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文檔簡介
2024屆浙江省“七彩陽光”數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)在恰有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.2.已知函數(shù)f(x)=2x-1,(a∈R),若對任意x1∈[1,+∞),總存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.3.函數(shù)在點處的切線方程為()A. B. C. D.4.歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系,它在復變函數(shù)論里非常重要,被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,表示的復數(shù)位于復平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.六安一中高三教學樓共五層,甲、乙、丙、丁四人走進該教學樓2~5層的某一層樓上課,則滿足且僅有一人上5樓上課,且甲不在2樓上課的所有可能的情況有()種A.27 B.81 C.54 D.1086.從裝有除顏色外完全相同的個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回地摸取次,設摸得黑球的個數(shù)為,已知,則等于()A. B. C. D.7.若是第四象限角,,則()A. B. C. D.8.已知三棱錐的體積為,,,,,且平面平面PBC,那么三棱錐外接球的體積為()A. B. C. D.9.已知滿足,其中,則的最小值為()A. B. C. D.110.命題“”的否定是()A. B.C. D.11.甲、乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題,他們能夠正確解答該問題的概率分別是25和12A.27 B.15 C.212.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知,,,則b=A. B. C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)滿足,且的導數(shù),則不等式的解集為________.14.甲、乙、丙、丁四位同學中僅有一人申請了北京大學的自主招生考試,當他們被問到誰申請了北京大學的自主招生考試時,甲說:“丙或丁申請了”;乙說:“丙申請了”;丙說:“甲和丁都沒有申請”;丁說:“乙申請了”,如果這四位同學中只有兩人說的是對的,那么申請了北京大學的自主招生考試的同學是______.15.觀察下列等式:照此規(guī)律,則第五個等式應為________________.16.某人拋擲一枚均勻骰子,構造數(shù)列,使,記,則且的概率為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)請先閱讀:在等式的兩邊求導,得:,由求導法則,得:,化簡得等式:.利用上述的想法,結合等式(,正整數(shù))(1)求的值;(2)求的值.18.(12分)已知橢圓:的離心率,該橢圓中心到直線的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)是否存在過點的直線,使直線與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過定點?若存在,求出所有符合條件的直線方程;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)在上的最大值;(2)令,若在區(qū)間上為單調遞增函數(shù),求的取值范圍;(3)當時,函數(shù)的圖象與軸交于兩點,且,又是的導函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明:.20.(12分)己知集合,(1)若,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若,求實數(shù)a的取值范圍.21.(12分)已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人,為調查他們的睡眠情況,通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時)甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5(1)求該單位乙部門的員工人數(shù)?(2)從甲部門和乙部門抽出的員工中,各隨機選取一人,甲部門選出的員工記為A,乙部門選出的員工記為B,假設所有員工睡眠的時間相互獨立,求A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率;(3)若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足,現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.22.(10分)如圖,直三棱柱中,,,,為的中點,點為線段上的一點.(1)若,求證:;(2)若,異面直線與所成的角為30°,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】
本題可轉化為函數(shù)與的圖象在上有兩個交點,然后對求導并判斷單調性,可確定的圖象特征,即可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意,可知在恰有兩個解,即函數(shù)與的圖象在上有兩個交點,令,則,當可得,故時,;時,.即在上單調遞減,在上單調遞增,,,,因為,所以當時,函數(shù)與的圖象在上有兩個交點,即時,函數(shù)在恰有兩個零點.故選B.【題目點撥】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值常用的方法:(1)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉化成求函數(shù)值域問題加以解決;(2)數(shù)形結合:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后觀察求解.2、C【解題分析】
