陜西省商洛市洛南縣2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

陜西省商洛市洛南縣2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知線段所在的直線與平面相交于點，且與平面所成的角為，，，為平面內(nèi)的兩個動點，且，，則，兩點間的最小距離為（）A． B．1 C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項 B．項 C．項 D．項3．已知等差數(shù)列前9項的和為27，，則A．100 B．99 C．98 D．974．設(shè)隨機變量服從分布，且，，則（）A．， B．，C．， D．，5．已知關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個根在復(fù)平面上對應(yīng)點是，則這個方程可以是（）A． B．C． D．6．已知的周長為9，且，則的值為（）A． B． C． D．7．在直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為，直線與曲線相交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，()A． B． C． D．8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線按變換后的曲線的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9．將一枚質(zhì)地均勻且各面分別有狗，豬，羊，馬圖案的正四面體玩具拋擲兩次，設(shè)事件{兩次擲的玩具底面圖案不相同}，{兩次擲的玩具底面圖案至少出現(xiàn)一次小狗}，則（）A． B． C． D．10．若，則為（）A．－233 B．10 C．20 D．23311．某校有高一學(xué)生n名，其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為6:5，為了解學(xué)生的視力情況，現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個樣本容量為n10的樣本，若樣本中男生比女生多12人，則n=（A．990 B．1320 C．1430 D．156012．甲、乙兩支球隊進行比賽，預(yù)定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.則甲隊以3：2獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若小明在參加理、化、生三門課程的等級性考試中，取得等級的概率均為，且三門課程的成績是否取得等級互不影響．則小明在這三門課程的等級性考試中恰有兩門取得等級的概率為_______．14．在四棱錐中，設(shè)向量，，，則頂點到底面的距離為_________15．若曲線經(jīng)過T變換作用后縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，則T變換所對應(yīng)的矩陣_____.16．圓柱的高為1，側(cè)面展開圖中母線與對角線的夾角為60°，則此圓柱側(cè)面積是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）若，求異面直線與所成角的大?。唬?）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為，求實數(shù)的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)是的極值點，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：.19．（12分）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-BD-A的大小.20．（12分）已知矩陣，向量.（1）求的特征值、和特征向量、；（2）求的值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求證：當(dāng)時，.22．（10分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當(dāng)時，若函數(shù)在上有唯一零點，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

過作面，垂足為，連結(jié)，得到點的運動軌跡，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，在中，利用余弦定理得到動點的軌跡方程，從而得到、兩點間距離的最小值，再得到，兩點間的最小距離.【題目詳解】如圖，過作面，垂足為，連結(jié)，根據(jù)題意，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動；以為原點與垂直的方向為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為為平面內(nèi)動點，所以設(shè)在中，根據(jù)余弦定理可得即，整理得，平面內(nèi)，點在曲線上運動，所以，所以當(dāng)時，，即，所以，兩點間的最小距離為.故選：D.【題目點撥】本題考查圓上的點到曲線上點的距離的最值，考查求動點的軌跡方程，余弦定理解三角形，屬于中檔題.2、D【解題分析】

分別寫出當(dāng)，和時，左邊的式子，分別得到其項數(shù)，進而可得出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項；當(dāng)時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數(shù)是項.故選D【題目點撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，熟記數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.3、C【解題分析】試題分析：由已知，所以故選C.【考點】等差數(shù)列及其運算【名師點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.4、A【解題分析】分析：根據(jù)隨機變量符合二項分布，根據(jù)二項分布的期望和方差公式得到關(guān)于的方程組，注意兩個方程之間的關(guān)系，把一個代入另一個，以整體思想來解決，求出P的值，再求出n的值，得到結(jié)果.詳解：隨機變量服從分布，且，，①②即可求得，.故選：A點睛：本題考查離散型隨機變量的期望和方差，考查二項分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一個比較好的題目，技巧性比較強.5、A【解題分析】

先由題意得到方程的兩復(fù)數(shù)根為，(為虛數(shù)單位)，求出，，根據(jù)選項，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為方程的根在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是，可設(shè)根為：，(為虛數(shù)單位)，所以方程必有另一根，又，，根據(jù)選項可得，該方程為.故選A【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的方程，熟記復(fù)數(shù)的運算法則即可，屬于?？碱}型.6、A【解題分析】

由題意利用正弦定理可得,再由余弦定理可得cosC的值．【題目詳解】由題意利用正弦定理可得三角形三邊之比為3：2：4，再根據(jù)△ABC的周長為9，可得．再由余弦定理可得cosC，故選A．【題目點撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，求得是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．7、D【解題分析】

