專(zhuān)題12統(tǒng)計(jì)概率（選填題10種考法）

專(zhuān)題12統(tǒng)計(jì)概率（選填題10種考法）考法一特征數(shù)【例11】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）為深人學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校開(kāi)展了“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國(guó)伴我行”二十大主題知識(shí)競(jìng)賽.其中高一年級(jí)選派了10名同學(xué)參賽，且該10名同學(xué)的成績(jī)依次是：，.則下列說(shuō)法正確的有（

）A．中位數(shù)為90，平均數(shù)為89B．分位數(shù)為93C．極差為30，標(biāo)準(zhǔn)差為58D．去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，平均數(shù)變大，方差變小【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意中位數(shù)為，平均數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋苑治粩?shù)為，故B正確；對(duì)于C，極差為，方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，則平均數(shù)為，方差為，所以去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，平均數(shù)變大，方差變小，故D正確.故選：ABD.【例12】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）（多選）從樹(shù)人小學(xué)二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身商（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖，則（

）A．B．估計(jì)樹(shù)人小學(xué)這100名二年級(jí)學(xué)生的平均身高為124.5cmC．估計(jì)樹(shù)人小學(xué)這100名二年級(jí)學(xué)生的平均身高的中位數(shù)為122.5cmD．估計(jì)樹(shù)人小學(xué)這100名二年級(jí)學(xué)生的平均身高的眾數(shù)為120cm【答案】AB【解析】由題意，，A正確；均值為，B正確；設(shè)中位數(shù)是，由直方圖可知其在第3三組，則，，C錯(cuò)；眾數(shù)是115，D錯(cuò)；故選：AB．【例13】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆](méi)有確定的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值，則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：BD.【變式】1．（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知10個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，若，則（

）A．剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變B．C．剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)D．【答案】ABD【解析】設(shè)10個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)為.對(duì)A：原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)為，故A正確；對(duì)B，由題意，，.因?yàn)?，故，即，故，故，?故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，故剩?個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，又，故原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，又，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，故，?故，，故，故D正確.故選：ABD2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）大連市教育局為了解二十四中學(xué)、第八中學(xué)、育明中學(xué)三所學(xué)校的學(xué)生文學(xué)經(jīng)典名著的年閱讀量，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取了一個(gè)容量為120的樣本.其中，從二十四中學(xué)抽取容量為35的樣本，平均數(shù)為4，方差為9；從第八中學(xué)抽取容量為40的樣本，平均數(shù)為7，方差為15；從育明中學(xué)抽取容量為45的樣本，平均數(shù)為8，方差為21，據(jù)此估計(jì)，三所學(xué)校的學(xué)生文學(xué)經(jīng)典名著的年閱讀量的（

）A．均值為6.3 B．均值為6.5C．方差為17.52 D．方差為18.25【答案】BD【解析】設(shè)二十四中學(xué)、第八中學(xué)、育明中學(xué)三組數(shù)據(jù)中每個(gè)人的數(shù)據(jù)分別為,,，均值，方差，故選：BD3．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）習(xí)近平總書(shū)記2021年10月22日在深入推動(dòng)黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展座談會(huì)上的講話中講到：“要統(tǒng)籌發(fā)展和安全兩件大事，提高風(fēng)險(xiǎn)防范和應(yīng)對(duì)能力．高度重視水安全風(fēng)險(xiǎn)，大力推動(dòng)全社會(huì)節(jié)約用水，”節(jié)約用水對(duì)民生各個(gè)方面都有著積極影響，某校為開(kāi)展“節(jié)約用水一起行”活動(dòng)，對(duì)20位同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查了他們每戶近9個(gè)月每個(gè)月的月用水量的平均值y．其中某兩個(gè)月的月用水量數(shù)據(jù)分別如下：15.9017.4714.1513.0816.98

