新人教版高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試（理）試卷

江西省贛州十一縣（市）2010屆高三下學(xué)期期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)理

時(shí)間：120分鐘滿分：150分

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每一小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填入答題卷）

1、若復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=l+ai,且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是（）

A.o>1B.—1<（?<1C.<—1D.tz<-1或a>1

2、若集合4={#/-2_￥-1640},3="1。5'45},則4門(mén)8中元素個(gè)數(shù)為（）

A.6個(gè)B.4個(gè)C.2個(gè)D.0個(gè)

3、已知無(wú)窮等比數(shù)列{*}的前〃項(xiàng)和為S,，所有項(xiàng)的和為S,且lim（S,-2S）=1,則其

首項(xiàng)外的取值范圍（）

A.（—1,0）；B.（-2,-1）；C.（—2,0）；D.（-2,-1）U（—1,0）；

4、設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（2,2?）,則尸（2<J<3）可以被表示為

、1一2尸解<1）

A.1-P（^<1）B.------一

C.F（O<^<1）D.；+P（J<l）

5、給出下面的三個(gè)命題：①函數(shù)y=lsin（2x+q）的最小正周期是]②函數(shù)

y=sin[x-在區(qū)間肛當(dāng)）上單調(diào)遞增③x=，是函數(shù)>=sin（2x+的圖象

的一條對(duì)稱軸。其中正確的命題個(gè)數(shù)（）

A.0B.1C.2D.3

6、設(shè)a、By是三個(gè)不同的平面，a、8是兩條不同的直線，給出下列4個(gè)命題：

①若a〃a,b//a,則a〃慶②若a〃a,b//（3,a//b,則1〃￡；③若b

J.￡,aA.b,則aJ_￡；④若a、b在平面a內(nèi)的射影互相垂直，則其中正確命題

是：（）

A.③B.?C.①③D.②④

22

7、已知耳,尸2是雙曲線與—4=1（。>}>0）的兩焦點(diǎn)，以線段耳名為邊作正三角形

ab~

鳥(niǎo)，若邊何耳的中點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的離心率是（）

A.4+273B.&TC.--D.6+1

x+y-1>0

8、在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組<y>x-l（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的

ax-y+1>0

面積等于2,則。的值為：（

1

A.3B.-C.3或一D.-

332

9、為預(yù)防和控制甲流感，某學(xué)校醫(yī)務(wù)室欲將23支相同的溫度計(jì)分發(fā)到高三年級(jí)10個(gè)班級(jí)

中，要求分發(fā)到每個(gè)班級(jí)的溫度計(jì)不少于2支，則不同的分發(fā)方式共有

A、120種B、175種C、220種D、820種

10、在直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)A是曲線6：>=公3+1（。>0）與曲線。2：/+），2=|的

一個(gè)公共點(diǎn)，若G在A處的切線與。2在A處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)。的值是：（）

A.2B.1C.V3D.4

11、棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。—481G，的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，E、F分別是棱

AB.4。的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)￡、F的球截面的面積最小值是（）

,3717

A.-71B.c.，D.171

888

12、如圖，點(diǎn)尸（3,4）為圓/+>2=25上的一點(diǎn)，點(diǎn)笈尸為y軸上的兩點(diǎn)，

，兩是以點(diǎn)夕為頂點(diǎn)的等腰三角形，直線陽(yáng)所交圓于〃，C兩點(diǎn)，直線切

交y軸于點(diǎn)4,則sin/%0的值為（）

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分，請(qǐng)將正確答案填入答題卷）

2in

13、設(shè)（l-2x）"=ao+a（x+a2x+—+a1Ox,貝!Ja[+&+烏+…+平貝]的值為

u/iu122y—

14、已知y=/(x)有反函數(shù)y=/T(x),又y=/(x+2)與y=/T(x—1)互為反函數(shù)，則

廣|(2010)_-|⑴的值為.

15、在4ABC中，A8=1,8C=J7,AC=3,若0為AABC的垂心，則布?衣的值

為.

