2024屆浙江省“七彩陽(yáng)光”數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆浙江省“七彩陽(yáng)光”數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對(duì)任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．4．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．六安一中高三教學(xué)樓共五層，甲、乙、丙、丁四人走進(jìn)該教學(xué)樓2~5層的某一層樓上課，則滿足且僅有一人上5樓上課，且甲不在2樓上課的所有可能的情況有（）種A．27 B．81 C．54 D．1086．從裝有除顏色外完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個(gè)數(shù)為，已知，則等于（）A． B． C． D．7．若是第四象限角，，則（）A． B． C． D．8．已知三棱錐的體積為，，，，，且平面平面PBC，那么三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．9．已知滿足，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．110．命題“”的否定是（）A． B．C． D．11．甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地解答同一個(gè)問(wèn)題，他們能夠正確解答該問(wèn)題的概率分別是25和12A．27 B．15 C．212．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_______．14．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問(wèn)到誰(shuí)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說(shuō)：“丙或丁申請(qǐng)了”；乙說(shuō)：“丙申請(qǐng)了”；丙說(shuō)：“甲和丁都沒(méi)有申請(qǐng)”；丁說(shuō)：“乙申請(qǐng)了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說(shuō)的是對(duì)的，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．15．觀察下列等式：照此規(guī)律，則第五個(gè)等式應(yīng)為_(kāi)_______________.16．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的概率為_(kāi)____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）請(qǐng)先閱讀：在等式的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得：，化簡(jiǎn)得等式：．利用上述的想法，結(jié)合等式（,正整數(shù)）（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）已知橢圓：的離心率，該橢圓中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，使直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有符合條件的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：.20．（12分）己知集合,（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門共有員工60人，為調(diào)查他們的睡眠情況，通過(guò)分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)？（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機(jī)選取一人，甲部門選出的員工記為A，乙部門選出的員工記為B，假設(shè)所有員工睡眠的時(shí)間相互獨(dú)立，求A的睡眠時(shí)間不少于B的睡眠時(shí)間的概率；（3）若將每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．22．（10分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).(1)若，求證:;(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意，可知在恰有兩個(gè)解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)可得，故時(shí)，；時(shí)，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn).故選B.【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.2、C【解題分析】

對(duì)a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時(shí)分兩種情況討論，比較兩個(gè)函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域?yàn)閇1,+∞），函數(shù)的值域?yàn)閇0,++∞），滿足題意.當(dāng)a＜0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇a+2,-a+2],因?yàn)閍+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時(shí)函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當(dāng)a＞0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇-a+2,a+2],當(dāng)a≥時(shí)，-a+2≤2a,由題得.當(dāng)0＜a＜時(shí)，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解題分析】分析：由題意，求得，得到，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解切線的方程；詳解：由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，又，所以切線過(guò)點(diǎn)，所以切線的方程為，即，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程問(wèn)題，其中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．4、B【解題分析】,對(duì)應(yīng)點(diǎn),位于第二象限,選B.5、B【解題分析】

以特殊元素甲為主體，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出所有可能的情況，求得結(jié)果.【題目詳解】甲在五樓有33甲不在五樓且不在二樓有C3由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有54+27=81種不同的情況，故選B.【題目點(diǎn)撥】該題主要考查排列組合的有關(guān)知識(shí)，需要理解排列組合的概念，根據(jù)題目要求分情況計(jì)數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題目.6、C【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望計(jì)算，即可得出答案?！绢}目詳解】根據(jù)題意可得出，即所以故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布，屬于基礎(chǔ)題。7、C【解題分析】

確定角所處的象限，并求出的值，利用誘導(dǎo)公式求出的值．【題目詳解】是第四象限角，則，，且，所以，是第四象限角，則，因此，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時(shí)，要確定對(duì)象角的象限，于此確定所求角的三角函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合相關(guān)公式求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、D【解題分析】試題分析：取中點(diǎn)，連接，由知，則，又平面平面，所以平面，設(shè)，則，又，則，，，，顯然是其外接球球心，因此．故選D．考點(diǎn)：棱錐與外接球，體積．9、C【解題分析】

令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，確定，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】令，則.，由得：；由得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)最值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值點(diǎn).10、A【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定形式書寫.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定形式可知“”的否定是“”.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查全稱命題的否定形式，屬于簡(jiǎn)單題型.11、A【解題分析】

設(shè)事件A表示“甲能回答該問(wèn)題”，事件B表示“乙能回答該問(wèn)題”，事件C表示“這個(gè)問(wèn)題被解答”，則P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，求出P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.7【題目詳解】設(shè)事件A表示“甲能回答該問(wèn)題”，事件B表示“乙能回答該問(wèn)題”，事件C表示“這個(gè)問(wèn)題被解答”，則P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.2+0.3+0.2＝0.7∴在這個(gè)問(wèn)題已被解答的條件下，甲乙兩位同學(xué)都能正確回答該問(wèn)題的概率：P（AB|C）=P(AB)故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率公式的合理運(yùn)用．12、D【解題分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點(diǎn)】余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過(guò)解方程求b.運(yùn)算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請(qǐng)考生切記！二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：設(shè)根據(jù)題意可得函數(shù)在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)可得，最后根據(jù)單調(diào)性可求出x的取值范圍．設(shè)，，即函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，，而函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，，即，故答案為考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；其它不等式的解法14、乙【解題分析】

