小學五年級奧數(shù)第2課《質數(shù)、合數(shù)和分解質因數(shù)》試題附答案

小學五年級上冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第2課《質數(shù)、合數(shù)和分解質因數(shù)》試題附答案

一、基本慨念和知識

L質數(shù)與合數(shù)

一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)（也叫做素

數(shù)）。

一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

要特別記住：1不是質數(shù)，也不是合數(shù)。

2質因數(shù)與分解質因數(shù)

如果一個質數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質數(shù)是這個數(shù)的質因數(shù)。

把一個合數(shù)用質因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)。

例：把3吩解質因數(shù)。

解：30=2X3X5。

其中2、3、5叫做30的質因數(shù)。

又如12=2X2X3=2*3,2,3都叫做12的質因數(shù)。

二、例題

例1三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù).

例2兩個質數(shù)的和是40,求這兩個質數(shù)的乘積的最大值是多少?

例3自然數(shù)12345678混質數(shù)，還是合數(shù)？為什么？

例4連續(xù)九個自然數(shù)中至多有幾個質數(shù)？為什么？

例5把5、6、7、14、15這五個數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。

例6有三個自然數(shù)，最大的比最小的大6,另一個是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘

積是42560.求這三個自然數(shù)。

例7有3個自然數(shù)a、b,c.已知aXb=6,bXc=15,

例8一個整數(shù)a與1080的乘積是一個完全平方數(shù).求a的最小值與這個平方數(shù)。

例9問360共有多少個約數(shù)？

例10求240的約數(shù)的個數(shù)。

答案

二、例題

例1三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù).

解：?:210=2X3X5X7

???可知這三個數(shù)是5、6和7。

例2兩個質數(shù)的和是40,求這兩個質數(shù)的乘積的最大值是多少？

解：把40表示為兩個質數(shù)的和，共有三種形式：

40=17+23=11+29=3+37。

V17X23=391>UX29=319>3X37=Uh

..?所求的最大值是391。

答：這兩個質數(shù)的最大乘積是391。

例3自然數(shù)123456789是質數(shù)，還是合數(shù)？為什么?

解：123456789是合數(shù)。

因為它除了有約數(shù)1和它本身外，至少還有約數(shù)3,所以它是一個合數(shù)。

例4連續(xù)九個自然數(shù)中至多有幾個質數(shù)？為什么？

解：如果這連續(xù)的九個自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個質數(shù)

(如:1~9中有4個質數(shù)2、3、5、7)。

如果這連續(xù)的九個自然中最小的不小于3,那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，

而其中奇數(shù)的個數(shù)最多有5個.這5個奇數(shù)中必只有一個個位數(shù)是5,因而5是這個

奇數(shù)的一個因數(shù)，即這個奇數(shù)是合數(shù).這樣，至多另4個奇數(shù)都是質數(shù)。

綜上所述，連續(xù)九個自然數(shù)中至多有4個質數(shù)。

例5把5、6、7、14、15這五個數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。

解：V5=5,7=7,6=2X3,14=2X7,15=3X5,

這些數(shù)中質因數(shù)2、3、5、7各共有2個，所以如把14

(=2X7)放在第一組，那么7和6(=2X3)只能放在第二組，繼而15(=

3X5)只能放在第一組，貝U5必須放在第二組。

這樣14X15=210=5X6X7。

這五個數(shù)可以分為14和15,5、6和7兩組。

例6有三個自然數(shù)，最大的比最小的大6,另一個是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘

積是42560.求這三個自然數(shù)。

分析先大概估計一下，30X30X30=27000,遠小于42560.40X40X40=

64000,遠大于42560.因此，要求的三個自然數(shù)在30~40之間。

解：42560=26X5X7X19

=25X(5X7)X(19X2)

=32X35X38（合題意）

要求的三個自然數(shù)分別是32、35和38。

例7有3個自然數(shù)a、b、c.己知aXb=6,bXc=15,

aXc=10.求aXbXc是多少？

解：:6=2X3,15=3X5,10=2X5。

(aXb)X(bXc)X(aXc)

=(2X3)X(3X5)X(2X5)

：z:22:

.?.aXbXc=2X3X5

(aXbXc)2=(2X3X5)z

aXbXc=2X3X5=30

在例7中有a2=22,b:=3:,e=52,其中V=4,32=9,5?=25,像4、9、25

這樣的數(shù)，推及一般情況，我們才

fruI詬一

如.IT22=4,32=9,42=16,…，112=121,12』144,…其中1,4,9,

16,121,144,…都叫做完全平方數(shù).