16、在平面上取定一點(diǎn)。，從。出發(fā)引一條射線Ox,再取定一個(gè)長(zhǎng)度單位及計(jì)算

角的正方向，合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系。這樣，平面上任一點(diǎn)尸的位置就可以用線段。尸

的長(zhǎng)度夕以及從。x到。尸的角度夕來(lái)確定，有序數(shù)對(duì)(P,°)稱為

尸點(diǎn)的極坐標(biāo)，Q稱為P點(diǎn)的極徑，8稱為尸點(diǎn)的極角。在一個(gè)極坐標(biāo)系

下，給出下列命題：J

A.點(diǎn)尸(4,()的極徑為4,極角為?；B.有序數(shù)對(duì)(2,看)與

(2,2k兀+2卜eZ)表示兩個(gè)不同點(diǎn)；C.點(diǎn)(2,?)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為

2,—女］D.圓心在(a,0)(。＞0),半徑a的圓的極坐標(biāo)方程為夕=2acos6；E.過(guò)點(diǎn)(2,0)

垂直極軸的直線方程為0cos6=；.其中真命題序號(hào)是.

三、解答題：本大題共6小題，滿分74分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算

步驟

17、(本小題滿分12分)在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，A為銳角，已知

(l)^a2-c2-b~-mbc,求實(shí)數(shù)m的值。

(II)若a=g,求AABC面積的最大值.

18、(本小題滿分12分)某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額

每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)-次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任

一位置.若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券.例如：

消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.

(I)若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率；

(II)若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金(°60

額記為X(元).求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

19、(本小題滿分12分)如圖所示，棱柱A8CO-4與G2的所有棱長(zhǎng)都等于2,

ZABC=60°,平面AAqC_LABCD,ZA1AC=60°.

(I)證明：BDlAAp

(II)求二面角D-AiA—C的平面角的余弦值.

(III)在直線CCi上是否存在點(diǎn)P,使BP〃平面DAiG?若存在，求出點(diǎn)P的位

置；若不存在，試說(shuō)明理由.

B

圖4

22

20、(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Q：與+《=l(a>b>0)的左、右焦

CTb~

點(diǎn)分別為Fi、F2.其中F2也是拋物線C2:尸=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為J與C2在第像限的交

點(diǎn)，且IM工1=*.

23

(1)求C1的方程；______

(2)平面上的點(diǎn)N滿足旃=麗+麗，直線/〃MN,且與Ci交于A、B兩點(diǎn)，若

OA-OB=0,求直線/的方程.

21、(本小題滿分12分))已知函數(shù)〃力=止。

X

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間，并比較/(2)、〃3)、/(5)的大小;

(II)證明：/(x)41-,在其定義域內(nèi)恒成立,并比較/(22)+/(32)+…+/(/)與

X

(〃一1)(2〃+1)

的大小。

2n+2

22、(本小題滿分14分)已知數(shù)列｛〃,“｝是首項(xiàng)為〃，公差為b的等差數(shù)列，仍〃｝是首項(xiàng)為

b,公比為a的等比數(shù)列，且滿足為<々<&<%<的，其中。、b、m、〃GN*.

(I)求a的值；

(II)若數(shù)列｛1+a,“｝與數(shù)列｛a｝有公共項(xiàng)，將所有公共項(xiàng)按原順序排列后構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列

｛%｝,求數(shù)列｛c“｝的通項(xiàng)公式；

(III)記(H)中數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)之和為5,，求證：

999919

-----1-------1-----+---------<—(n>3).

S,S2S2s353s4S.S,542

16.

數(shù)學(xué)參考答案(理)

一、選擇題:

題號(hào)123456789101112

答案ABDBCADBCDCA

二、填空題：

13.-214.401815.-16.A、C、D

2

三、解答題：

17、解：（I）由萬(wàn)〃，得l—cos2A=JJsinA,所以2sin2A=JJsinA

又A為銳角，sinA=—3，cosA=—而/—c?="一血?c可以變形為

22

h2+c2-a2_m

—2bc——萬(wàn)

m1

即cosA=—=—,所以〃z=l6分

22

(II)由(I)知cosA='，sinA=且又=1

222bc2

所以力。=/+(?2—。2>2hc-a2^hc<a2故

01八.y12e36

S^ABC=^bc&mA^-a—=—

當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=百時(shí)、AABC面積的最大值是更12分

4

18、解：解：設(shè)指針落在4設(shè)。區(qū)域分別記為事件45c

則P(A)=J,P(5)="P(C)=《.

