2024屆山東省新泰二中、泰安三中、寧陽二中數(shù)學高二下期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆山東省新泰二中、泰安三中、寧陽二中數(shù)學高二下期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)，，給定下列命題：①若方程有兩個不同的實數(shù)根，則；②若方程恰好只有一個實數(shù)根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù).則正確命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)，則（）A．4 B．6 C．8 D．103．已知函數(shù).正實數(shù)滿足，則下述結(jié)論中正確的一項是()A． B．C． D．4．某學校舉辦科技節(jié)活動，有甲、乙、丙、丁四個團隊參加“智能機器人”項目比賽，該項目只設置一個一等獎．在評獎揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學對這四個參賽團隊獲獎結(jié)果預測如下：小張說：“甲或乙團隊獲得一等獎”；小王說：“丁團隊獲得一等獎”；小李說：“乙、丙兩個團隊均未獲得一等獎”；小趙說：“甲團隊獲得一等獎”．若這四位同學中有且只有兩位預測結(jié)果是對的，則獲得一等獎的團隊是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．已知定義在上的函數(shù)滿足：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當成立(是函數(shù)的導函數(shù)),若，，,則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．在中，已知，，則的最大值為（）A． B． C． D．7．已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為y，則實數(shù)a的值為x23456y3711a21A．16 B．18C．20 D．228．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．已知四個命題：①如果向量與共線，則或；②是的充分不必要條件；③命題：，的否定是：，；④“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確的.以上命題正確的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．310．魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．這是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“…”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)=（）A．2 B．3 C．4 D．611．下面有五個命題：①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπA．①③ B．①④ C．②③ D．③④12．已知橢圓（為參數(shù)）與軸正半軸，軸正半軸的交點分別為，動點是橢圓上任一點，則面積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，，則．14．在長方體中，，，點為線段的中點，點為對角線上的動點，點為底面上的動點，則的最小值為______．15．某產(chǎn)品的廣告費用(萬元)與銷售額(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)上表可得回歸方程中的為7。據(jù)此模型預測廣告費用為10萬元時銷售額為__________萬元。16．將紅、黃、藍三種顏色的三顆棋子分別放入方格圖中的三個方格內(nèi)，如圖，要求任意兩顆棋子不同行、不同列，且不在方格圖所在正方形的同一條對角線上，則不同放法共有________種.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點，，，，直線與平面所成的角等于．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12分）已知集合，．（1）求；（2）若集合，求的取值范圍；19．（12分）畢業(yè)季有位好友欲合影留念，現(xiàn)排成一排，如果：（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數(shù)的最小值.21．（12分）設函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當時，.22．（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式有實數(shù)解，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點，極值以及恒成立問題.【題目詳解】對于①，的定義域，，令有即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，且當時，又，從而要使得方程有兩個不同的實根，即與有兩個不同的交點，所以，故①正確對于②，易知不是該方程的根，當時，，方程有且只有一個實數(shù)根，等價于和只有一個交點，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為．由大致圖像可知或，故②錯對于③當時，恒成立，等價于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是，故③正確.對于④有兩個不同極值點，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個數(shù)為3，故選.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目．解題時注意利用數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)圖象得到結(jié)論．2、D【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的模長公式進行計算即可．【題目詳解】z＝8+6i，則8﹣6i，則||10，故選：D．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的模長的計算，根據(jù)條件求出是解決本題的關(guān)鍵．3、A【解題分析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中.解答本題的關(guān)鍵是將方程問題轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)求最值進而通過解不等式解答.4、D【解題分析】1.若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預測都正確,與題意不符;2.若乙獲得一等獎,則只有小張的預測正確,與題意不符;3.若丙獲得一等獎,則四人的預測都錯誤,與題意不符;4.若丁獲得一等獎,則小王、小李的預測正確,小張、小趙的預測錯誤,符合題意，故選D.【思路點睛】本題主要考查演繹推理的定義與應用以及反證法的應用，屬于中檔題.本題中，若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預測都正確,與題意不符；若乙獲得一等獎,則只有小張的預測正確,與題意不符；若丙獲得一等獎,則四人的預測都錯誤,與題意不符；若丁獲得一等獎,則小王、小李的預測正確,小張、小趙的預測錯誤,符合題意.5、A【解題分析】