14.4614.8515.0312.7216.0216.3017.1717.6119.3915.66

17.4612.0716.2913.6716.3117.8516.9318.4913.3415.74

13.0416.6413.0015.8914.4717.6916.2014.6013.3816.07

14.4814.3212.7614.9615.56M月

N月（第九個(gè)月）且根據(jù)近9個(gè)月每個(gè)月的月用水量，得到了月平均用水量的回歸方程，其中x為月份序數(shù)．則（

）A．月份M為第五個(gè)月． B．月份N的殘差的平均值為0.54．C．月份M的80百分位數(shù)為17.65． D．預(yù)報(bào)第12個(gè)月月平均用水量為14.52．【答案】ACD【解析】由題可得，月份M的平均用水量為(15.9017.4714.1513.0816.9816.3017.1717.6119.3915.6617.8516.9318.4913.3415.7417.6916.2014.6013.3816.07)，令，解得，所以月份M為第五個(gè)月，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以月份N的殘差的平均值為，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，月份M的數(shù)據(jù)從小到大排列后的第16,17個(gè)數(shù)為，月份M的80百分位數(shù)為17.65，C正確；令，則，D正確，故選:ACD.4（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）今年春節(jié)檔兩部電影票房突破20億大關(guān)，《滿江紅》不負(fù)眾望，憑借喜劇元素和家國(guó)情懷，以25.96億票房成為檔期內(nèi)票房冠軍，另一部科幻續(xù)作《流浪地球2》則成為最高口碑電影．下圖是這兩部電影連續(xù)7天的日票房情況，則（

）A．《滿江紅》日票房平均數(shù)大于《流浪地球日票房平均數(shù)B．《滿江紅》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C．《滿江紅》日票房極差小于《流浪地球2》日票房極差D．《滿江紅》日票房的第25百分位數(shù)小于《流浪地球2》日票房的第75百分位數(shù)【答案】ABD【解析】由圖表可得《滿江紅》日票房都大于《流浪地球日票房，所以《滿江紅》日票房平均數(shù)大于《流浪地球2》日票房平均數(shù)，A正確;由圖可得《滿江紅》日票房單日票房數(shù)據(jù)波動(dòng)更大，《滿江紅》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正確.《滿江紅》日票房極差大于《流浪地球日票房極差，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，《滿江紅》日票房的第25百分位數(shù)是從小到大排序第個(gè)數(shù)，因?yàn)?，《流浪地?》日票房的第75百分位數(shù)是從小到大排序第個(gè)數(shù)，《滿江紅》日票房的第25百分位數(shù)小于《流浪地球2》日票房的第75百分位數(shù)，所以D正確.故選：ABD.考法二統(tǒng)計(jì)案例【例21】（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）新能源汽車(chē)的核心部件是動(dòng)力電池，碳酸鋰是動(dòng)力電池的主要成分．從2021年底開(kāi)始，碳酸鋰的價(jià)格一直升高，下表是2022年我國(guó)某企業(yè)前5個(gè)月購(gòu)買(mǎi)碳酸鋰價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y0.50.811.21.5若y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．y與x的樣本相關(guān)系數(shù) B．C．經(jīng)驗(yàn)回歸方程經(jīng)過(guò)點(diǎn) D．由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可預(yù)測(cè)6月份的碳酸鋰價(jià)格約為1.84【答案】BCD【解析】由題意可得，，，，，，則與的樣本相關(guān)系數(shù).故A錯(cuò)誤；由關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，則有，解得，故B正確，C正確；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可預(yù)測(cè)6月份的碳酸鋰價(jià)格約為，故D正確；故選：BCD【例22】（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）2022世界兵乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都舉辦，中國(guó)女隊(duì)?男隊(duì)分別于10月8日和10月9日奪得團(tuán)體賽冠軍，國(guó)球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮.為了解性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽的關(guān)聯(lián)性，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì).得到如圖所示的列聯(lián)表.性別觀看兵乓球比賽喜歡不喜歡男6040女2080則下列說(shuō)法正確的是（

）參考公式：，其中.附表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．喜歡觀看乒乓球比賽的觀眾中，女生的頻率為B．男生中喜歡觀看乒乓球比賽的頻率為C．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽無(wú)關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有關(guān)【答案】AD【解析】由表中數(shù)據(jù)可知，喜歡觀看乒乓球比賽的觀眾中，女生的頻率為，所以A正確；男生中喜歡觀看乒乓球比賽的頻率為，所以B錯(cuò)誤；由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計(jì)男6040100女2080100合計(jì)80120200計(jì)算，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有關(guān)，所以C錯(cuò)誤；所以在犯錯(cuò)誤率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有關(guān)，所以D正確；故選：AD【變式】1．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）某中學(xué)為了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，從本校所有學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，得到如下列聯(lián)表：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉男4010女3020a0.10.050.012.7063.8416.635經(jīng)計(jì)算，則可以推斷出（）A．該學(xué)校男生中經(jīng)常體育鍛煉的概率的估計(jì)值為B．該學(xué)校男生比女生更經(jīng)常鍛煉C．有95%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異D．有99%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異【答案】BC【解析】對(duì)選項(xiàng)A：該學(xué)校男生中經(jīng)常體育鍛煉的概率的估計(jì)值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：經(jīng)常體育鍛煉的概率的估計(jì)值男生為，女生為，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C：，故有95%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D：,故沒(méi)有99%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，故D錯(cuò)誤.故選：BC2．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）下列說(shuō)法正確的有（）A．已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，，，則B．線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱C．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高D．根據(jù)分類(lèi)變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)（），沒(méi)有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即可認(rèn)為與獨(dú)立【答案】ACD【解析】已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，，，則，因此A正確；線性相關(guān)系數(shù)的范圍在到之間，有正有負(fù)，相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值的大小越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，因此B錯(cuò)誤；在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高，因此C正確；由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，沒(méi)有充分證據(jù)推斷原假設(shè)不成立，即認(rèn)為與獨(dú)立，因此D正確.故選：ACD.3．（2023·湖北·荊門(mén)市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）某學(xué)校一同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y1720252835經(jīng)過(guò)擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則（