對a分a=0,a<0和a>0討論,a>0時分兩種情況討論,比較兩個函數(shù)的值域的關系,即得實數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當a=0時,函數(shù)f(x)=2x-1的值域為[1,+∞),函數(shù)的值域為[0,++∞),滿足題意.當a<0時,y=的值域為(2a,+∞),y=的值域為[a+2,-a+2],因為a+2-2a=2-a>0,所以a+2>2a,所以此時函數(shù)g(x)的值域為(2a,+∞),由題得2a<1,即a<,即a<0.當a>0時,y=的值域為(2a,+∞),y=的值域為[-a+2,a+2],當a≥時,-a+2≤2a,由題得.當0<a<時,-a+2>2a,由題得2a<1,所以a<.所以0<a<.綜合得a的范圍為a<或1≤a≤2,故選C.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質,考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解題分析】分析:由題意,求得,得到,利用直線的點斜式方程,即可求解切線的方程;詳解:由題意,函數(shù),則,所以,即切線的斜率為,又,所以切線過點,所以切線的方程為,即,故選D.點睛:本題主要考查了利用導數(shù)的幾何意義求解切線的方程問題,其中熟記導數(shù)的幾何意義的應用是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.4、B【解題分析】,對應點,位于第二象限,選B.5、B【解題分析】
以特殊元素甲為主體,根據(jù)分類計數(shù)原理,計算出所有可能的情況,求得結果.【題目詳解】甲在五樓有33甲不在五樓且不在二樓有C3由分類加法計數(shù)原理知共有54+27=81種不同的情況,故選B.【題目點撥】該題主要考查排列組合的有關知識,需要理解排列組合的概念,根據(jù)題目要求分情況計數(shù),屬于簡單題目.6、C【解題分析】
根據(jù)二項分布的數(shù)學期望計算,即可得出答案?!绢}目詳解】根據(jù)題意可得出,即所以故選C【題目點撥】本題考查二項分布,屬于基礎題。7、C【解題分析】
確定角所處的象限,并求出的值,利用誘導公式求出的值.【題目詳解】是第四象限角,則,,且,所以,是第四象限角,則,因此,,故選C.【題目點撥】本題考查三角求值,考查同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式的應用,再利用同角三角函數(shù)基本關系求值時,要確定對象角的象限,于此確定所求角的三角函數(shù)值符號,結合相關公式求解,考查計算能力,屬于中等題.8、D【解題分析】試題分析:取中點,連接,由知,則,又平面平面,所以平面,設,則,又,則,,,,顯然是其外接球球心,因此.故選D.考點:棱錐與外接球,體積.9、C【解題分析】
令,利用導數(shù)可求得單調性,確定,進而得到結果.【題目詳解】令,則.,由得:;由得:,在上單調遞減,在上單調遞增,,即的最小值為.故選:.【題目點撥】本題考查函數(shù)最值的求解問題,關鍵是能夠利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性,進而確定最值點.10、A【解題分析】
根據(jù)全稱命題的否定形式書寫.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定形式可知“”的否定是“”.故選A.【題目點撥】本題考查全稱命題的否定形式,屬于簡單題型.11、A【解題分析】
設事件A表示“甲能回答該問題”,事件B表示“乙能回答該問題”,事件C表示“這個問題被解答”,則P(A)=0.4,P(B)=0.5,求出P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.7【題目詳解】設事件A表示“甲能回答該問題”,事件B表示“乙能回答該問題”,事件C表示“這個問題被解答”,則P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.2+0.3+0.2=0.7∴在這個問題已被解答的條件下,甲乙兩位同學都能正確回答該問題的概率:P(AB|C)=P(AB)故選:A【題目點撥】本題考查條件概率的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意等可能事件概率公式的合理運用.12、D【解題分析】
由余弦定理得,解得(舍去),故選D.【考點】余弦定理【名師點睛】本題屬于基礎題,考查內容單一,根據(jù)余弦定理整理出關于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因,請考生切記!二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】試題分析:設根據(jù)題意可得函數(shù)在R上單調遞減,然后根據(jù)可得,最后根據(jù)單調性可求出x的取值范圍.設,,即函數(shù)F(x)在R上單調遞減,,而函數(shù)F(x)在R上單調遞減,,即,故答案為考點:導數(shù)的運算;其它不等式的解法14、乙【解題分析】
先假設甲乙丙丁中一個人說的是對的.然后再逐個去判斷其他三個人的說法.最后看是否滿足題意,不滿足排除.【題目詳解】解:先假設甲說的對,即甲或乙申請了.但申請人只有一個,(1)如果是甲,則乙說“丙申請了”就是錯的,丙說“甲和丁都沒申請”就是錯的,丁說“乙申請了”也是錯的,這樣三個錯的,不能滿足題意,故甲沒申請.(2)如果是乙,則乙說“丙申請了”就是錯的,丙說“甲和丁都沒申請”可以理解為申請人有可能是乙,丙,戊,但是不一定是乙,故說法不對,丁說“乙申請了”也是對的,這樣說的對的就是兩個是甲和丁.滿足題意.故答案為:乙.【題目點撥】本題考查了合情推理的應用,屬于中檔題.15、【解題分析】
