福建省泉州市南安市第一中學2024屆數(shù)學高二下期末監(jiān)測試題含解析

福建省泉州市南安市第一中學2024屆數(shù)學高二下期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，若，則A． B． C． D．2．已知點，則點軌跡方程是（）A． B．C． D．3．若方程在區(qū)間（-1,1）和區(qū)間（1,2）上各有一根,則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．或4．學生會為了調(diào)查學生對年俄羅斯世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，抽樣調(diào)查人，得到如下數(shù)據(jù)：不關(guān)注關(guān)注總計男生301545女生451055總計7525100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過計算統(tǒng)計量，并參考以下臨界數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828若由此認為“學生對2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯的概率不超過（）A． B． C． D．5．球的體積是，則此球的表面積是（）A． B． C． D．6．已知隨機變量X服從正態(tài)分布且P（X4）=0.88，則P（0X4）=（）A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.127．設(shè)函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．8．已知復數(shù)，則（）A．1 B． C． D．59．在中，，則的形狀為（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形10．已知隨機變量服從二項分布，且，則（）A． B． C． D．11．某校學生一次考試成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（110，102），從中抽取一個同學的成績ξ，記“該同學的成績滿足90＜ξ≤110”為事件A，記“該同學的成績滿足80＜ξ≤100”為事件B，則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P（B|A）＝（）附：X滿足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1．A． B． C． D．12．若二項展開式中的系數(shù)只有第6項最小，則展開式的常數(shù)項的值為（）A．-252 B．-210 C．210 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則的值為___.14．甲、乙、丙、丁名同學被隨機地分到三個社區(qū)參加社會實踐，要求每個社區(qū)至少有一名同學，則甲、乙兩人被分在同一個社區(qū)的概率是______________．15．球的表面積是其大圓面積的________倍．16．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）命題方程表示雙曲線；命題不等式的解集是.為假，為真，求的取值范圍.18．（12分）為了了解青少年的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名青少年進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：常

喝不常喝總

計肥

胖2不肥胖18總

計30已知從這30名青少年中隨機抽取1名，抽到肥胖青少年的概率為．（1）請將列聯(lián)表補充完整；（2）是否有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？獨立性檢驗臨界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中n=a+b+c+d．19．（12分）已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.（1）當時，設(shè)，①寫出方程的解（）；②若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.20．（12分）如圖，平面，，，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為.（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）已知的內(nèi)角，，對應的邊分別為，，，若，且，，求的面積.22．（10分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，梯形面積為.（1）當，時，求梯形的周長(精確到)；（2）記，求面積以為自變量的函數(shù)解析式，并寫出其定義域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的線性運算法則，用、表示出即可.【題目詳解】即：本題正確選項：【題目點撥】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】由雙曲線的定義可知：點位于以為焦點的雙曲線的左支上，且，故其軌跡方程為，應選答案A。3、B【解題分析】

函數(shù)f（x）＝在區(qū)間（﹣1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個零點，則，解得即可．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）＝ax2﹣2x+1在區(qū)間（﹣1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個零點，∴，即，解得a＜1，故選B．【題目點撥】本題考查函數(shù)零點的判斷定理，理解零點判定定理的內(nèi)容，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式組是解本題的關(guān)鍵．4、A【解題分析】因為,所以若由此認為“學生對2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯的概率不超過，故選A.【方法點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯誤.）5、B【解題分析】

先計算出球的半徑，再計算表面積得到答案.【題目詳解】設(shè)球的半徑為R，則由已知得，解得，故球的表面積.故選：【題目點撥】本題考查了圓的體積和表面積的計算，意在考查學生的計算能力.6、B【解題分析】

正態(tài)曲線關(guān)于對稱，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解概率即可．【題目詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，，得對稱軸是，，，，故選B．【題目點撥】本題在充分理解正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，充分利用正態(tài)分布的對稱性解題，是一道基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

因為-2為極值點且為極大值點，故在-2的左側(cè)附近>0，-2的右側(cè)<0,所以當x>-2且在-2的右側(cè)附近時，排除BC，當x<-2且在-2的左側(cè)附近時，，排除AC，故選D8、C【解題分析】.故選9、B【解題分析】