）A．樣本中心點(diǎn)為 B．C．，殘差為 D．若去掉樣本點(diǎn)，則樣本的相關(guān)系數(shù)r增大【答案】ABC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以樣本中心點(diǎn)為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由回歸直線必過(guò)樣本中心可得：解得：，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B項(xiàng)知，，令，則，所以殘差為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點(diǎn)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.4（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃ǘ噙x）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān).為了建立茶水溫度隨時(shí)間變化的回歸模型，小明每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度，得到若干組數(shù)據(jù)，，…，（其中，），繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.小明選擇了如下2個(gè)回歸模型來(lái)擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況，回歸模型一：；回歸模型二：，下列說(shuō)法正確的是（

）.A．茶水溫度與時(shí)間這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)B．由于水溫開(kāi)始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況C．若選擇回歸模型二，利用最小二乘法求得到的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，通過(guò)回歸模型二計(jì)算得，用溫度計(jì)測(cè)得實(shí)際茶水溫度為65.2，則殘差為【答案】AB【解析】由散點(diǎn)圖可知隨時(shí)間增加，溫度逐漸降低，且變化趨勢(shì)趨于平緩，故為負(fù)相關(guān)且模型二擬合更好，即A、B正確；根據(jù)非線性回歸模型的擬合方法，先令，則，此時(shí)擬合為線性回歸方程，對(duì)應(yīng)的回歸直線過(guò)點(diǎn)，原曲線不一定經(jīng)過(guò)，故C錯(cuò)誤；殘差為真實(shí)值減估計(jì)值，即為65.265.1=0.1，故D錯(cuò)誤.故選：AB.考法三正態(tài)分布【例31】（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若隨機(jī)變量，則有如下結(jié)論：（，，）,高三（1）班有40名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為120，方差為100，理論上說(shuō)在130分以上人數(shù)約為（

）A．19 B．12 C．6 D．5【答案】C【解析】∵數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，，∴，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性知：理論上說(shuō)在130分以上的概率為，∴理論上說(shuō)在130分以上人數(shù)約為.故選：C．【例32】（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。喝绻星抑挥幸粋€(gè)是假命題，那么該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】因?yàn)椤⒕葍r(jià)于，由題意可得：乙、丙均為真命題，且，對(duì)于甲：因?yàn)?，故甲為真命題；對(duì)于?。阂?yàn)椋识榧倜}；故選：D.【變式】1．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考一模）（多選）已知變量服從正態(tài)分布，當(dāng)從小變大時(shí)，則（

