2024屆北京市東城區(qū)第十一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆北京市東城區(qū)第十一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從1，2，3，4，5中不放回地依次選取2個(gè)數(shù)，記事件“第一次取到的是奇數(shù)”，事件“第二次取到的是奇數(shù)”，則（）A． B． C． D．2．角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則（）A． B．- C． D．3．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，從集合A到B的映射滿足：①；②的象有且只有2個(gè)，求適合條件的映射的個(gè)數(shù)為()A．10 B．20 C．30 D．404．已知，若的必要條件是，則a，b之間的關(guān)系是（）A． B． C． D．5．方程表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜36．已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A． B． C． D．7．某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表（參考公式：，其中.）附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828則下列選項(xiàng)正確的是（）A．有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響B(tài)．有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響C．有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響D．有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響8．袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3的三個(gè)小球，從中任取一個(gè)，記下它的號(hào)碼，放回袋中，這樣連續(xù)做三次，若抽到各球的機(jī)會(huì)均等，事件“三次抽到的號(hào)碼之和為6”，事件“三次抽到的號(hào)碼都是2”，則（）A． B． C． D．9．如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為2.的正方形AOBC內(nèi)，曲和曲線圍成一個(gè)葉形圖陰影部分，向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是（）A． B． C． D．10．已知，，則A． B． C． D．11．是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)(

)A． B． C． D．12．已知，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于曲線C：，給出下列五個(gè)命題：①曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱；②曲線C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為；④當(dāng)時(shí)，曲線C上所有點(diǎn)處的切線斜率為負(fù)數(shù)；⑤曲線C與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積是.上述命題中，為真命題的是_____.（將所有真命題的編號(hào)填在橫線上）14．江湖傳說(shuō)，蜀中唐門(mén)配置的天下第一奇毒“含笑半步癲”是由種藏紅花，種南海毒蛇和種西域毒草順次添加煉制而成，其中藏紅花添加順序不能相鄰，同時(shí)南海毒蛇的添加順序也不能相鄰，現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)λ幮У挠绊懀瑒t總共要進(jìn)行__________此實(shí)驗(yàn)．15．已知函數(shù)，則的解集是______.16．正方體的棱長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，則到平面的距離______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為調(diào)查人們?cè)谫?gòu)物時(shí)的支付習(xí)慣，某超市對(duì)隨機(jī)抽取的600名顧客的支付方式進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表所示：支付方式微信支付寶購(gòu)物卡現(xiàn)金人數(shù)200150150100現(xiàn)有甲、乙、丙三人將進(jìn)入該超市購(gòu)物，各人支付方式相互獨(dú)立，假設(shè)以頻率近似代替概率.（1）求三人中使用微信支付的人數(shù)多于現(xiàn)金支付人數(shù)的概率；（2）記X為三人中使用支付寶支付的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，，點(diǎn)在上．（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積．19．（12分）隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車(chē)”在很多城市相繼出現(xiàn)．某“共享助力單車(chē)”運(yùn)營(yíng)公司為了解某地區(qū)用戶對(duì)該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了100名用戶，得到用戶的滿意度評(píng)分，現(xiàn)將評(píng)分分為5組，如下表：組別一二三四五滿意度評(píng)分[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10]頻數(shù)510a3216頻率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a，b，c的值；(2)估計(jì)用戶的滿意度評(píng)分的平均數(shù)；(3)若從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，估計(jì)滿意度評(píng)分低于6分的人數(shù)為多少？20．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）某市交通管理有關(guān)部門(mén)對(duì)年參加駕照考試的歲以下的學(xué)員隨機(jī)抽取名學(xué)員，對(duì)他們的科目三（道路駕駛）和科目四（安全文明相關(guān)知識(shí)）進(jìn)行兩輪測(cè)試，并把兩輪成績(jī)的平均分作為該學(xué)員的抽測(cè)成績(jī)，記錄數(shù)據(jù)如下：學(xué)員編號(hào)科目三成績(jī)科目四成績(jī)（1）從年參加駕照考試的歲以下學(xué)員中隨機(jī)抽取一名學(xué)員，估計(jì)這名學(xué)員抽測(cè)成績(jī)大于或等于分的概率；（2）根據(jù)規(guī)定，科目三和科目四測(cè)試成績(jī)均達(dá)到分以上（含分）才算合格，從抽測(cè)的到號(hào)學(xué)員中任意抽取兩名學(xué)員，記為抽取學(xué)員不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）對(duì)于函數(shù)y=fx，若關(guān)系式t=fx+t中變量t是變量x的函數(shù)，則稱函數(shù)y=fx為可變換函數(shù).例如：對(duì)于函數(shù)fx=2x，若t=2x+t，則t=-2x，所以變量t（1）求證：反比例函數(shù)gx=（2）試判斷函數(shù)y=-x3（3）若函數(shù)hx=logbx為可變換函數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：利用條件概率公式求.詳解：由條件概率得=故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查條件概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)條件概率的公式:=.2、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【題目詳解】由題意，角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則，由三角函數(shù)的定義，可得，則，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及余弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義，以及余弦的倍角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個(gè)進(jìn)行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個(gè)象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個(gè)元素作象，共有種選法，中每組第一個(gè)對(duì)應(yīng)集合中的較小者，適合條件的映射共有個(gè)，故選D.點(diǎn)睛：本題考查映射問(wèn)題并不常見(jiàn)，解決此類問(wèn)題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對(duì)應(yīng)關(guān)系.4、A【解題分析】試題分析：不等式的解集為，不等式的解集為，根據(jù)題意可知是的子集，所以有，故選A．考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式，充要條件的判斷．5、A【解題分析】由題意知，，則C，D均不正確，而B(niǎo)為充要條件，不合題意，故選A.6、A【解題分析】