632

(I)若返券金額不低于30元，則指針落在［或8區(qū)域.

.?.P=P(A)+P(8)=，+：=!

632

即消費(fèi)128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是工.5分

2

(II)由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次.

所以隨機(jī)變量X的可能值為0,30,60,90,120.6分

P(X=O),；[;

P(X=30)=-xlx2=

233

5

P(X=60)=—x—x2+—x—=

2633?8

P(X=90)=-x-x2=-;

369

111

P(X=120)=_x__—___

66-36

10分

所以，隨機(jī)變量X的分布列為:

P0306090120

X]_￡5]_1

43后936

其數(shù)學(xué)期望EX=0/+30x'+60xa+90xL120x-L=40

12分

4318936

19.解：（1）連結(jié)BD交AC于O,由于四邊形ABCD為菱形，所以BD_LAC.又因?yàn)槎娼?/p>

D-AC-Ai為直二面角，所以BD_LACAi.所以BD_LAAi4分

（II）作OK_LAAi于K,連結(jié)DK,貝ljDKJ_AAi.所以/OAK=60°所以0K=1

2

而OD=JL故tan/DKO=2,即二面角D-AIA-C的平面角的余弦值是g8分

（川）延長(zhǎng)CiC到P使CP=CC連結(jié)BiC,BP,則BP〃BiC.所以BP〃A】D.又A】Du平面

DAiCi，所以BP〃平面DAJCJ.12分

注：利用空間直角坐標(biāo)系法解題參照給分。

20、解：（I）由G：/=4x知鳥(niǎo)（1,0）.1分

設(shè)M（X],必），M在G上，因?yàn)?所以再+1=：，

俎22幾

得玉=§，％=丁，3分

[4?8=[

M在G上，且橢圓G的半焦距。=1，于是彳講+/一'5分

卜=/一1

消去從并整理得9a4-37/+4=0,解得。=2（a='不合題意，舍去）.

3

22

故橢圓G的方程為二+匕=L6分

143

（II）由赤+麗=麗知四邊形招是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。,

因?yàn)镮〃MN,所以/與的斜率相同，

276

故/的斜率上=-1-=痛.7分

3

設(shè)I的方程為y=*>(x—m).

3x2+4y212,

由，

y=A/6(X-/M),

消去y并化簡(jiǎn)得9x2-16mx+8〃/-4=0.

'幾”Xr?7\16m8m2-4

設(shè)A(x，必)，B(X,y),x+x=—^―,玉光28分

22]2-9

因?yàn)镺A_LOB,所以％]尤2=0.

玉％+百一機(jī)(再2

x}x2+y]y2=6(m)(x2-m)=lx1x2-6+x2)+6m

_Sm2-4/16/H

=/-------------6m-------+6加2="(14m2_28)=0.10分

99

所以加=±J5.此時(shí)△=(16/n)2-4x9(8m2-4)>0,

故所求直線/的方程為丁=瘋-2月，或>=瘋+2行.12分

八八/、1-lnx

21、解：(I)首先，x>0.v/(x)=—―,1分

X

f'(%)>0=>0<x<e=>f(x)在(o,e]上遞增；

/'(%)W0=%2en/(%)在[e,+oo)上遞減；

/W的單調(diào)遞增區(qū)間是(o,e]，單調(diào)遞減區(qū)間是[e,+8).3分

r/c、In22In2In4=.