）A．變大 B．變小C．正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)上移 D．正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)下移【答案】BD【解析】當(dāng)變大時(shí)，方差變大，數(shù)據(jù)離散程度變大，所以變小，故B正確，A錯(cuò)誤；且正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)下移，故C錯(cuò)誤，D正確．故選:BD．2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知某果園的每棵果樹(shù)生長(zhǎng)的果實(shí)個(gè)數(shù)為X，且X服從正態(tài)分布，X小于70的概率為0.2，從該果園隨機(jī)選取10棵果樹(shù)，其中果實(shí)個(gè)數(shù)在的果樹(shù)棵數(shù)記作隨機(jī)變量Y，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意，X服從正態(tài)分布，X小于70的概率為0.2，從該果園隨機(jī)選取10棵果樹(shù)，∴，∴，故選項(xiàng)A正確;由題意可知，∴，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤：∵，∴，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：AD．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)可知，服從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，服從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布.事件“”的概率僅與正數(shù)有關(guān)，且越大，該事件的概率越大，因此：和分別等價(jià)于和，故后者的概率更大，A正確，B錯(cuò)誤；和分別等價(jià)于和，兩者概率相同，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；故選：A.4．（2023·吉林白山·統(tǒng)考二模）（多選）裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．（附：若，則，，）A．甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在的概率約為0.7685B．甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中C．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過(guò)5，則乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大D．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為，則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率約為乙生產(chǎn)線的2倍【答案】BD【解析】因?yàn)椋?，．因?yàn)椋?，．因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中，故B正確．因?yàn)?，，所以，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大，故C錯(cuò)誤．因?yàn)椋?，所以D正確．故選：BD.考法四條件概率與全概率【例41】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中，準(zhǔn)備從①②③④⑤5個(gè)項(xiàng)目中分別各自隨機(jī)選擇其中一項(xiàng)，記事件：甲和乙選擇的活動(dòng)各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，，所以，故選：B.【例42】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知有兩箱書(shū)，第一箱中有3本故事書(shū)，2本科技書(shū)；第二箱中有2本故事書(shū)，3本科技書(shū)．隨機(jī)選取一箱，再?gòu)脑撓渲须S機(jī)取書(shū)兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書(shū)的條件下，第二次取到的也是科技書(shū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記事件“第一箱中取書(shū)”，事件“從第二箱中取書(shū)”．事件“第次從箱中取到的書(shū)是科技書(shū)”，,則由題意知，，,,所以故選：C【變式】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）湖南第二屆旅游發(fā)展大會(huì)于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛(ài)郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地，王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，甲，乙隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，事件A含有的基本事件數(shù)是，則，事件含有的基本事件數(shù)為，則,所以.故選：B2．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“狼來(lái)了”的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽(tīng)說(shuō)過(guò)：小孩第一次喊“狼來(lái)了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有狼；第二次喊“狼來(lái)了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒(méi)有狼；第三次狼真的來(lái)了，但是這個(gè)小孩再喊狼來(lái)了就沒(méi)人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠(chéng)實(shí)的，則他出于某種特殊的原因說(shuō)謊的概率為；小孩是不誠(chéng)實(shí)的，則他說(shuō)謊的概率是．最初人們不知道這個(gè)小孩誠(chéng)實(shí)與否，所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠(chéng)實(shí)的概率是．已知第一次他說(shuō)謊了，那么他是誠(chéng)實(shí)的小孩的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)事件表示“小孩誠(chéng)實(shí)”，事件表示“小孩說(shuō)謊”，則，，，，則，，故，故.故選：D3．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）算盤(pán)是我國(guó)一類(lèi)重要的計(jì)算工具．下圖是一把算盤(pán)的初始狀態(tài)，自右向左前四位分別表示個(gè)位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（簡(jiǎn)稱(chēng)上珠）代表5，下面一粒珠子（簡(jiǎn)稱(chēng)下珠）代表1，即五粒下珠的代表數(shù)值等于同組一粒上珠的代表數(shù)值，例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠至梁上，十位未撥動(dòng)，百位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字105．現(xiàn)將算盤(pán)的千位撥動(dòng)一粒珠子至梁上，個(gè)位、十位、百位至多撥動(dòng)一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動(dòng)．設(shè)事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】千位有1、5兩種選擇，百位、十位、個(gè)位有0、1、5三種選擇，事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，要使得表示的四位數(shù)為偶數(shù)，則末位應(yīng)該是0，可得，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，要使得表示的四位數(shù)為偶數(shù)且四位數(shù)大于5050，則千位是5，百位應(yīng)該是1或5，個(gè)位是0，可得，故.故選：A考法五獨(dú)立事件與互斥事件【例51】（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè)）袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球【答案】C【解析】對(duì)于A，至少有一個(gè)白球和都是白球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A不是；對(duì)于B，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，B不是；對(duì)于C，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，C是；對(duì)于D，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，D不是.故選：C【例52】（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，則（

）A．A與互斥 B．與相互獨(dú)立C． D．A與互斥【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：第一次擲出點(diǎn)數(shù)為3，第二次擲出點(diǎn)數(shù)為3，滿足事件A，也滿足事件B,因此A與能夠同時(shí)發(fā)生，所以A與不互斥，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，，，所以，所以與相互獨(dú)立，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：第一次擲出點(diǎn)數(shù)為3，第二次擲出點(diǎn)數(shù)為3，滿足事件A，也滿足事件C,因此A與C能夠同時(shí)發(fā)生，所以A與C不互斥，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：B.【變式】1．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件【答案】B【解析】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录?，為必然事件，所以事?與事件2互為對(duì)立事件，B正確；因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录?，不為必然事件，所以事?與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；故選：B.2．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國(guó)足球也需要重視足球教育．某市為提升學(xué)生的足球水平，特地在當(dāng)?shù)剡x拔出幾所學(xué)校作為足球特色學(xué)校，開(kāi)設(shè)了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類(lèi)足球體驗(yàn)課程．甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門(mén)課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門(mén)相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇‘5人制’課程”，則（

