2024屆廣東省中山一中、仲元中學等七校高二數(shù)學第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

2024屆廣東省中山一中、仲元中學等七校高二數(shù)學第二學期期末教學質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在R上的增函數(shù)f(x)，滿足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，則f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正負都有可能2．函數(shù)圖象交點的橫坐標所在區(qū)間是()A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）3．設函數(shù)在定義域內可導，的圖像如圖所示，則導函數(shù)的圖像可能為()A． B．C． D．4．用反證法證明“”時，應假設（）A． B．C． D．5．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定6．甲乙丙丁四人參加數(shù)學競賽，其中只有一位獲獎.有人走訪了四人，甲說:“乙、丁都未獲獎.”乙說：“是甲或丙獲獎.”丙說：“是甲獲獎.”丁說：“是乙獲獎.”四人所說話中只有兩位是真話，則獲獎的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．甲、乙兩位同學將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績均為整數(shù)滿分100分），乙同學對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分，則甲同學的平均成績超過乙同學的平均成績的概率為（）A． B． C． D．8．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A．是函數(shù)的極小值點B．當或時,函數(shù)的值為0C．函數(shù)關于點對稱D．函數(shù)在上是增函數(shù)9．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）.A．1 B．2 C．3 D．10．若，，，則實數(shù)，，的大小關系為（）A． B． C． D．11．展開式的系數(shù)是（）A．-5 B．10 C．-5 D．-1012．已知函數(shù)，若，均在［1，4］內，且，，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在我校2017年高二某大型考試中，理科數(shù)學成績，統(tǒng)計結果顯示.假設我校參加此次考試的理科同學共有2000人，那么估計此次考試中我校成績高于120分的人數(shù)是___________.14．已知集合則_______.15．函數(shù)的定義域為_______________．16．已知向量，，若與垂直，則實數(shù)__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（2）若曲線存在兩條垂直于軸的切線，求的取值范圍19．（12分）某校選擇高一年級三個班進行為期二年的教學改革試驗，為此需要為這三個班各購買某種設備1臺.經市場調研，該種設備有甲乙兩型產品，甲型價格是3000元/臺，乙型價格是2000元/臺，這兩型產品使用壽命都至少是一年，甲型產品使用壽命低于2年的概率是，乙型產品使用壽命低于2年的概率是.若某班設備在試驗期內使用壽命到期，則需要再購買乙型產品更換.(1)若該校購買甲型2臺，乙型1臺，求試驗期內購買該種設備總費用恰好是10000元的概率；(2)該校有購買該種設備的兩種方案，方案：購買甲型3臺；方案：購買甲型2臺乙型1臺.若根據(jù)2年試驗期內購買該設備總費用的期望值決定選擇哪種方案，你認為該校應該選擇哪種方案？20．（12分）2017年3月智能共享單車項目正式登陸某市，兩種車型“小綠車”、“小黃車”采用分時段計費的方式，“小綠車”每30分鐘收費元不足30分鐘的部分按30分鐘計算；“小黃車”每30分鐘收費1元不足30分鐘的部分按30分鐘計算有甲、乙、丙三人相互獨立的到租車點租車騎行各租一車一次設甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為，，，三人租車時間都不會超過60分鐘甲、乙均租用“小綠車”，丙租用“小黃車”．求甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率；2設甲、乙、丙三人所付的費用之和為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．21．（12分）一個商場經銷某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，每位顧客采用的分期付款次數(shù)的分布列為：123450.40.20.20.10.1商場經銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；采用2期或3期付款，其利潤為250元；采用4期或5期付款，其利潤為300元．表示經銷一件該商品的利潤．(1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位采用1期付款的概率；(2)求的分布列及期望．22．（10分）（學年上海市楊浦區(qū)高三數(shù)學一模）如圖所示，用總長為定值的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開.（1）設場地面積為，垂直于墻的邊長為，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定這個函數(shù)的定義域；（2）怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】因為f(x)在R上的單調增,所以由x2＋x1>0，得x2>-x1,所以同理得即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0,選A.點睛：利用函數(shù)性質比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小，首先根據(jù)函數(shù)的性質構造某個函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉化為單調區(qū)間上函數(shù)值，最后根據(jù)單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行2、C【解題分析】

