：甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品9686182不合格品41418合計(jì)100100200將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得的觀測(cè)值，因?yàn)?.105<6.635，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下可以認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查用頻率估計(jì)總體，考查聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19、(1).(2).【解題分析】分析：（1）先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可；（2）利用參數(shù)的幾何意義可得.詳解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，∵，，∴，即，此即為曲線的極坐標(biāo)方程.（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，將直線的參數(shù)方程代入，得，則，由參數(shù)的幾何意義可知，，，故.點(diǎn)睛：求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題的主要方法(1)直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用；(2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解．使用后一種方法時(shí)，應(yīng)注意若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．20、（1）6；（2）75%；（3）4；【解題分析】

（1）利用頻率分布直方圖可求得物理成績(jī)低于分的頻率，利用頻率乘以總數(shù)可得所求頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到物理成績(jī)不低于分的頻率，從而得到及格率；（3）計(jì)算出成績(jī)不低于分的人數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式可列出關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】（1）物理成績(jī)低于分的頻率為：物理成績(jī)低于分的學(xué)生人數(shù)為：人（2）物理成績(jī)不低于分的頻率為：這次考試物理學(xué)科及格率為：（3）物理成績(jī)不及格的學(xué)生共有：人其中成績(jī)不低于分的有：人由題意可知：，解得：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用頻率分布直方圖計(jì)算頻數(shù)、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體數(shù)據(jù)特征、古典概型概率的應(yīng)用問(wèn)題；關(guān)鍵是熟練掌握頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，考查概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)的綜合應(yīng)用.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解題分析】

(Ⅰ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后求出處的切線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求出切線方程，最后化為一般式方程；(Ⅱ)先證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，然后再證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立