2024屆浙江省“七彩陽光”數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆浙江省“七彩陽光”數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．函數(shù)在點處的切線方程為（）A． B． C． D．4．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．六安一中高三教學樓共五層，甲、乙、丙、丁四人走進該教學樓2~5層的某一層樓上課，則滿足且僅有一人上5樓上課，且甲不在2樓上課的所有可能的情況有（）種A．27 B．81 C．54 D．1086．從裝有除顏色外完全相同的個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取次，設摸得黑球的個數(shù)為，已知，則等于（）A． B． C． D．7．若是第四象限角，，則（）A． B． C． D．8．已知三棱錐的體積為，，，，，且平面平面PBC，那么三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．9．已知滿足，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．110．命題“”的否定是（）A． B．C． D．11．甲、乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是25和12A．27 B．15 C．212．△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)滿足，且的導數(shù)，則不等式的解集為________．14．甲、乙、丙、丁四位同學中僅有一人申請了北京大學的自主招生考試，當他們被問到誰申請了北京大學的自主招生考試時，甲說：“丙或丁申請了”；乙說：“丙申請了”；丙說：“甲和丁都沒有申請”；丁說：“乙申請了”，如果這四位同學中只有兩人說的是對的，那么申請了北京大學的自主招生考試的同學是______．15．觀察下列等式：照此規(guī)律，則第五個等式應為________________.16．某人拋擲一枚均勻骰子，構造數(shù)列，使，記，則且的概率為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）請先閱讀：在等式的兩邊求導，得：，由求導法則，得：，化簡得等式：．利用上述的想法，結合等式（,正整數(shù)）（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）已知橢圓：的離心率，該橢圓中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點的直線，使直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過定點？若存在，求出所有符合條件的直線方程；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：.20．（12分）己知集合,（1）若，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．21．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人，為調查他們的睡眠情況，通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)？（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機選取一人，甲部門選出的員工記為A，乙部門選出的員工記為B，假設所有員工睡眠的時間相互獨立，求A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率；（3）若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．22．（10分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.(1)若，求證:;(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

本題可轉化為函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，然后對求導并判斷單調性，可確定的圖象特征，即可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意，可知在恰有兩個解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，令，則，當可得，故時，；時，.即在上單調遞減，在上單調遞增，，，，因為，所以當時，函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，即時，函數(shù)在恰有兩個零點.故選B.【題目點撥】已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；（2）數(shù)形結合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.2、C【解題分析】

對a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時分兩種情況討論，比較兩個函數(shù)的值域的關系，即得實數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當a=0時，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域為[1,+∞），函數(shù)的值域為[0,++∞），滿足題意.當a＜0時，y=的值域為（2a,+∞）,y=的值域為[a+2,-a+2],因為a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時函數(shù)g(x)的值域為（2a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當a＞0時，y=的值域為（2a,+∞）,y=的值域為[-a+2,a+2],當a≥時，-a+2≤2a,由題得.當0＜a＜時，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解題分析】分析：由題意，求得，得到，利用直線的點斜式方程，即可求解切線的方程；詳解：由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，又，所以切線過點，所以切線的方程為，即，故選D．點睛：本題主要考查了利用導數(shù)的幾何意義求解切線的方程問題，其中熟記導數(shù)的幾何意義的應用是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．4、B【解題分析】,對應點,位于第二象限,選B.5、B【解題分析】

以特殊元素甲為主體，根據(jù)分類計數(shù)原理，計算出所有可能的情況，求得結果.【題目詳解】甲在五樓有33甲不在五樓且不在二樓有C3由分類加法計數(shù)原理知共有54+27=81種不同的情況，故選B.【題目點撥】該題主要考查排列組合的有關知識，需要理解排列組合的概念，根據(jù)題目要求分情況計數(shù)，屬于簡單題目.6、C【解題分析】

根據(jù)二項分布的數(shù)學期望計算，即可得出答案?！绢}目詳解】根據(jù)題意可得出，即所以故選C【題目點撥】本題考查二項分布，屬于基礎題。7、C【解題分析】

確定角所處的象限，并求出的值，利用誘導公式求出的值．【題目詳解】是第四象限角，則，，且，所以，是第四象限角，則，因此，，故選C．【題目點撥】本題考查三角求值，考查同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式的應用，再利用同角三角函數(shù)基本關系求值時，要確定對象角的象限，于此確定所求角的三角函數(shù)值符號，結合相關公式求解，考查計算能力，屬于中等題．8、D【解題分析】試題分析：取中點，連接，由知，則，又平面平面，所以平面，設，則，又，則，，，，顯然是其外接球球心，因此．故選D．考點：棱錐與外接球，體積．9、C【解題分析】

令，利用導數(shù)可求得單調性，確定，進而得到結果.【題目詳解】令，則.，由得：；由得：，在上單調遞減，在上單調遞增，，即的最小值為.故選：.【題目點撥】本題考查函數(shù)最值的求解問題，關鍵是能夠利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，進而確定最值點.10、A【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定形式書寫.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定形式可知“”的否定是“”.故選A.【題目點撥】本題考查全稱命題的否定形式，屬于簡單題型.11、A【解題分析】