試題分析：設的零點在區(qū)間與圖象交點的橫坐標所在區(qū)間是，故選C．考點：曲線的交點．【方法點晴】本題考曲線的交點，涉及數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想和轉化化歸思想，以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、綜合程度高，屬于較難題型．3、D【解題分析】

通過原函數(shù)的單調性可確定導函數(shù)的正負，結合圖象即可選出答案.【題目詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，單調遞減，所以時，，符合條件的只有D選項，故選D.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的單調性與導函數(shù)的符號之間的對應關系，屬于中檔題.4、A【解題分析】

根據(jù)反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，即可得出正確選項．【題目詳解】根據(jù)反證法的步驟，假設是對原命題的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反證法證明“?x∈R，2x＞0”，應假設為?x0∈R，0故選：A．【題目點撥】本題考查反證法的概念，全稱命題的否定，注意“改量詞否結論”5、A【解題分析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關于對稱，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)關于對稱從而有，故選A．考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【思路點睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉化為，從而可得函數(shù)關于對稱，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則關于對稱，代入即可求出結果．6、C【解題分析】

本題利用假設法進行解答.先假設甲獲獎，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙所說的話是真話，不合題意；然后依次假設乙、丙、丁獲獎，結合已知，選出正確答案.【題目詳解】解:若是甲獲獎，則甲、乙、丙所說的話是真話，不合題意；若是乙獲獎，則丁所說的話是真話，不合題意；若是丙獲獎，則甲乙所說的話是真話，符合題意；若是丁獲獎，則四人所說的話都是假話，不合題意.故選C.【題目點撥】本題考查了的數(shù)學推理論證能力，假設法是經常用到的方法.7、C【解題分析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計算公式求解其概率值即可.【題目詳解】由題意可得：，設被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時，，即：，即x可能的取值為,結合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【題目點撥】本題主要考查莖葉圖的識別與閱讀，平均數(shù)的計算方法，古典概型計算公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.8、D【解題分析】

由導函數(shù)的圖象得到原函數(shù)的增減區(qū)間及極值點，然后逐一分析四個命題即可得到答案．【題目詳解】由函數(shù)f(x)的導函數(shù)圖象可知，當x∈(?∞,?a),(?a，b)時,f′(x)<0，原函數(shù)為減函數(shù)；當x∈(b,+∞)時,f′(x)＞0，原函數(shù)為增函數(shù).故不是函數(shù)的極值點，故A錯誤；當或時,導函數(shù)的值為0，函數(shù)的值未知，故B錯誤；由圖可知，導函數(shù)關于點對稱，但函數(shù)在(?∞,b)遞減,在(b,+∞)遞增,顯然不關于點對稱，故C錯誤；函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確；故答案為：D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，屬于導函數(shù)的應用，考查數(shù)形結合思想和分析能力，屬于中等題.9、D【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的基本運算法則進行化簡，然后求模即可．【題目詳解】解：，，故選：D．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)模長的計算，屬于基礎題．10、A【解題分析】

利用冪指對函數(shù)的單調性，比較大小即可.【題目詳解】解：，，，∴，故選：A【題目點撥】本題考查了指對函數(shù)的單調性及特殊點，考查函數(shù)思想，屬于基礎題.11、D【解題分析】

由題意利用二項展開式的通項公式，求出（1﹣x）5展開式x3的系數(shù)．【題目詳解】解：根據(jù)（1﹣x）5展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣x）r，令r＝3，可得x3的系數(shù)是﹣＝﹣10，故選：A．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．12、D【解題分析】