?//(2)=—=——=—=/(4),而e<3o<4<5c,

244

??.〃3)>八4)>〃5)即/(3)>〃2)>〃5).5分

(II)要證明/(X)<1--即證明吧41—1(x>0)即證明InX—X+1W0(%>0)恒成立。

xxx

11—X

令g(x)=Inx—x+l(x>0),則g'(x)=—1=-----=0=>x=1.7分

xx

：.g(x)在x=1處取得極大值g⑴=0,也是最大值。

g(x)4g⑴=0。：.f(x)<l——(x>0)成立.

x

由此可得/(n2)<l--y(n上N*).9分

n

于是/(2?)+/(3?)+…+/(〃?)<(I-4)+(1_J)+…+(1--L)

2~jYT

n

1

-[―^+―+…+]

2x33x4n(n+l)

二"一1一-—…—^-j)]

一11、(n-1)(272+1)

=n-l-(-----)=---------。

2〃+12〃+2

.??〃22)+/(32)+…+/(/)<止，(2蜉1)12分

22、解：(1)由題設(shè)%,=。+(加—1))也,1分

由已知。<b<Q+8<。+2/?,所以<〃+2力<3b.又b>0,所以aV3.

因?yàn)閍b>a+b,b〉a,則又a>0,所以。>2,從而有a>">1.

b—\

因?yàn)閍eN*,故a=2.4分

(2)設(shè)1+4”,="“，BP1+a+(in-l)h=b-a"~l.

3

因?yàn)閍=2,則3+(，”—l)b=〃-2"T,所以匕=—―-----.

2"T-(m-1)

因?yàn)閎>a2,且66N*,所以2"T-(加-1)=1,即加=2"，且6=3.

故％=0.3-2"T8分

(3)由題設(shè)，S“=3(1+2+…+2"T)=3(2"-1).

當(dāng)〃23時(shí)，2"—1=C：+C：+…+C：T+C；—1NC,；+C；+C；i+C；—1=2〃+1,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=3時(shí)等號(hào)成立，所以S,23(2〃+l)

10分

工曰9111

于是-----(2:1)(2"+一)<(2〃+1)(2〃+3)=丸〃+12〃+3](〃N3).12分

S"S"+i

因?yàn)镾i=3,Sz=9,53=21,則

9111111111

+??.+--------<—|-----1—I--------F----------F1

S|Szs2s3S3s4

S,,Sn+i321279911In+12/7+3

1±1(11

++14分

321272〃+33211442

懷柔區(qū)2009?2010學(xué)年度第二學(xué)期高三期中練習(xí)

數(shù)學(xué)（理科）2010.3

本試卷分第I卷（選擇題）和第1[卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁(yè)，第n卷3

至8頁(yè)，共150分.考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題共40分）

注意事項(xiàng)：

1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目等涂寫(xiě)在答題卡上.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，

再選涂其他答案.不能答在試卷上.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出

符合題目要求

的一項(xiàng).

1.設(shè)集合P={x|-l<xW2},Q=[x\x-l>0],則尸no=

A.{xI-1<X<1}B.{x11<x<2}C.{xl-l<x<2}

D.{x\x>-1}

2.若向量a二(1,—1),b=(—1,1),c=(5,1),則c+a+b=

A.aB.bC.cD.a+b

3.拋物線y=-4x2的準(zhǔn)線方程是

11

A.x——B.x=1c.y=1D.y二—

1616

4.已知a=l,復(fù)數(shù)z=(42—l)+(a—2)i(a/eR),貝卜a=1"是"z為純虛數(shù)”的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

5.如圖，是CCTV青年歌手大獎(jiǎng)賽上某位選手得分的莖葉

圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方79

差為844467

9136

3880

C.—D.

7T

6.如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2,且側(cè)

棱A/，底面AiBiC],主視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，該

A品4ZEWffl他快接圖

三棱柱的左視圖面枳為

A.4B.2百

C.2A/2

7.一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方

體6個(gè)表面的

距離均大于1,稱其為“安全飛行"，則蜜蜂"安全飛行"的概率為

812615

A.B.----C.—D.