設事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個問題被解答”，則P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，求出P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.7【題目詳解】設事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個問題被解答”，則P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.2+0.3+0.2＝0.7∴在這個問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學都能正確回答該問題的概率：P（AB|C）=P(AB)故選：A【題目點撥】本題考查條件概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率公式的合理運用．12、D【解題分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點】余弦定理【名師點睛】本題屬于基礎題,考查內容單一,根據(jù)余弦定理整理出關于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因,請考生切記！二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：設根據(jù)題意可得函數(shù)在R上單調遞減，然后根據(jù)可得，最后根據(jù)單調性可求出x的取值范圍．設，，即函數(shù)F（x）在R上單調遞減，，而函數(shù)F（x）在R上單調遞減，，即，故答案為考點：導數(shù)的運算；其它不等式的解法14、乙【解題分析】

先假設甲乙丙丁中一個人說的是對的.然后再逐個去判斷其他三個人的說法.最后看是否滿足題意，不滿足排除．【題目詳解】解：先假設甲說的對，即甲或乙申請了.但申請人只有一個，(1)如果是甲，則乙說“丙申請了”就是錯的，丙說“甲和丁都沒申請”就是錯的，丁說“乙申請了”也是錯的，這樣三個錯的，不能滿足題意，故甲沒申請.(2)如果是乙，則乙說“丙申請了”就是錯的，丙說“甲和丁都沒申請”可以理解為申請人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故說法不對，丁說“乙申請了”也是對的，這樣說的對的就是兩個是甲和丁.滿足題意．故答案為：乙．【題目點撥】本題考查了合情推理的應用，屬于中檔題．15、【解題分析】

左邊根據(jù)首數(shù)字和數(shù)字個數(shù)找規(guī)律，右邊為平方數(shù)，得到答案.【題目詳解】等式左邊：第排首字母為，數(shù)字個數(shù)為等式右邊：第五個等式應為：故答案為：【題目點撥】本題考查了找規(guī)律，意在考查學生的應用能力.16、.【解題分析】

根據(jù)題意，拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，則且的情況有2種：①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，分別計算相應的概率求和即可.【題目詳解】拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，構造數(shù)列，使，記，則且的情況為：①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，相應的概率，②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，相應的概率為，所以概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布概率計算，結合排列組合與數(shù)列的知識，屬于綜合題，解題的關鍵在于對所求情況進行分析，再利用二項分布進行概率計算即可，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】

（1）根據(jù)題意對兩邊求導，再令得到結果；（2）對已知式子兩邊同時乘以得：再令，求得答案.【題目詳解】（1）依題意得對兩邊同時求導得：令得：（2）由（1）得：兩邊同時乘以得：對上式兩邊同時求導得即令，【題目點撥】本題以新定義為背景的創(chuàng)新題，考查二項式定和導數(shù)知識的交會，要求讀懂題意并會把知識遷移到新情境中進行問題解決，對綜合能力要求較高.18、(1).(2)存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過點.【解題分析】分析：由，該橢圓中心到直線的距離為，求出橢圓方程；（2）先假設存在這樣的直線，設出直線方程（注意考慮斜率），與橢圓聯(lián)立，考慮然后設，，利用韋達定理，利用為直徑的圓過定點，轉化，轉化坐標構造方程進行求解．詳解：（1）直線的一般方程為，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線即為軸，此時，為橢圓的短軸端點，以為直徑的圓經(jīng)過點.當直線的斜率存在時，設其斜率為，由，得.所以，得.設，，則，①而.因為以為直徑的圓過定點，所以，則，即.所以.②將①式代入②式整理解得.綜上可知，存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過點.點晴：本題考查直線與橢圓的位置關系，這類題目一般涉及設直線方程，然后和橢圓聯(lián)立，設點，考慮，然后利用韋達定理，接下來就是對題干的轉化啦，本題中典型的垂直問題，主要轉化方向就是向量點乘，因為斜率的話還需要考慮斜率是否存在．19、(1)-1；(2)；(3)參考解析【解題分析】試題分析：（1），可知在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以最大值為f(1).(2)在區(qū)間上為單調遞增函數(shù),即在上恒成立．，利用分離參數(shù)在上恒成立，即求的最大值．（3）有兩個實根，，兩式相減，又，．要證：，只需證：，令可證．試題解析：（1）函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以．（2）因為，所以，因為在區(qū)間單調遞增函數(shù)，所以在（0，3）恒成立，有=，（）綜上：（3）∵，又有兩個實根，∴，兩式相減，得，∴,于是．要證：，只需證：只需證：．(*)令，∴(*)化為，只證即可．在（0，1）上單調遞增，，即．∴．（其他解法根據(jù)情況酌情給分）20、（1）；（2）或【解題分析】

（1）求出集合或，由，列出不等式組，能求出實數(shù)a的取值范圍．（2）由，得到，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．【題目詳解】解：（1）∵集合，或，，∴，解得∴實數(shù)a的取值范圍是（2）或，解得或．∴實數(shù)a的取值范圍是或【題目點撥】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．將集合的運算轉化成子集問題需注意，若則有，進而轉化為不等式范圍問題.21、(1)24人；(2)；(3)X的分布列見解析；數(shù)學期望為1【解題分析】

（1）分層抽樣共抽?。?+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù)．（2）基本事件總數(shù)n18，利用列舉法求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件個數(shù)，由此能求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率．（3）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望E（X）．【題目詳解】（1）由題意，得到分層抽樣共抽?。?+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，∴該單位乙部門的員工人數(shù)為：624人．（2）由題意甲部門抽取3名員工，乙部門抽取6名員工，從甲部門和乙部門