2024屆山西省太原市第十二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2024屆山西省太原市第十二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，若將表示的復(fù)數(shù)記為z，則的值為（）A． B． C． D．2．如圖，在正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則異面直線DE與所成角的大小為（）A． B． C． D．3．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用表示所選3人中女生的人數(shù)，則為（）A．0 B．1 C．2 D．34．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，以為頂點(diǎn)的△ABC的面積記為函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為()A． B． C． D．5．已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．46．已知，且，函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，則的值為（）A． B． C． D．7．在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓與直線交于兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的極坐標(biāo)方程為（）A． B．C． D．8．若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則可以是（）A．， B．，C．， D．，9．若偶函數(shù)滿足且時(shí),則方程的根的個(gè)數(shù)是()A．2個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．多于4個(gè)10．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．11．已知向量，，若，則()A． B．1 C．2 D．12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.14．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相同，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值為_(kāi)_____.15．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.16．設(shè)，，，則的最小值為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）令，，，求的表達(dá)式；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖,已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,,垂足為,交于點(diǎn).(1)求證:⊥平面;(2)記直線與平面所成的角,求的值.19．（12分）某校20名同學(xué)的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩⑦@20名同學(xué)的兩顆成績(jī)繪制成散點(diǎn)圖如圖：根據(jù)該校以為的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)線性相關(guān).已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?，英語(yǔ)平均成績(jī)，考試結(jié)束后學(xué)校經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)號(hào)為的同學(xué)與學(xué)號(hào)為的同學(xué)（分別對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖中的）在英語(yǔ)考試中作弊，故將兩位同學(xué)的兩科成績(jī)?nèi)∠?取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，求其余同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的平均數(shù)；取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，求數(shù)學(xué)成績(jī)x與英語(yǔ)成績(jī)y的線性回歸直線方程，并據(jù)此估計(jì)本次英語(yǔ)考試學(xué)號(hào)為8的同學(xué)如果沒(méi)有作弊的英語(yǔ)成績(jī).（結(jié)果保留整數(shù)）附：位同學(xué)的兩科成績(jī)的參考數(shù)據(jù)：參考公式：20．（12分）證明下列不等式.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）設(shè)，，若，求證：.21．（12分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；22．（10分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)歐拉公式求出，再計(jì)算的值.【題目詳解】∵，∴.故選：A.【題目點(diǎn)撥】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求出z.2、B【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，先求得向量的夾角的余弦值，即可得到異面直線所成角的余弦值，得到答案.【題目詳解】分別以所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得,所以，所以，所以異面直線和所成的角的余弦值為，所以異面直線和所成的角為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

先由題意得到的可能取值為，分別求出其對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而可求出其期望.【題目詳解】由題意，的可能取值為，由題中數(shù)據(jù)可得：，，，所以.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，熟記期望的概念，會(huì)求每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的概率即可，屬于?？碱}型.4、D【解題分析】

連結(jié)AB后，AB長(zhǎng)為定值，由C點(diǎn)變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【題目詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長(zhǎng)一定，在點(diǎn)C由A到B的過(guò)程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對(duì)應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點(diǎn)附近時(shí)，三角形的面積減或增較慢，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】畫(huà)出函數(shù)的圖像如圖，由可得，則問(wèn)題化為函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題。結(jié)合圖像可以看出兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)只有兩個(gè)，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖像，借助圖像的直觀將方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用。6、B【解題分析】試題分析：根據(jù)函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，可得．由，且，可得，∴，則，故選B．考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象．7、A【解題分析】試題分析：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則由題意，得圓的直角坐標(biāo)方程，直線的直角坐標(biāo)方程．由，解得或，所以，從而以為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為，即．將其化為極坐標(biāo)方程為：，即故選A．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．8、D【解題分析】

分別取代入不等式，得到答案.【題目詳解】不等式對(duì)任意的恒成立取得：取得：排除A,B,C故答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，用特殊值法代入數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.9、B【解題分析】

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為所求.【題目詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的周期為2，又當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，則方程的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，可得兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即方程有4個(gè)根，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題，即根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判定，其中解答中把方程的根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.10、B【解題分析】由，直線，令,可得或，曲線與直線交于點(diǎn)或，因此圍成的封閉圖形的面積，故選B.11、B【解題分析】