27272727

8.如圖，一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0,1),然后接著按

圖所示在x軸，y

軸平行方向來(lái)回運(yùn)動(dòng)(即(0,0)->(0,1)~>(1,1)->(1,0)—>(2,0).......),若每秒運(yùn)動(dòng)

一個(gè)單位長(zhǎng)度，那

么第2010秒時(shí)，這個(gè)粒子所在的位置為

A.(16,44)B.(15,44).

C.(14,44)D.(13,44)

第n卷（非選擇題共110分）

注意事項(xiàng)：用黑色簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上規(guī)定的區(qū)域內(nèi).

填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.

9.函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期為

10.經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，圓心在極軸上，且半徑為1的圓的極坐標(biāo)

方程為

如圖，是計(jì)算▲…的值的一個(gè)程序框

24620

圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是.

12.若函數(shù)/(x)=—/+cx+2(ceR),則

「（一2）、r（T）、r（o）的大小關(guān)系是

O-.O'

13.如圖，圓。和圓。'相交于4B兩點(diǎn)，AC是圓0'的切線，AD是

圓。的切線，若8c=2,AB=4,則8D=.

-；+[+W。，若…])=],/⑼一

14.已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)

—2,x>0

g(x)=/(x)+x的零

點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

15.（本小題共12分）

1+V2cos（2x-—）

已知函數(shù)/（%）=---------------2.

sin（y-x）

（I）求函數(shù)/（x）的定義域；

（H）求/（X）在區(qū)間［-?,'）上的最大值與最小值.

16.(本小題滿分14分)

如圖，已知四棱錐SfBCD的底面A8CD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點(diǎn)，SA

_1_底面A8CD,

SA=AD=1,AB=42.

(I)求證：MNJ_平面A8N；

(II)求二面角A—8N—C的余弦值.

17.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)/（6=&_3/+1——56尺且。力0）,求r（x）及函數(shù)/（X）的極大

值與極小值.

18.(本小題滿分13分)

甲、乙兩人同時(shí)參加奧運(yùn)志愿者選拔賽的考試，已知在備選的10道題中，甲能答對(duì)其

中的6道題，乙能答對(duì)其中的8道題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試,

至少答對(duì)2道題才能入選.

(I)求甲答對(duì)試題數(shù)J的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(II)求甲、乙兩人至少有人入選的概率.

19.（本小題滿分14分）

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=弓，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,0卜

（I）求橢圓C方程;

（II）設(shè)直線/：y=gx+〃2與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交X軸于點(diǎn)T.當(dāng)

m變化

時(shí)，求ATAB面積的最大值.

20.(本小題滿分14分)

當(dāng)P”P(pán)2,…，P”均為正數(shù)時(shí)，稱---------------為P],〃2,…，P.的"均倒數(shù)”.已知

Pi+P2+--+Pn

數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且其前八項(xiàng)的"均倒數(shù)"為」一,

2n+1

(I)試求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式；

(H)設(shè)％=-^―，試判斷并說(shuō)明c,,M-％eN*)的符號(hào)；

(III)已知么=件。＞0),記數(shù)列仇｝的前〃項(xiàng)和為S“，試求」包的值；

S”

(W)設(shè)函數(shù)/")=一一+4%—一%-,是否存在最大的實(shí)數(shù)4,使當(dāng)xK/ln寸，對(duì)于一

2n+1

切正整數(shù)"，

都有/(x)40恒成立？

懷柔區(qū)2009~2010學(xué)年度第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中練

習(xí)

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（理科）20W.3

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

題號(hào)12345678

答案BCDADBBC

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.兀10.p-2cos^11.

n<20

3

12./^O)>/(-1)>/(--)13.814.

