2024屆蘭州第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆蘭州第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，分別是,的中點(diǎn)，則四面體在平面上的正投影是A． B． C． D．2．現(xiàn)有甲、乙等5名同學(xué)排成一排照相，則甲、乙兩名同學(xué)相鄰，且甲不站兩端的站法有（）A．24種 B．36種 C．40種 D．48種3．已知函數(shù)，的圖象過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)，的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象與原圖象重合，若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則（）A． B． C． D．4．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．不等式的解集為（）A． B．C． D．6．某村莊對(duì)改村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：每年體檢每年未體檢合計(jì)老年人7年輕人6合計(jì)50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯(cuò)誤的是()A． B． C． D．7．若，且m，n，，則（）A． B． C． D．8．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線外一點(diǎn)，若∠∠，則的值為()A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為A．32 B．128 C．64 D．25611．若實(shí)數(shù)x、y的取值如表，從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且回歸方程為y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．1712．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對(duì)于實(shí)數(shù)、，“若，則或”為_(kāi)_______命題（填“真”、“假”）14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)________．15．底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的圓錐的體積為_(kāi)_____．16．如圖，在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為cm的正六棱柱容器內(nèi)有一個(gè)半徑為cm的鐵球，現(xiàn)向容器內(nèi)注水，使得鐵球完全浸入水中，若將鐵球從容器中取出，則水面下降______cm.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，使不等式成立.（1）求滿足條件的實(shí)數(shù)t的集合T；（2），使不等式成立，求的最大值.18．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.（2））討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).20．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在“陽(yáng)馬”中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接.（1）證明：平面.試判斷四面體是否為“鱉臑”，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；（2）若，求直線與平面所成角的正切值.21．（12分）設(shè)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說(shuō)明理由.22．（10分）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據(jù)正投影的概念判斷即可.詳解：根據(jù)正投影的概念判斷選C.選C.點(diǎn)睛：本題考查正投影的概念，需基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

對(duì)5個(gè)位置進(jìn)行編號(hào)1，2，3，4，5，則甲只能排在第2，3，4位置，再考慮乙，再考慮其它同學(xué).【題目詳解】對(duì)5個(gè)位置進(jìn)行編號(hào)1，2，3，4，5，∵甲不站兩端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）當(dāng)甲排在第2位置時(shí)，乙只能排第1或第3共2種排法，其他3位同學(xué)有A3∴共有2×A（2）當(dāng)甲排在第3位置時(shí)，乙只能排第2或第4共2種排法，其他3位同學(xué)有A3∴共有2×A（3）當(dāng)甲排在第4位置時(shí)，乙只能排第3或第5共2種排法，其他3位同學(xué)有A3∴共有2×A∴排法種數(shù)N=12+12+12=36種.【題目點(diǎn)撥】分類與分步計(jì)數(shù)原理，在確定分類標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，一般是從特殊元素出發(fā)，同時(shí)應(yīng)注意元素的順序問(wèn)題.3、A【解題分析】

由圖像過(guò)點(diǎn)可得，由的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象與原圖象重合，可知，結(jié)合在上單調(diào)，從而得到，由此得到的解析式，結(jié)合圖像，即可得到答案?！绢}目詳解】因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，則，又，所以.一方面，的圖象向左平移單位后得到的圖象與原函數(shù)圖象重合，則，即，化簡(jiǎn)可知．另一方面，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，化簡(jiǎn)可知.綜合兩方面可知．則函數(shù)的解析式為，結(jié)合函數(shù)圖形，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知?jiǎng)t，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)圖像的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。4、B【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)與極大值之間的關(guān)系求解．【題目詳解】函數(shù)在極大值點(diǎn)左增右減，即導(dǎo)數(shù)在極大值點(diǎn)左正右負(fù)，觀察導(dǎo)函數(shù)圖象，在上有兩個(gè)有兩個(gè)零點(diǎn)滿足．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于的一元二次不等式，解得答案.【題目詳解】不等式，轉(zhuǎn)化為，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞增且定義域?yàn)椋?，解?故不等式的解集為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查解指數(shù)不等式，一元二次不等式，屬于簡(jiǎn)單題.6、D【解題分析】分析：先根據(jù)列聯(lián)表列方程組，解得a,b,c,d,e,f,再判斷真假.詳解：因?yàn)?，所以選D.點(diǎn)睛：本題考查列聯(lián)表有關(guān)概念，考查基本求解能力.7、D【解題分析】

根據(jù)已知條件，運(yùn)用組合數(shù)的階乘可得：，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得所要求的和.【題目詳解】則故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合數(shù)的計(jì)算以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題.8、D【解題分析】

設(shè)出點(diǎn)和直線，聯(lián)立方程得到關(guān)于的韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為斜率相反，將根與系數(shù)關(guān)系代入得到答案.【題目詳解】設(shè)，設(shè)直線AB：又恒成立即答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系,定點(diǎn)問(wèn)題,設(shè)直線方程時(shí)消去可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系是解題的關(guān)鍵,計(jì)算量較大,屬于難題.9、B【解題分析】