由導數(shù)性質(zhì)推導出當x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=xf（x）單調(diào)遞減．由此能求出結(jié)果．【題目詳解】∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴關(guān)于軸對稱，∴函數(shù)為奇函數(shù).因為，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞減.，，，，故選A【題目點撥】利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等6、C【解題分析】

由題知，先設，再利用余弦定理和已知條件求得和的關(guān)系，設代入，利用求出的范圍，便得出的最大值.【題目詳解】由題意，設的三邊分別為，由余弦定理得：，因為，，所以，即，設，則，代入上式得：，，所以.當時，符合題意，所以的最大值為，即的最大值為.故選:C.【題目點撥】本題主要考查運用的余弦定理求線段和得最值，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，以及根的判別式大于等于0求解.7、B【解題分析】

，代入回歸直線方程得，所以，則，故選擇B.8、A【解題分析】

根據(jù)是偶函數(shù)可以得出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可以得出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，從而解出不等式對任意的恒成立時的取值范圍．【題目詳解】是偶函數(shù)，所以得出函數(shù)的對稱軸為，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以．因為不等式對任意的恒成立，所以．選擇A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的對稱軸和奇偶性的綜合問題，在解決此類題目時要搞清楚每一個條件能得出什么結(jié)論，把這些結(jié)論綜合起來即得出結(jié)果．屬于較難的題目．9、B【解題分析】

由向量共線定理可判斷①；由充分必要條件的定義可判斷②；由特稱命題的否定為全稱命題，可判斷③；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷④．【題目詳解】①，如果向量與共線，可得xy，不一定或，故①錯誤；②，|x|≤3?﹣3≤x≤3，x≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x≤3，x≤3是|x|≤3的必要不充分條件，故②錯誤；③，命題p：?x0∈（0，2），的否定是￢p：?x∈（0，2），x2﹣2x﹣3≥0，故③錯誤；④，“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”由于a＞1時，y＝ax為增函數(shù)，0＜a＜1時，y＝ax為減函數(shù)，此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確的，故④正確．其中正確個數(shù)為1．故選B．【題目點撥】本題考查命題的真假判斷，主要是向量共線定理和充分必要條件的判斷、命題的否定和三段論，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

先閱讀理解題意，再結(jié)合題意類比推理可得：設，解得，得解．【題目詳解】解：依題意可設，解得，故選：．【題目點撥】本題考查類比推理，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

①先進行化簡，再利用求周期的公式即可判斷出是否正確；②對k分奇數(shù)、偶數(shù)討論即可；③令h（x）=x﹣sinx，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可；④利用三角函數(shù)的平移變換化簡求解即可．【題目詳解】①函數(shù)y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，∴最小正周期T=2π2=π，∴函數(shù)y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①②當k=2n（n為偶數(shù)）時，a=2nπ2=nπ，表示的是終邊在x軸上的角，故②③令h（x）=x﹣sinx，則h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數(shù)h（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，故函數(shù)y=sinx與y=x最多只能一個交點，因此③不正確；④把函數(shù)y=3sin（2x+π3）的圖象向右平移π6得到y(tǒng)=3sin（2x﹣π3綜上可知：只有①④正確．故選B．【題目點撥】本題綜合考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、三角函數(shù)取值及終邊相同的角，利用誘導公式進行化簡和利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．12、B【解題分析】分析：根據(jù)橢圓的方程算出A（4，1）、B（1，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y﹣12=1．設點P（4cosθ，3sinθ），由點到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=|sin﹣1|，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出dmax=（），由此結(jié)合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．詳解：由題得橢圓C方程為：，∴橢圓與x正半軸交于點A（4，1），與y正半軸的交于點B（1，3），∵P是橢圓上任一個動點，設點P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴點P到直線AB：3x+4y﹣12=1的距離為d==|sin﹣1|，由此可得：當θ=時，dmax=（）∴△PAB面積的最大值為S=|AB|×dmax=6（）.點睛：(1)本題主要考查橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)對于|sin﹣1|，不是sin=1時，整個函數(shù)取最大值，而應該是sin=-1，要看后面的“-1”.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.8【解題分析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線對稱性求，再根據(jù)求結(jié)果.詳解：因為正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以,因此點睛：利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.14、【解題分析】