利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，進而利用余弦定理化簡整理求得a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理判斷出三角形為直角三角形．【題目詳解】因為,，所以，有．整理得，故,的形狀為直角三角形．故選：B．【題目點撥】余弦的二倍角公式有三個，要根據(jù)不同的化簡需要進行選?。谂袛嗳切涡螤畹姆椒ㄖ校话阌?，利用正余弦定理邊化角，角化邊，尋找關(guān)系即可10、A【解題分析】

由二項分布與次獨立重復實驗的模型得：，，則，得解．【題目詳解】因為服從二項分布，，，所以，，即，，則，故選：A．【題目點撥】本題考查二項分布與次獨立重復實驗的模型，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

利用條件概率公式，即可得出結(jié)論.【題目詳解】由題意，，，所以，故選A項.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，正態(tài)分布的簡單應用，屬于簡單題.12、C【解題分析】，，令，所以常數(shù)項為，故選C．點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求函數(shù)的導函數(shù)，令即可求出的值.【題目詳解】因為令則所以【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)，及導函數(shù)求值，屬于中檔題.14、【解題分析】

可把甲乙看成一個整體，再分到三個社區(qū)，算出對應的方法種數(shù)，再由題意算出所有的分配種數(shù)，結(jié)合古典概型公式求解即可【題目詳解】把甲乙看作一個整體，再與其他兩人分到三個社區(qū)共有種方法，而所有的分配方法有種，則甲、乙兩人被分在同一個社區(qū)的概率是故答案為：【題目點撥】本題考查排列組合公式的應用，古典概型的求法，屬于基礎(chǔ)題15、【解題分析】

設(shè)球的半徑為，可得出球的表面積和球的大圓面積，從而可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)球的半徑為，則球的表面積為，球的大圓面積為，因此，球的表面積是其大圓面積的倍，故答案為：.【題目點撥】本題考查球的表面積公式的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、5.【解題分析】.試題分析：約束條件的可行域如圖△ABC所示.當目標函數(shù)過點A(1，1)時，z取最大值，最大值為1+4×1=5.【考點】線性規(guī)劃及其最優(yōu)解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】分析：先化簡命題p和q,再根據(jù)為假，為真得到真假或假真，最后得到m的不等式組，解不等式組即得m的取值范圍.詳解：真：，真：或∴因為為假，為真所以真假或假真，真假得假真得∴范圍為.點睛：（1）本題主要考查命題的化簡和復合命題的真假，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)復合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.18、（1）見解析（2）有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)【解題分析】試題分析：（1）設(shè)常喝碳酸飲料肥胖的學生有x人，求出x的值，填表即可；（2）計算觀測值K2，對照數(shù)表得出結(jié)論；試題解析：解：（1）設(shè)常喝碳酸飲料且肥胖的青少年人數(shù)為x，則=

解得x=6列聯(lián)表如下：常

喝不常喝總

計肥

胖628不肥胖41822總

計102030（2）由（1）中列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得隨機變量k2的觀測值：k=≈8.523＞7.789因此有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)．19、（1）①②4，6.（2）證明見詳解.【解題分析】

（1）①根據(jù)兩個元素之差為3，結(jié)合集合的元素，即可求得；②根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計算每個差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設(shè)不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【題目詳解】（1）①方程的解有：.②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11,10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：15,15；中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16.這28個差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，所以k的可能取值有4，6.（2）證明：不妨設(shè)，記，，共13個差數(shù).假設(shè)不存在滿足條件的k，則這13個數(shù)中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6，從而①又，這與①矛盾.故假設(shè)不成立，結(jié)論成立.即對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.【題目點撥】本題考查集合新定義問題，涉及反證法的使用，本題的關(guān)鍵是要理解題意，小心計算，大膽求證.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

可以以為軸、為軸、為軸構(gòu)建空間直角坐標系，寫出的空間坐標，通過證明得證平面通過求平面和平面的法向量得證二面角的余弦值．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，建立以為軸、為軸、為軸的空間直角坐標系，則，，，因為，所以．因為平面，且，所以平面．（2）設(shè)平面的法向量為，則因為，所以．令，則．所以是平面的一個法向量．因為平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，與的夾角的余弦值為．根據(jù)圖形可知，二面角的余弦值為．【題目點撥】在計算空間幾何以及二面角的時候，可以借助空間直角坐標系．21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用周期公式求出ω，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)f（x）的值域；（2）求出A，利用余弦定理求出bc，然后求解三角形的面積．【題目詳解】解：（1）的最小正周期是，得，當時，所以，此時的值域為（2）因為，所以，∴，的面積【