下面讓我們觀察一下，把一個完全平方數(shù)分解質因數(shù)后，各質因數(shù)的指數(shù)

有什么特征。

例如：把下列各完全平方數(shù)分解質因數(shù)：

9,36,144,1600,275625。

解：9=3236=22X32144=32X24

1600=2sX5:275625=3^X5：X7:

可見，一個完全平方數(shù)分解質因數(shù)后，各質因數(shù)的指數(shù)均是偶數(shù)。

反之，如果把一個自然數(shù)分解質因數(shù)之后，各個質因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，

那么這個自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。

如上例中，36=62,144=122,1600=40%275625=525%

例8一個整數(shù)a與1080的乘積是一個完全平方數(shù).求a的最小值與這個平方數(shù)。

分析:a與1080的乘積是一個完全平方數(shù)，

，乘積分解質因數(shù)后，各質因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù)。

解：：1080Xa=23X33X5Xa,

又「1080=23X3這5的質因數(shù)分解中各質因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，

遍含質因數(shù)2、3、5,因此遇小為2X3X5。

/.1080Xa=1080X2X3X5=1080X30=32400o

答：a的最小值為30,這個完全平方數(shù)是32400。

例9問36哄有多少個約數(shù)？

分析360=2?義3?X5。

為了求36哺多少個約數(shù)，我們先來看32X5有多少個約數(shù)，然后再把所有

這些約數(shù)分別乘以1、2、22、23,即得到VX32X5(=360)的所有約數(shù).為了求

32X5有多少個約數(shù)，可以先求出5有多少個約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以

L3、32,即得到32X5的所有約數(shù)。

解：記5的約數(shù)個數(shù)為匕，

3?X5的約數(shù)個數(shù)為Y],

360(=2SX32X5)的約數(shù)個數(shù)為Y.由上面的分析可知：

Y.=4XY.,Y.=3XY,

顯然Y】=2(5只有1和5兩個約數(shù))。

因此Y?=4XY.=4X3XY】=4X3X2=24。

所以360共有24個約數(shù)。

說明：X=4XY；中的“4”即為“1、2,2入2：”中數(shù)的個數(shù)，也就是其中

2的最大指數(shù)加1,也就是360=2>32X5中質因數(shù)2的個數(shù)加1；Y-=3XY沖的

“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個數(shù)，也就是2"32X5中質因數(shù)3的個數(shù)加1；而

Y1=2中的"2”即為“1、5”中數(shù)的個數(shù)，即2詠3詠5中質因數(shù)5的個數(shù)加1.因

北

Y,=(3+1)X(2+1)X(1+1)=24。

對于任何一個合數(shù)，用類似于對23X32X5(=360)的約數(shù)個數(shù)的討論方

式，我們可以得到一個關于求一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的重要結論：

一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質因數(shù)分解式中每個質因數(shù)的個數(shù)(即指

數(shù))力口1的連乘的積。

例10求240的約數(shù)的個數(shù)。

解：?..240=24><3。51,

...240的約數(shù)的個數(shù)是

(4+1)X(1+1)X(1+1)=20,

.■，24南0個約數(shù)。

請你列舉一下240的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是20個？

習題二

1.邊長為自然數(shù)，面積為105的形狀不同的長方形共有多少種？

2.11112222個棋子排成一個長方陣.每一橫行的棋子數(shù)比每一豎列的棋子

數(shù)多1個.這個長方陣每一橫行有多少個棋子？

3.五個相鄰自然數(shù)的乘積是55M0,求這五個自然數(shù)。

4.自然數(shù)諫以338,恰好是自然數(shù)b的平方.求a的最小值以及b。

5.求10500的約數(shù)共有多少個？

五年級奧數(shù)上冊：第二講質數(shù)、合數(shù)和分解質因數(shù)習題解答

習題二解答

I/.,105=3X5X7,

105=1X105=3X35=5X21=7X15,

二?共有4種。

2分析

每一橫行棋子數(shù)比每一豎列棋子數(shù)多1個。

橫行數(shù)與豎列數(shù)應是兩個相鄰的自然數(shù).

解：11112222=3333X3334

答案為3334。

3/7、8,9、10、llo

4分析

;自然數(shù)探以338,恰好是自然數(shù)b的平方，

二.a與338的積分解質因數(shù)以后，每個質因數(shù)的個數(shù)之和都是偶數(shù)。

解：:338=2X13X13,

：.a=2,b=2X13=26o

5.解：..70500=22X3X53X7,

又「(2+1)X(1+1)X(3+1)X(1+1)=48。

10500的約數(shù)共有48個一

附：奧數(shù)技巧分享

分享四個奧數(shù)小技巧。希望孩子早進步哦。

技巧1：培養(yǎng)孩子數(shù)字感

要想入門奧數(shù)，很大一部分程度上靠的就是孩子的數(shù)字感，那么我們應該如何培養(yǎng)孩子的數(shù)

字感呢？最簡單的方法，就是讓孩子去超市購物，自己算賬，把自己的日常開銷交給孩子進

行計算。

不但可以練就孩子熟能生巧的技巧，還能讓孩子早點持家，懂得金錢來之不易，好好學習的

道理，一箭雙雕！

小學奧數(shù)中，很多題型都是有規(guī)律的計算題，希望家長能夠注重孩子的計算能力的培養(yǎng)，從

數(shù)字感的培養(yǎng)練就孩子基本的奧數(shù)素質能力哦。

技巧2：培養(yǎng)孩子敏銳的觀察能力

奧數(shù)題目中有一類題目就是移動火柴或者根據(jù)已有圖案進行圖案相關的規(guī)律的填充，此類型

的題目考核的就是學生的觀察能力，所以我們希望家長從小就開始培養(yǎng)孩子的觀察能力。

比如，給孩子的額外作業(yè)就是觀察家里的變化，寫日記，或者觀察老師講課的方式