咸寧市重點中學2024屆高二數學第二學期期末達標檢測試題含解析

咸寧市重點中學2024屆高二數學第二學期期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線在點處的切線方程為A． B． C． D．2．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關數據如表所示，則下列說法錯誤的是（）A．變量之間呈現負相關關系B．的值等于5C．變量之間的相關系數D．由表格數據知，該回歸直線必過點3．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．在數列中，若，，則（）A．108 B．54 C．36 D．185．已知隨機變量，且，則A． B． C． D．6．已知，，，，且滿足，，，對于，，，四個數的判斷，給出下列四個命題：①至少有一個數大于1；②至多有一個數大于1；③至少有一個數小于0；④至多有一個數小于0.其中真命題的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③7．設數列是單調遞減的等差數列，前三項的和為12，前三項的積為28，則（）A.1B.4C.7D.1或78．一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,69．已知集合A＝{x｜x＜1}，B＝{x｜＜1}，則A∩B＝（）A．{x｜x＜0} B．（x｜x＞0} C．{x｜x＞1} D．{x｜x＜1}10．名同學參加班長和文娛委員的競選，每個職務只需人，其中甲不能當文娛委員，則共有（）種不同結果（用數字作答）A． B． C． D．11．若不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．王老師在用幾何畫板同時畫出指數函數（）與其反函數的圖象，當改變的取值時，發(fā)現兩函數圖象時而無交點，并且在某處只有一個交點，則通過所學的導數知識，我們可以求出當函數只有一個交點時，的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有2個白球、2個黑球，從這兩個箱子里分別隨機摸出1個球，則恰有一個白球的概率為__________.14．若離散型隨機變量的分布列如下，則=__________.0115．若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.16．函數y=3sin(2x+π三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結構能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；（2）設，當在同一水平面內時，求與平面所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個線段根據需要可以調節(jié)與底面成角的大小，且保持三個線段與底面成角相同，若，，問為何值時，的體積最大，并求出最大值．18．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.19．（12分）已知是定義域為的奇函數，且當時，，設“”.（1）若為真，求實數的取值范圍；（2）設集合與集合的交集為，若為假，為真，求實數的取值范圍.20．（12分）已知函數，.（1）若在區(qū)間上單調，求的取值范圍；（2）設，求證：時，.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點在線段上，平面，，.（1）求證：為的中點；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）假設關于某設備的使用年限(年)和所支出的年平均維修費用(萬元)(即維修費用之和除以使用年限),有如下的統(tǒng)計資料：(1)求關于的線性回歸方程；(2)估計使用年限為10年時所支出的年平均維修費用是多少?參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據題意可知，結合導數的幾何意義，先對函數進行求導，求出點處的切線斜率，再根據點斜式即可求出切線方程。【題目詳解】由題意知，因此，曲線在點處的切線方程為，故答案選C。【題目點撥】本題主要考查了利用導數的幾何意義求切線方程，一般利用點斜式構造直線解析式。2、C【解題分析】分析：根據線性回歸方程的性質依次判斷各選項即可．詳解：對于A：根據b的正負即可判斷正負相關關系．線性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負相關．對于B：根據表中數據：=1．可得=2．即，解得：m=3．對于C：相關系數和斜率不是一回事，只有當樣本點都落在直線上是才滿足兩者相等，這個題目顯然不滿足，故不正確.對于D：由線性回歸方程一定過（，），即（1，2）．故選：C．點睛：本題考查了線性回歸方程的求法及應用，屬于基礎題，對于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計算精準，正確理解題意，應用回歸方程對總體進行估計.3、D【解題分析】

根據題意，由向量數量積的計算公式可得cosθ的值，據此分析可得答案．【題目詳解】設與的夾角為θ，由、的坐標可得||＝5，||＝3，?5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故選D【題目點撥】本題考查向量數量積的坐標計算，涉及向量夾角的計算，屬于基礎題．4、B【解題分析】

通過，可以知道數列是公比為3的等比數列，根據等比數列的通項公式可以求出的值.【題目詳解】因為，所以數列是公比為的等比數列，因此，故本題選B.【題目點撥】本題考查了等比數列的概念、以及求等比數列某項的問題，考查了數學運算能力.5、B【解題分析】

根據正態(tài)分布的對稱性即可得到答案.【題目詳解】由于，故選B.【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布中概率的計算，難度不大.6、A【解題分析】

根據對，，，取特殊值，可得②，④不對，以及使用反證法，可得結果.【題目詳解】當，時，滿足條件，故②，④為假命題；假設，由，，得，則，由，所以矛盾，故①為真命題，同理③為真命題．故選：A【題目點撥】本題主要考查反證法，正所謂“正難則反”，熟練掌握反證法的證明方法，屬基礎題.7、C【解題分析】試題分析：，所以，因為遞減數列，所以，解得。考點：等差數列8、D【解題分析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級職稱抽取的人數為，中級職稱抽取的人數為，初級職稱抽取的人數為，其余人員抽取的人數為，所以各層中依次抽取的人數分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點：分層抽樣．【方法點睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據此在已知每層間的個體數量或數量比，樣本容量，總體數量中的兩個時，就可以求出第三個．9、A【解題分析】