由，，表示出，再由，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，即，解?故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、B【解題分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到答案.【題目詳解】對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第二象限故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】分析：函數(shù)是偶函數(shù)，還是周期函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)圖像，轉(zhuǎn)化為的圖像交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)求解詳解：，則，周期為當(dāng)時(shí)，由圖可得，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為點(diǎn)睛：本題主要考查的是抽象函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意，分析出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，考查了學(xué)生的作圖能力和數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題。14、【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)B的坐標(biāo)為，結(jié)合題意分析可得A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的直角邊長(zhǎng)為2，據(jù)此可得，即，計(jì)算可得m的值，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)B的坐標(biāo)為，如圖：

又由是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形且點(diǎn)A，C的縱坐標(biāo)相同，

則A、B的橫坐標(biāo)相同，故A的坐標(biāo)為，C的坐標(biāo)為，

等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2，

則有，即，

解可得，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題．15、-2【解題分析】

將有且只有一個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成a＝﹣lnx，兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，然后令g（x）＝﹣lnx，對(duì)g（x）進(jìn)行單調(diào)性分析，即可得到g（x）的大致圖象，即可得到a的值．【題目詳解】由題意，可知：令2，即：a＝﹣lnx，x＞2．可設(shè)g（x）＝﹣lnx，x＞2．則g′（x），x＞2．①當(dāng)2＜x＜2時(shí)，g′（x）＞2，g（x）單調(diào)遞增；②當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＜2，g（x）單調(diào)遞減；③當(dāng)x＝2時(shí)，g′（x）＝2，g（x）取極大值g（2）＝﹣2．∵函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴a只能取g（x）的最大值﹣2．故答案為：﹣2．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性．屬中檔題．16、.【解題分析】

把分子展開(kāi)化為，再利用基本不等式求最值．【題目詳解】由，得，得，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立．故所求的最小值為．【題目點(diǎn)撥】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）求出的解析式，依次計(jì)算即可得出猜想；

（2）已知恒成立，即恒成立．設(shè)(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，對(duì)進(jìn)行討論，求出的最小值，令恒成立即可；詳解：由題設(shè)得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n＝1時(shí)，g1(x)＝，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即gk(x)＝.那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N＋成立．所以gn(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號(hào)成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1時(shí)，ln(1＋x)≥恒成立(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)．當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1時(shí)，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷與最值計(jì)算，數(shù)學(xué)歸納法證明，分類討論思想，屬于中檔題．18、（1）見(jiàn)解析；（2）．【解題分析】分析：此題建系比較容易，所以兩問(wèn)都用建系處理，以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線所在直線為軸,軸,軸，分別寫(xiě)出坐標(biāo)，設(shè)，利用解得所以，所以平面；(2)計(jì)算平面法向量，所以即可解題詳解：(1)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系，易得,設(shè),則，因?yàn)?所以，解得,即,又,,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2)，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，則，即，.點(diǎn)睛：空間向量是解決立體幾何問(wèn)題很好的方法，也是高考每年的必考考點(diǎn)，所以在遇到此類問(wèn)題時(shí)要注意合理的建立坐標(biāo)系，建系的原則要盡量使得更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣方便計(jì)算.19、90分；分.【解題分析】

計(jì)算出剩下名學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)之和，于是求得平均分；可先計(jì)算出，再利用公式可計(jì)算出線性回歸方程，代入學(xué)號(hào)為的同學(xué)成績(jī)，即得答案.【題目詳解】由題名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之和為，英語(yǔ)成績(jī)之和為取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之和為其余名學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)之和為其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分，英語(yǔ)平均分都為；不妨設(shè)取消的兩名同學(xué)的兩科成績(jī)分別為數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的線性回歸方程代入學(xué)號(hào)為的同學(xué)成績(jī)，得本次英語(yǔ)考試學(xué)號(hào)為的同學(xué)如果沒(méi)有作弊，他的英語(yǔ)成績(jī)估計(jì)為分.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平均數(shù)及方差，線性回歸方程的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及運(yùn)算技巧，難度中等.20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解題分析】分析：（1）利用分析法進(jìn)行證明；（2）利用常數(shù)代換法應(yīng)用基本不等式即可證明.詳解：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個(gè)不等式顯然成立，所以；（2）因?yàn)?，，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)