3

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.(本小題共12分)

解：(I)由題意sin(--x)0=>--k/r.kGZNx豐2+k7i,kwZ

222

故所求定義域?yàn)閧xlxH2+br?cZ}..........4分

2

1+V2COS(2X-----)

_1+cos2x4-sin2x2cos2x+2sinxcosx

(ID〃x)=--------------------

cosxcosx

sin(y-x)

=2cosx+2sinx=25/2sin(x+—)..........9分

4

71,71c,434

----Wx<—,，0WXH—<—,..........10分

4244

jrjr

.,.當(dāng)x+]=0即x=-1時(shí),/(x)n)in=0；

當(dāng)"?竹即X=(時(shí)，/(X)max=20.......12分

16.(本小題滿分14分)

解：（I）以4點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸，4。為y軸，AD為z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則依題意可知相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：A（0,0,0）,8（V2,0,0）,C（、歷，1,

0),D(0,1,0),5(0,0,1)(圖略)

V27211

2分

——?11―■l--J?11

/.MN=(0,--,-),AB=(J2,O,O),AN=(-y,-,-)......................................4分

.?.加?藤=?..=(),礪?麗=?.雨，麗麗，而.

.?./WN_L平面ABN...................................................................................................7分

(II)設(shè)平面NBC的法向量7=3"c),貝61BC,n1女.且又易知

BC=(0,l,0),SC=(V2,l,-l)

"?8。=0,即僅=0,b=0,

n-SC=0,[后。+b-c=0.c=41a.

令。=1,貝iJ〃=(l,0,&)............................................................................11分

—?11

顯然，仞N=(0,-5，耳)就是平面八8N的法向量.

由圖形知，二面角A—8/V—C是鈍角二面角..........................12分

二面角A—8N-C的余弦值是一Y—..........................14分

3

17.（本小題滿分13分）

解：由題設(shè)知a。0,，F(xiàn)'（x）=3a/-6x=3ax（x-2）.......2分

a

,2

令f'M-。得x-?；騲=—..............4分

a

當(dāng)〃>0時(shí),隨光的變化，言（力與/（工）的變化如下：

2

X(-00,0)0

a信+8)

f'M+0-0+

/(x)/極大極小/

/(X)極大=/⑼=1-3'“X)極小=/仔+l.....8分

a\ci/cia

當(dāng)a<0忖，隨x的變化，/'（X）與"X）的變化如下:

2

X。0（訓(xùn)0(0,+oo)

卜ma

/'（X）-0+0-

f(x)極小極大

???/a）極大=〃。）=1j/⑺極小=/閆=一捺一6.........12分

343

綜上，當(dāng)a>0時(shí),/（X）極大=1--，/（x）極小=一-2—+1;

人aa

343

當(dāng)a<0時(shí)，/（x）極大=1-丁/（%）極小=一/一=+1......1?分

18.（本小題滿分13分）

解：(I)依題意，甲答對(duì)試題數(shù)J的可能取值為0,1,2,3.......................1分

1

則P(4=0)

30

c卜c：=3

P("l)3

C.O10

PC=2)=爺g

5o2

P(J=3)......................................................5分

Gt6

.?.J的分布列為

0123

4

P13

301026

......................6分

甲答對(duì)試題數(shù)自的數(shù)學(xué)期望為

13119

E4=Ox-+lx-~'+2x-+3x-=7分

3010265

(II)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B,則

2

尸(A)=PC=2)+PC=3)=§,

56+5614

..................................9分

12015

因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，

甲、乙兩人考試均不合格的概率為

————214i

P(A.B)=P(A)?P(B)=[1--][1--]=—11分

.??甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

------144

P=1-P(AB)=1——=—.

4545

44

答：甲、乙兩人于少有一人考試合格的概率為一.13分

45

另解：甲、乙兩人至少有一個(gè)考試合格的概率為

--3111421444

P=P(A?8)+P(A?8)+P(4?8)=-x—+—x—+—x

21531531545

答：甲、乙兩人于少有―人考試合格的概率為一.

45

19.（本小題滿分14分）

22

解法一：（I）依題意，設(shè)橢圓c的方程為=+與=1（a＞匕＞0）

ab

cy/3

/.Q=2,........3分

h2=a2—c2=1,........4分

比2

二橢圓c的方程是二+4=1

4........5分

[x2,

—+y-2=1

(II)由4

1

V=—X4-777

I2

得x?+4(gx+/n)2=4,即x[+2mx+2m2-2-0

令公>0,得8-4機(jī)之>