先假設(shè)甲乙丙丁中一個(gè)人說(shuō)的是對(duì)的.然后再逐個(gè)去判斷其他三個(gè)人的說(shuō)法.最后看是否滿足題意，不滿足排除．【題目詳解】解：先假設(shè)甲說(shuō)的對(duì)，即甲或乙申請(qǐng)了.但申請(qǐng)人只有一個(gè)，(1)如果是甲，則乙說(shuō)“丙申請(qǐng)了”就是錯(cuò)的，丙說(shuō)“甲和丁都沒(méi)申請(qǐng)”就是錯(cuò)的，丁說(shuō)“乙申請(qǐng)了”也是錯(cuò)的，這樣三個(gè)錯(cuò)的，不能滿足題意，故甲沒(méi)申請(qǐng).(2)如果是乙，則乙說(shuō)“丙申請(qǐng)了”就是錯(cuò)的，丙說(shuō)“甲和丁都沒(méi)申請(qǐng)”可以理解為申請(qǐng)人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故說(shuō)法不對(duì)，丁說(shuō)“乙申請(qǐng)了”也是對(duì)的，這樣說(shuō)的對(duì)的就是兩個(gè)是甲和丁.滿足題意．故答案為：乙．【題目點(diǎn)撥】本題考查了合情推理的應(yīng)用，屬于中檔題．15、【解題分析】

左邊根據(jù)首數(shù)字和數(shù)字個(gè)數(shù)找規(guī)律，右邊為平方數(shù)，得到答案.【題目詳解】等式左邊：第排首字母為，數(shù)字個(gè)數(shù)為等式右邊：第五個(gè)等式應(yīng)為：故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了找規(guī)律，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.16、.【解題分析】

根據(jù)題意，拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，則且的情況有2種：①當(dāng)前2次同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)時(shí)，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，②當(dāng)前2次出現(xiàn)奇數(shù)時(shí)，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，分別計(jì)算相應(yīng)的概率求和即可.【題目詳解】拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的情況為：①當(dāng)前2次同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)時(shí)，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，相應(yīng)的概率，②當(dāng)前2次出現(xiàn)奇數(shù)時(shí)，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，相應(yīng)的概率為，所以概率為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布概率計(jì)算，結(jié)合排列組合與數(shù)列的知識(shí)，屬于綜合題，解題的關(guān)鍵在于對(duì)所求情況進(jìn)行分析，再利用二項(xiàng)分布進(jìn)行概率計(jì)算即可，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】

（1）根據(jù)題意對(duì)兩邊求導(dǎo)，再令得到結(jié)果；（2）對(duì)已知式子兩邊同時(shí)乘以得：再令，求得答案.【題目詳解】（1）依題意得對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：令得：（2）由（1）得：兩邊同時(shí)乘以得：對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得即令，【題目點(diǎn)撥】本題以新定義為背景的創(chuàng)新題，考查二項(xiàng)式定和導(dǎo)數(shù)知識(shí)的交會(huì)，要求讀懂題意并會(huì)把知識(shí)遷移到新情境中進(jìn)行問(wèn)題解決，對(duì)綜合能力要求較高.18、(1).(2)存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).【解題分析】分析：由，該橢圓中心到直線的距離為，求出橢圓方程；（2）先假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)出直線方程（注意考慮斜率），與橢圓聯(lián)立，考慮然后設(shè)，，利用韋達(dá)定理，利用為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化坐標(biāo)構(gòu)造方程進(jìn)行求解．詳解：（1）直線的一般方程為，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線即為軸，此時(shí)，為橢圓的短軸端點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，由，得.所以，得.設(shè)，，則，①而.因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)定點(diǎn)，所以，則，即.所以.②將①式代入②式整理解得.綜上可知，存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).點(diǎn)晴：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，這類題目一般涉及設(shè)直線方程，然后和橢圓聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)，考慮，然后利用韋達(dá)定理，接下來(lái)就是對(duì)題干的轉(zhuǎn)化啦，本題中典型的垂直問(wèn)題，主要轉(zhuǎn)化方向就是向量點(diǎn)乘，因?yàn)樾甭实脑掃€需要考慮斜率是否存在．19、(1)-1；(2)；(3)參考解析【解題分析】試題分析：（1），可知在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以最大值為f(1).(2)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),即在上恒成立．，利用分離參數(shù)在上恒成立，即求的最大值．（3）有兩個(gè)實(shí)根，，兩式相減，又，．要證：，只需證：，令可證．試題解析：（1）函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以．（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增函數(shù)，所以在（0，3）恒成立，有=，（）綜上：（3）∵，又有兩個(gè)實(shí)根，∴，兩式相減，得，∴,于是．要證：，只需證：只需證：．(*)令，∴(*)化為，只證即可．在（0，1）上單調(diào)遞增，，即．∴．（其他解法根據(jù)情況酌情給分）20、（1）；（2）或【解題分析】

（1）求出集合或，由，列出不等式組，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）由，得到，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【題目詳解】解：（1）∵集合，或，，∴，解得∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2）或，解得或．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是或【題目點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．將集合的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成子集問(wèn)題需注意，若則有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式范圍問(wèn)題.21、(1)24人；(2)；(3)X的分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望為1【解題分析】

（1）分層抽樣共抽取：3+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù)．（2）基本事件總數(shù)n18，利用列舉法求出A的睡眠時(shí)間不少于B的睡眠時(shí)間包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出A的睡眠時(shí)間不少于B的睡眠時(shí)間的概率．（3）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．【題目詳解】（1）由題意，得到分層抽樣共抽取：3+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，∴該單位乙部門的員工人數(shù)為：624人．（2）由題意甲部門抽取3名員工，乙部門抽取6名員工，從甲部門和乙部門