左邊根據(jù)首數(shù)字和數(shù)字個數(shù)找規(guī)律,右邊為平方數(shù),得到答案.【題目詳解】等式左邊:第排首字母為,數(shù)字個數(shù)為等式右邊:第五個等式應為:故答案為:【題目點撥】本題考查了找規(guī)律,意在考查學生的應用能力.16、.【解題分析】
根據(jù)題意,拋擲一枚均勻骰子,出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為,則且的情況有2種:①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時,則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù),②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時,則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù),分別計算相應的概率求和即可.【題目詳解】拋擲一枚均勻骰子,出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為,構造數(shù)列,使,記,則且的情況為:①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時,則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù),相應的概率,②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時,則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù),相應的概率為,所以概率為.故答案為:.【題目點撥】本題考查二項分布概率計算,結合排列組合與數(shù)列的知識,屬于綜合題,解題的關鍵在于對所求情況進行分析,再利用二項分布進行概率計算即可,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】
(1)根據(jù)題意對兩邊求導,再令得到結果;(2)對已知式子兩邊同時乘以得:再令,求得答案.【題目詳解】(1)依題意得對兩邊同時求導得:令得:(2)由(1)得:兩邊同時乘以得:對上式兩邊同時求導得即令,【題目點撥】本題以新定義為背景的創(chuàng)新題,考查二項式定和導數(shù)知識的交會,要求讀懂題意并會把知識遷移到新情境中進行問題解決,對綜合能力要求較高.18、(1).(2)存在直線:或:,使得以為直徑的圓經(jīng)過點.【解題分析】分析:由,該橢圓中心到直線的距離為,求出橢圓方程;(2)先假設存在這樣的直線,設出直線方程(注意考慮斜率),與橢圓聯(lián)立,考慮然后設,,利用韋達定理,利用為直徑的圓過定點,轉化,轉化坐標構造方程進行求解.詳解:(1)直線的一般方程為,依題意得,解得,所以橢圓的方程為.(2)當直線的斜率不存在時,直線即為軸,此時,為橢圓的短軸端點,以為直徑的圓經(jīng)過點.當直線的斜率存在時,設其斜率為,由,得.所以,得.設,,則,①而.因為以為直徑的圓過定點,所以,則,即.所以.②將①式代入②式整理解得.綜上可知,存在直線:或:,使得以為直徑的圓經(jīng)過點.點晴:本題考查直線與橢圓的位置關系,這類題目一般涉及設直線方程,然后和橢圓聯(lián)立,設點,考慮,然后利用韋達定理,接下來就是對題干的轉化啦,本題中典型的垂直問題,主要轉化方向就是向量點乘,因為斜率的話還需要考慮斜率是否存在.19、(1)-1;(2);(3)參考解析【解題分析】試題分析:(1),可知在[,1]是增函數(shù),在[1,2]是減函數(shù),所以最大值為f(1).(2)在區(qū)間上為單調遞增函數(shù),即在上恒成立.,利用分離參數(shù)在上恒成立,即求的最大值.(3)有兩個實根,,兩式相減,又,.要證:,只需證:,令可證.試題解析:(1)函數(shù)在[,1]是增函數(shù),在[1,2]是減函數(shù),所以.(2)因為,所以,因為在區(qū)間單調遞增函數(shù),所以在(0,3)恒成立,有=,()綜上:(3)∵,又有兩個實根,∴,兩式相減,得,∴,于是.要證:,只需證:只需證:.(*)令,∴(*)化為,只證即可.在(0,1)上單調遞增,,即.∴.(其他解法根據(jù)情況酌情給分)20、(1);(2)或【解題分析】
(1)求出集合或,由,列出不等式組,能求出實數(shù)a的取值范圍.(2)由,得到,由此能求出實數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】解:(1)∵集合,或,,∴,解得∴實數(shù)a的取值范圍是(2)或,解得或.∴實數(shù)a的取值范圍是或【題目點撥】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查交集定義、不等式性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.將集合的運算轉化成子集問題需注意,若則有,進而轉化為不等式范圍問題.21、(1)24人;(2);(3)X的分布列見解析;數(shù)學期望為1【解題分析】
(1)分層抽樣共抽?。?+6+6=15名員工,其中該單位乙部門抽取6名員工,由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù).(2)基本事件總數(shù)n18,利用列舉法求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件個數(shù),由此能求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率.(3)X的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率,由此能求出X的分布列和數(shù)學期望E(X).【題目詳解】(1)由題意,得到分層抽樣共抽?。?+6+6=15名員工,其中該單位乙部門抽取6名員工,∴該單位乙部門的員工人數(shù)為:624人.(2)由題意甲部門抽取3名員工,乙部門抽取6名員工,從甲部門和乙部門
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