分別求出集合A，B，由此能求出A∩B．【題目詳解】∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故選：A．【題目點撥】本題考查交集的求法及指數不等式的解法，考查運算求解能力，是基礎題．10、B【解題分析】

先安排甲以外的一人擔任文娛委員，再從剩下的3人選一人擔任班長即可．【題目詳解】先從甲以外的三人中選一人當文娛委員，有3種選法，再從剩下的3人選一人擔任班長，有3種選法，故共有種不同結果．故選：B.【題目點撥】本題主要考查分步乘法計數原理的應用,屬于基礎題.11、B【解題分析】

不等式可整理為，然后轉化為求函數y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用單調性可求最值．【題目詳解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上單調遞減，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范圍是（﹣∞，1]．故選：B.【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題、函數單調性，考查轉化思想，考查學生靈活運用知識解決問題的能力．12、B【解題分析】

當指數函數與對數函數只有一個公共點時，則在該點的公切線的斜率相等，列出關于的方程.【題目詳解】設切點為，則，解得：故選B.【題目點撥】本題考查導數的運算及導數的幾何意義，考查數形結合思想的應用，要注意根據指數函數與對數函數圖象的凹凸性，得到在其公共點處公切線的斜率相等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過分析恰有一個白球分為兩類：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分別計算概率相加即得答案.【題目詳解】恰有一個白球分為兩類：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球．甲中一白球乙中一黑球概率為：，甲中一黑球乙中一白球概率為：，故所求概率為.【題目點撥】本題主要考查乘法原理和加法原理的相關計算，難度不大，意在考查學生的分析能力，計算能力.14、1【解題分析】

根據概率之和為1，列出方程，即可求出結果.【題目詳解】由概率的性質可得：，由題意則，解得或；又概率介于之間，所以.故答案為1【題目點撥】本題主要考查由概率的性質求參數的問題，熟記概率的基本性質即可，屬于基礎題型.15、【解題分析】

由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.16、π【解題分析】

∵函數y=sinx的周期為∴函數y=3sin(2x+π故答案為π.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當時，最大體積為：；【解題分析】

（1）根據線段等長首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點均有正三棱錐結論出現，可知四面體棱長均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設正四面體棱長為，利用表示出各邊，利用勾股定理構造方程可求得，從而可求得，進而得到結果；（3）取中點，利用三線合一性質可知，從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高，根據三棱錐體積公式可將體積表示為關于的函數，利用導數求得函數的最大值，并確定此時的取值，從而得到結果.【題目詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線段等長，即到四面體四個頂點距離相等為四面體外接球的球心又底面在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長均相等為正四面體（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心設中心為，則平面，如下圖所示：即為與平面所成角設正四面體棱長為則，在中，，解得：即與平面所成角為：（3）取中點，連接，，為中點且，令，，則設，，則令，解得：，當時，；當時，當時，取極大值，即為最大值：即當時，取得最大值，最大值為：此時，即綜上所述，當時，體積最大，最大值為：【題目點撥】本題考查立體幾何中的幾何體特征判斷、直線與平面所成角的求解、三棱錐體積的最值的求解問題；求解三棱錐體積的最值問題，關鍵是要把底面面積和三棱錐的高均利用某一變量來進行表示，從而將所求體積最值問題轉化為關于此變量的函數最值問題的求解，進而通過導數或其他求解函數最值的方法求得結果.18、（1）；（2）不存在.【解題分析】

（1）由已知，利用基本不等式的和積轉化可求，利用基本不等式可將轉化為，由不等式的傳遞性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值為，而，故不存在．【題目詳解】（1）由，得，且當時取等號．故，且當時取等號．所以的最小值為；（2）由（1）知，．由于，從而不存在，使得成立．【考點定位】基本不等式．19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由已知可得，函數為上的奇函數、且為增函數，由命題為真，則，所以，從而解得；（2）由集合，若為真，則，因為“為假，為真”等價于“、一真一假”，因此若真假，則；若假真，則.從而可得，實數的取值范圍是.試題解析：∵函數是奇函數，∴，∵當時，，∴函數為上的增函數，∵，，∴，∴，若為真，則，解得（2），若為真，則，∵為假，為真，∴、一真一假，若真假，則；若假真，則綜上，實數的取值范圍是考點：1.函數性質的應用；2.命題的真假判斷及其邏輯運算.20、（1）或（2）見解析【解題分析】

（1）在區(qū)間上單調且是增函數，所以或，進而得到答案．（2）令，，由的導函數研究的單調性并求出最小值，則可知在時是增函數，從而證得答案．【題目詳解】解：（1）∵是增函數．又∵在區(qū)間上單調，∴或．∴或（2）令．∵，．∴時，是減函數，時，是增函數，∴時，．∵，∴．∴在時是增函數．∴，即．【題目點撥】本題考查函數的單調性以及利用導函數證明不等式問題，解題的關鍵是令，屬于偏難題目．21、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）平面，得到，，為的中點.（2）以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸距離空間直角坐標系，計算各個點坐標，平面的法向量為，利用向量夾角公式得到答案.【題目詳解】解:⑴證明：如圖，設，為正方形，為的中點，連接平面，平面，平面平面，則，即為的中點；（2）解：取中點，，，平面平面，且平面平面，平面，則，連接，則，由是的中點，是的中點，可得，則．以為坐標原點，分別以、、所