先根據(jù)對(duì)稱性將自變量轉(zhuǎn)化到上，再根據(jù)時(shí)單調(diào)遞減，判斷大小.【題目詳解】∵定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)，∵，∴，∴，，．∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴，故選A．【題目點(diǎn)撥】比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把兩個(gè)函數(shù)值中自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小7、A【解題分析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)利用公式求得，與鄰界值比較，即可得到結(jié)論.詳解：根據(jù)卡方公式求得，，該研究小組有的把握認(rèn)為中學(xué)生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)生有影響，故選A.點(diǎn)睛：獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計(jì)算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.8、A【解題分析】

試題分析：由題意得，事件“三次抽到的號(hào)碼之和為”的概率為，事件同時(shí)發(fā)生的概率為，所以根據(jù)條件概率的計(jì)算公式.考點(diǎn)：條件概率的計(jì)算.9、C【解題分析】

欲求所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率，須結(jié)合定積分計(jì)算葉形圖（陰影部分）平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式求解．【題目詳解】聯(lián)立得.由圖可知基本事件空間所對(duì)應(yīng)的幾何度量，滿足所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部所對(duì)應(yīng)的幾何度量：（A）．所以（A）．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了幾何概型及定積分在求面積中的應(yīng)用，考查定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10、A【解題分析】，故選A.11、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，以及共軛復(fù)數(shù)，正確解題的關(guān)鍵是靈活掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.12、C【解題分析】

由兩角和的正切公式得出，結(jié)合平方關(guān)系求出，即可得出的值.【題目詳解】，即由平方關(guān)系得出，解得：故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩角和的正切公式，平方關(guān)系，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③④⑤【解題分析】

對(duì)每一個(gè)命題逐一分析判斷得解.【題目詳解】對(duì)于①：曲線方程為，交換，的位置后曲線方程不變，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故該命題是真命題；對(duì)于②：在第一象限內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)，在曲線上，由圖象可知曲線在直線的下方，且為凹函數(shù)如圖，所以曲線C不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故該命題是假命題；對(duì)于③：的最小值為，故該命題是真命題；對(duì)于④：因?yàn)楹瘮?shù)為凹函數(shù)，所以當(dāng)，1時(shí)，曲線上所有點(diǎn)處的切線斜率為負(fù)值，所以該命題是真命題；對(duì)于⑤：曲線與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積設(shè)為，則，故該命題正確.故答案為：①③④⑤【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖像的對(duì)稱問(wèn)題，考查定積分的計(jì)算，考查函數(shù)的最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14、.【解題分析】分析：先不考慮蛇共有種排法，再減去蛇相鄰的情況，即可得出結(jié)論．詳解：先不考慮蛇，先排蛇與毒草有種，再排藏紅花有種，共有種，其中蛇相鄰的排法共有種，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見(jiàn)排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問(wèn)題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問(wèn)題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問(wèn)題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).15、【解題分析】