先將直線直線與曲線轉(zhuǎn)化為普通方程，結(jié)合圖形分析可得，要使的面積最大，即要為直角，從而求解出?！绢}目詳解】解：因為曲線的方程為，兩邊同時乘以，可得，所以曲線的普通方程為，曲線是以為圓心，2為半徑的上半個圓.因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的普通方程為，因為，所以當(dāng)為直角時的面積最大，此時到直線的距離，因為直線與軸交于，所以，于是，所以，故選D?！绢}目點撥】本題考查了曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的互化，同時考查了直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是本題的核心思想。8、D【解題分析】

把伸縮變換的式子變?yōu)橛帽硎荆俅朐匠碳纯汕蟪鼋Y(jié)果.【題目詳解】由可得，將其代入可得：，即故其焦點為：.故選：D.【題目點撥】本題考查的是有關(guān)伸縮變換后曲線方程的求解問題，涉及到的知識點有伸縮變換規(guī)律對應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題9、C【解題分析】

利用條件概率公式得到答案.【題目詳解】故答案選C【題目點撥】本題考查了條件概率的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.10、A【解題分析】

對等式兩邊進行求導(dǎo)，當(dāng)x＝1時，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【題目詳解】對等式兩邊進行求導(dǎo)，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．故選A．【題目點撥】本題考查了二項式定理與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查了賦值法求解二項展開式的系數(shù)和的方法，利用導(dǎo)數(shù)得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解題的關(guān)鍵．11、B【解題分析】

根據(jù)題意得出樣本中男生和女生所占的比例分別為611和511，于是得出樣本中男生與女生人數(shù)之差為611【題目詳解】依題意可得(611-511)×n【題目點撥】本題考考查分層抽樣的相關(guān)計算，解題時要利用分層抽樣的特點列式求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。12、B【解題分析】若是3:2獲勝，那么第五局甲勝，前四局2:2，所以概率為，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用次獨立重復(fù)試驗的公式即可求解.【題目詳解】這三門課程的等級性考試取得的等級可看成進行3次相互獨立的重復(fù)試驗因而小明在這三門課程的等級性考試中恰有兩門取得等級的概率為故答案為：【題目點撥】本題主要考查了次獨立重復(fù)試驗的概率問題，屬于基礎(chǔ)題.14、2；【解題分析】

根據(jù)法向量的求法求得平面的法向量，利用點到面的距離的向量求解公式直接求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)平面的法向量則，令，則，點到底面的距離：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查點到面的距離的向量求法，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求解出平面的法向量，考查學(xué)生對于點到面距離公式掌握的熟練程度.15、【解題分析】

根據(jù)伸縮變換性質(zhì)即可得出【題目詳解】設(shè)在這個伸縮變換下，直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點對應(yīng)到點則從而對應(yīng)的二階矩陣【題目點撥】本題主要考查了伸縮變換對應(yīng)矩陣，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)圓柱結(jié)構(gòu)特征可知側(cè)面展開圖為矩形，利用正切值求得矩形的長，從而可得側(cè)面積.【題目詳解】圓柱側(cè)面展開圖為矩形，且矩形的寬為矩形的長為：圓柱側(cè)面積：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查圓柱側(cè)面積的相關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）異面直線與所成角為；（2）與平面所成角的正弦值為；（3）二面角的大小為，的值為.【解題分析】分析：（1）由題意可得和的坐標(biāo)，可得夾角的余弦值；（2）求出平面的法向量，即可求出答案；（3）設(shè)，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小為，即可求出t.詳解：（1）當(dāng)時，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當(dāng)時，，，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，設(shè)與平面所成角為，因為，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點睛：本題考查空間向量的數(shù)量積和模長公式.18、（1）在上減，上增；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，由是的極值點可求出，即，對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，進而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）由，進而可得，記，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值，進而可得證.【題目詳解】（1）解：的定義域為，，由，所以，又因為，所以在上單調(diào)遞增，注意到，所以在上減，上增.（2）由，所以,記，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以是的最小值點，，故.【題目點撥】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值中的應(yīng)用，需掌握極值點的定義，屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)60°.【解題分析】

（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．∴BD⊥PA．∵tan∠ABD==，tan∠BAC==，∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（2）連接PE，∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP為二面角P﹣BD﹣A的平面角．在Rt△AEB中，AE=ABsin∠ABD=，∴tan∠AEP=，∴∠AEP=60°，∴二面角P﹣BD﹣A的大小為60°．20、(1)當(dāng)時，解得,當(dāng)時，解得;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量；（2）根據(jù)矩陣A的特征多項式求出矩陣A的所有特征值為3和-1，然后根據(jù)特征向量線性表示出向量，利用矩陣的乘法法則求出，從而即可求出答案.詳解（1）矩陣的特征多項式為，令，解得，，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得.(2)令，得，求得.所以點睛：考查學(xué)生會利用二階矩陣的乘法法則進行運算，會求矩陣的特征值和特征向量.21、（1）見解析（2）見解析【解題分析】分析：（1）依題意，的定義域為，，分類討論可求的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，要證明，即