先將化為,再令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:,然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得的最大值代入可得.【題目詳解】若存在，使得有解,即存在,使得,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:,因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,所以,所以.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式能成立問(wèn)題,屬中檔題.10、C【解題分析】

先求出通項(xiàng)公式公式，再根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，可得，令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出．【題目詳解】由，，可得，解得，，，，令，當(dāng)或時(shí)，有最小值，即，的最大值為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的求和公式，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題11、D【解題分析】

計(jì)算出樣本的中心點(diǎn)x,y，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得出【題目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+4+55由于回歸直線過(guò)點(diǎn)x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線的基本性質(zhì)，在解回歸直線相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，熟悉結(jié)論“回歸直線過(guò)樣本的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)x,12、D【解題分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知14πr2=π，解得r=2．因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示區(qū)域內(nèi)上的點(diǎn)與點(diǎn)P(-3,2)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與圓相切時(shí)斜率最?。O(shè)切線方程為y-2=k(x+3)，即二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、真【解題分析】

按反證法證明.【題目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不正確，，那么結(jié)論的否定且正確，若且，則這與已知矛盾，原命題是真命題，即“若，則或”為真命題.故答案為：真【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷命題的真假，意在考查推理與證明，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】

由，可得當(dāng)時(shí)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證時(shí)是否符合即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，,

當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，上式也適合，故此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，屬于中檔題.已知數(shù)列前項(xiàng)和，求數(shù)列通項(xiàng)公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.在利用與通項(xiàng)的關(guān)系求的過(guò)程中，一定要注意的情況.15、【解題分析】

先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：設(shè)圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的體積公式，重點(diǎn)考查了勾股定理，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由題意可求球的體積，假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中，則水面高度為，將鐵球從容器中取出，求出水面高度，即可求水面下降高度．【題目詳解】解：假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中，球的體積，水面高度為，此時(shí)正六棱柱容器中水的體積為，若將鐵球從容器中取出，則水面高度，則水面下降.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球體積的求解，考查了棱柱體積的求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三角不等式求出的最小值，從而得到的范圍；（2）由于，使不等式成立，則的最小值小于等于的最大值，利用基本不等式求出的最小值，從而求得的最大值?！绢}目詳解】（1）由題意知，﹐當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故集合.（2）由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)?，使不等式成立，則，即,故的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式以及基本不等式求最值的問(wèn)題，屬于中檔題。18、（1）（2）見(jiàn)解析（3），見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出是極值點(diǎn)，由此根據(jù)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為求解出的值，并注意驗(yàn)證是否滿足；（2）先求解出，然后結(jié)合所給區(qū)間對(duì)進(jìn)行分類討論，分別求解出的單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過(guò)條件轉(zhuǎn)化為證明，由此構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行分析證明.【題目詳解】（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)，所以，∵，故，此時(shí)滿足是極大值點(diǎn)，所以；（2）∵，∴，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即或時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.③當(dāng)且時(shí)，由得.令得；令得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)或時(shí)，在上遞減；當(dāng)且時(shí)，在上遞增，在上遞減.（3）令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故在處取得最小值為又當(dāng)，由圖象知：不妨設(shè)，則有，令在上單調(diào)遞增，故即，【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)、分類討論法分析函數(shù)的單調(diào)性、雙變量構(gòu)造函數(shù)問(wèn)題，難度較難.（1）已知是的極值點(diǎn)，利用求解參數(shù)值后，要注意將參數(shù)值帶回驗(yàn)證是否滿足；（2）導(dǎo)數(shù)中的雙變量證明問(wèn)題，一般的求解思路是：先通過(guò)轉(zhuǎn)化統(tǒng)一變量，然后構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和取值范圍達(dá)到證明的目的.19、(Ⅰ)C1的普通方程,C2的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)|MN|取得最小值,此時(shí)M(,).【解題分析】

(Ⅰ)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離最小值，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求解．【題目詳解】(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),普通方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，即，直角坐標(biāo)方程為，即；(Ⅱ)設(shè)M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離，即，當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ-(k∈Z)時(shí),|MN|取得最小值,此時(shí)M(,).【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化成普通方程，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求解，屬于中等題.20、（1）證明見(jiàn)解析，是“鱉臑”，四個(gè)直角分別為，，，；（2）【解題分析】

（1）先證明面，可得，然后結(jié)合即可證明面，然后再證明面，即可得出四面體的四個(gè)面都是直角三角形（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，是面的一個(gè)法向量，然后利用算出即可.【題目詳解】（1）由面，面得，又，從而面，因?yàn)槊嫠杂傻妹嬗擅?，面得，又，從而面可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是“鱉臑”，四個(gè)直角分別為，，，（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，，，，由面可知，是面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與面所成角為，，，即直線與平面所成角的正切值為【題目點(diǎn)撥】向量法是求立體幾何中的線線角、線面角、面面角常用的方法.21、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）0.【解題分析】

（Ⅰ）對(duì)分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求出函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求出，即得解.【題目詳解】解：（I）時(shí)，令令故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；0≤≤1時(shí)，恒成立，故在單調(diào)遞增.時(shí)，令令故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減