討論的值，去掉絕對(duì)值，作出函數(shù)圖像，由圖象可得原不等式或，分別求出它們，再求并集即可.【題目詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的圖象可得在上遞增，不等式即為或，化簡(jiǎn)得或，解得或，即，故解集為?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次不等式的解法，利用圖像來(lái)分析不等式的解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用線面平行，將點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)化為到平面的距離來(lái)求解.【題目詳解】由于，所以平面，因此到平面的距離等于到平面的距離.連接，交點(diǎn)為，由于，所以平面，所以為所求點(diǎn)到面的距離，由正方形的性質(zhì)可知.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查空間點(diǎn)到面的距離，考查線面平行的判定，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）55108【解題分析】

（1）根據(jù)表格，得出顧客使用微信、支付寶、購(gòu)物卡和現(xiàn)金支付的概率，之后應(yīng)用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求得結(jié)果；（2）利用二項(xiàng)分布求得結(jié)果.【題目詳解】(1)由表格得顧客使用微信、支付寶、購(gòu)物卡和現(xiàn)金支付的概率分別為13設(shè)Y為三人中使用微信支付的人數(shù)，Z為使用現(xiàn)金支付的人數(shù)，事件A為“三人中使用微信支付的人數(shù)多于現(xiàn)金支付人數(shù)”，則P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)=（=127(2)由題意可知X~X0123P272791E(X)=3×【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)概率的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，二項(xiàng)分布的分布列和期望，屬于簡(jiǎn)單題目.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）證明，轉(zhuǎn)化成證明平面即可．（2）根據(jù)，可得，從而得出體積．【題目詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，，四邊形為平行四邊形，，又，，，又，，平面，．解：（2），，三棱錐的體積為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線線垂直的證明，通常轉(zhuǎn)化成證明線面垂直．三棱錐體積的計(jì)算，選擇不同的底對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，得到的體積相同．那么通常選擇已知的高和底從而求出體積．19、(1)，，；(2)5.88；(3)13.【解題分析】

（1）由頻數(shù)分布表，即可求解表格中的的值；（2）由頻數(shù)分布表，即可估計(jì)用戶的滿意度平分的平均數(shù)；（3）從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，由頻數(shù)分布表能估計(jì)滿意度平分低于6分的人數(shù)．【題目詳解】(1)由頻數(shù)分布表得，解得，，；(2)估計(jì)用戶的滿意度評(píng)分的平均數(shù)為：.(3)從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，估計(jì)滿足一度評(píng)分低于6分的人數(shù)為：人.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了頻數(shù)分布表的應(yīng)用，以及平均數(shù)、頻數(shù)的求解，其中解答中熟記頻數(shù)分布表的性質(zhì)，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）依題意，的定義域?yàn)?，，分類討論可求的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，只需證明.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，即可證明詳解：（1）依題意，的定義域?yàn)?，，?）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，因?yàn)?，所以只需證明，只需證明.設(shè)，則，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以，所以當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：本小題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想等．21、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得出個(gè)學(xué)員中抽測(cè)成績(jī)中大于或等于分的人數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得出到號(hào)學(xué)員合格與不合格的人數(shù)，可得知隨機(jī)變量的可能取值有、、，然后再根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量在相應(yīng)取值時(shí)的概率，并列出分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式可計(jì)算出的值.【題目詳解】（1）學(xué)員抽測(cè)成績(jī)大于或等于分的有個(gè)，從年參加駕照考試的歲以下學(xué)員中隨機(jī)抽取一名學(xué)員，估計(jì)這名學(xué)員抽測(cè)成績(jī)大于或等于分的概率；（2）號(hào)至號(hào)學(xué)員中有個(gè)合格，