先求導，利用函數(shù)的單調性，結合，確定;再利用，即，可得，，設，，確定在上遞增，在有零點，即可求實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：，當時，恒成立，則f（x）在（0，+∞）上遞增，則f（x）不可能有兩個相等的函數(shù)值．故；由題設，則＝考慮到，即，設，，則在上恒成立，在上遞增，在有零點，則，，故實數(shù)的取值范圍是．【題目點撥】本題考查了通過構造函數(shù)，轉化為函數(shù)存在零點，求參數(shù)取值范圍的問題，本題的難點是根據(jù)已知條件，以及，變形為，，然后構造函數(shù)轉化為函數(shù)零點問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、200【解題分析】∵月考中理科數(shù)學成績，統(tǒng)計結果顯示，∴估計此次考試中，我校成績高于120分的有人．點睛：關于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.14、【解題分析】

先求出集合A，再求得解.【題目詳解】由題得所以.故答案為【題目點撥】本題主要考查集合的補集運算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}【解題分析】分析：這里的cosx以它的值充當角，要使sin（cosx）＞0轉化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范圍．詳解：由sin（cosx）＞0?2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．又∵﹣1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1；故所求定義域為{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}．故答案為：{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}.點睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法及復合函數(shù)單調性的判斷，求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線．16、-1【解題分析】

由題意結合向量垂直的充分必要條件得到關于k的方程，解方程即可求得實數(shù)k的值.【題目詳解】由平面向量的坐標運算可得：，與垂直，則，即：，解得：.【題目點撥】本題主要考查向量的坐標運算，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)已知變形為為常數(shù)，利用等比數(shù)列求的通項公式；（2）利用累加法求數(shù)列的通項公式，然后代入求數(shù)列的通項公式，最后求和.【題目詳解】解：（1）依題意，，故，故是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，故（2）依題意，，累加可得，，故，（時也適合）；，故，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，為偶數(shù)，；綜上所述，【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的證明以及累加法求通項公式，最后得到，當通項公式里出現(xiàn)時，需分是奇數(shù)和偶數(shù)討論求和.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由于二次函數(shù)為偶函數(shù)，所以一次項系數(shù)為，進而求得a的值；（2）由題意得存在兩個不同的根，轉化成二次函數(shù)的判別式大于.【題目詳解】（1）∵，由題因為為偶函數(shù)，∴，即（2）∵曲線存在兩條垂直于軸的切線，∴關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，∴.∴a的取值范圍為.【題目點撥】本題考查三次函數(shù)的導數(shù)、二次函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)根的分布問題，考查邏輯推理和運算求解能力，求解時要懂得把曲線存在兩條垂直于軸的切線轉化成方程有兩根.19、（1）（2）選擇B方案【解題分析】【試題分析】（1）由于總費用為10000元，說明試驗期內恰好有1臺設備使用壽命到期，因此可運用獨立事件的概率公式可求得；（2）可將問題轉化為兩類進行求解：（1）若選擇方案，記試驗期內更換該種設備臺數(shù)為，總費用為元，則，所以，又，所以；（2）若選擇B方案，記試驗期內更換該種設備臺數(shù)為，總費用元，則，，，，所以，又，所以因為，所以選擇B方案．解：（1）總費用為10000元，說明試驗期內恰好有1臺設備使用壽命到期，概率為：；（2）若選擇方案，記試驗期內更換該種設備臺數(shù)為，總費用為元，則，所以，又，所以；若選擇B方案，記試驗期內更換該種設備臺數(shù)為，總費用元，則，，，，所以，又，所以因為，所以選擇B方案．20、(1);(2)見解析.【解題分析】

（1）利用相互獨立事件的概率公式，分兩種情況計算概率即可；（2）根據(jù)相互獨立事件的概率公式求出各種情況下的概率，得出分布列，利用公式求解數(shù)學期望．【題目詳解】（I）由題意得，甲乙丙在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為．記甲、乙兩人所