畫出圖形,利用折疊與展開法則使和在同一個平面,轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小,即可求得的最小值．【題目詳解】當?shù)淖钚≈?即到底面的距離的最小值與的最小值之和.為底面上的動點,當是在底面上的射影,即是最小值.展開三角形與三角形在同一個平面上,如圖:長方體中，，長方體體對角線長為:在中:故故過點作,即為最小值.在,故答案為:.【題目點撥】解答折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些條件發(fā)生了變化,哪些條件沒有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問題和解決問題的依據(jù).15、73.5【解題分析】

求出，根據(jù)回歸直線過樣本點的中心，結(jié)合已知為7，可以求出，把，代入回歸方程中，可預測出銷售額.【題目詳解】由題表可知，，代入回歸方程，得，所以回歸方程為，所以當時，(萬元)．【題目點撥】本題考查了回歸直線過樣本點的中心這一結(jié)論.考查了學生的運算能力.16、【解題分析】

根據(jù)題意，用間接法分析，先計算三顆棋子分別放入方格圖中的三個方格內(nèi)任意兩顆棋子不同行、不同列的放法數(shù)目，再排除其中在同一條對角線上的數(shù)目，分析即可得出答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，用間接法分析：若三顆棋子分別放入方格圖中的三個方格內(nèi)，且任意兩顆棋子不同行、不同列，第一顆棋子有種放法，第二顆棋子有種放法，第三顆棋子有種放法，則任意兩顆棋子不同行、不同列的放法有種，其中在正方形的同一條對角線上的放法有種，則滿足題意的放法有種.故答案為：.【題目點撥】本題考查分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)．【解題分析】

（Ⅰ）先證得，再證得，于是可得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用幾何法求解或建立坐標系，利用向量求解即可得到所求．【題目詳解】（Ⅰ）在中，是斜邊的中點，所以.因為是的中點，所以，且，所以，所以.又因為，所以，又，所以平面，因為平面，所以平面平面．（Ⅱ）方法一：取中點，連，則，因為，所以.又因為，，所以平面，所以平面．因此是直線與平面所成的角．故，所以.過點作于，則平面，且．過點作于，連接，則為二面角的平面角．因為，所以，所以，因此二面角的余弦值為．方法二：如圖所示，在平面BCD中，作x軸⊥BD，以B為坐標原點，BD，BA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系．因為(同方法一,過程略)則，,．所以,,，設平面的法向量，則，即，取,得．設平面的法向量則，即，取,得．所以，由圖形得二面角為銳角，因此二面角的余弦值為．【題目點撥】利用幾何法求空間角的步驟為“作、證、求”，將所求角轉(zhuǎn)化為解三角形的問題求解，注意計算和證明的交替運用．利用空間向量求空間角時首先要建立適當?shù)淖鴺讼担ㄟ^求出兩個向量的夾角來求出空間角，此時需要注意向量的夾角與空間角的關(guān)系．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）分別求解出集合和集合，根據(jù)交集的定義求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，由（1）可知，從而得到關(guān)于的不等式，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】；（1）（2），即又時，或或即的取值范圍為：【題目點撥】本題考查集合運算中的交集運算、求解集合中參數(shù)取值范圍的問題；關(guān)鍵是能夠準確求解出兩個集合；易錯點是忽略兩個集合均為數(shù)集的特點，誤認為兩集合元素不一致，導致求解錯誤.19、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）利用插空法可求出排法種數(shù)；（2）利用捆綁法可求出排法種數(shù)；（3）分兩種情況討論：①若在排尾；②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數(shù)，由加法原理計算可得出答案.【題目詳解】（1）將、插入到其余人所形成的個空中，因此，排法種數(shù)為；（2）將、兩人捆綁在一起看作一個復合元素和其他人去安排，因此，排法種數(shù)為；（3）分以下兩種情況討論：①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；②若不在排尾，則有個位置可選，有個位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個位置即可，此時，共有種排法.綜上所述，共有種不同的排法種數(shù).【題目點撥】本題考查了排列、組合的應用，同時也考查了插空法、捆綁法以及分類計數(shù)原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進而求得實數(shù)的最小值即可.【題目詳解】（1）證明：由,得,.設,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因為（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：設,.,,所以,.下面證明當時,成立.,因為,所以,所以.又因為當時,,所以,所以,所以,當時,.故,.所以,的