）A．A與為對(duì)立事件 B．A與互斥 C．A與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】C【解析】依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形：①有一門(mén)相同，②兩門(mén)都相同，③兩門(mén)都不相同，故A與互斥不對(duì)立，A錯(cuò)誤；當(dāng)甲乙兩人均未選擇“5人制”課程時(shí)，兩人可能選的課程有一門(mén)相同，A與不互斥，B錯(cuò)誤；所以，，，且，所以，，即A與相互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立，C正確，D錯(cuò)誤，故選：C．3．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，“A，B，C兩兩獨(dú)立”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【解析】一方面，考慮含有等可能的樣本點(diǎn)，.則，故兩兩獨(dú)立，但，故此時(shí)，不成立.另一方面，考慮含有等可能的樣本點(diǎn)，.則，故不獨(dú)立，也即兩兩獨(dú)立不成立.綜上，“兩兩獨(dú)立”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.考法六概率的性質(zhì)【例61】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）下列有關(guān)事件的說(shuō)法正確的是（

）A．若，則事件A，B為對(duì)立事件B．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大C．若A，B為互斥事件，則D．若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則【答案】C【解析】對(duì)于A，若在不同試驗(yàn)下，雖然有，但事件和不對(duì)立．若在同一試驗(yàn)下，說(shuō)明事件和對(duì)立．所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若事件和都為不可能事件，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，互斥，若對(duì)立，則，若不對(duì)立，則，C正確；對(duì)于D，若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則，則D錯(cuò)誤，故選：C．【例62】（2023·吉林·統(tǒng)考二模）對(duì)于事件A與事件B，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P（A）+P（B）=1B．若事件A與事件B相互獨(dú)立，則P（AB）=P（A）P（B）C．若P（A）+P（B）=1，則事件A與事件B互為對(duì)立事件D．若P（AB）=P（A）P（B），則事件A與事件B相互獨(dú)立【答案】C【解析】于A，事件A和事件B為對(duì)立事件，則A，B中必然有一個(gè)發(fā)生，，正確；對(duì)于B，根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)知，正確；對(duì)于C，由，并不能得出A與B是對(duì)立事件，舉例說(shuō)有a，b，c，d4個(gè)小球，選中每個(gè)小球的概率是相同的，事件A表示選中a，b兩球，則，事件B表示選中b，c兩球，則，，但A，B不是對(duì)立事件，錯(cuò)誤；、對(duì)于D，由獨(dú)立事件的性質(zhì)知：正確；故選：C.【例63】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）下列結(jié)論不正確的是（

）A．若事件與互斥，則B．若事件與相互獨(dú)立，則C．如果分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么D．若隨機(jī)變量的方差，則【答案】A【解析】由已知，選項(xiàng)A，若事件與互斥，則，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若事件與相互獨(dú)立，則，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，若分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，若隨機(jī)變量的方差，則，故該選項(xiàng)正確；故選：A.【變式】1．（2023·河南·統(tǒng)考三模）設(shè)，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且發(fā)生必定發(fā)生，，，給出下列各式，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且發(fā)生必定發(fā)生，知：，即，，所以，，，A、B、D錯(cuò)，C對(duì)；故選：C2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知事件A，B，C的概率均不為0，則的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，由，只能得到，并不能得到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于不能確定，，是否相互獨(dú)立，若，，相互獨(dú)立，則，，則由可得，故由無(wú)法確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，由，只能得到，由于不能確定，，是否相互獨(dú)立，故無(wú)法確定，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，又，所以，故D正確；故選：D.3．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知事件滿足，，則（

）A．若，則B．若與互斥，則C．若與相互獨(dú)立，則D．若，則與不相互獨(dú)立【答案】B【解析】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若與互斥，則，所以B正確；對(duì)于C，若與相互獨(dú)立，可得與相互獨(dú)立，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可得，所以，所以，所以與相互獨(dú)立，所以D錯(cuò)誤.故選：B.考法七概率最值【例7】（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，擊中奇數(shù)次為事件，則（

）A．若，則取最大值時(shí)B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，因?yàn)槿∽畲笾?，所以，即，即，解得，因?yàn)榍遥?，即時(shí)概率最大．故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C、D，，，，當(dāng)時(shí)，為正項(xiàng)且單調(diào)遞增的數(shù)列，所以隨著的增大而增大，故C正確；當(dāng)時(shí)，，為正負(fù)交替的擺動(dòng)數(shù)列，所以不會(huì)隨著的增大而減小，故D不正確；故選：C.【變式】1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大【答案】D【解析】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán)，記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠椋瑒t此時(shí)連勝兩盤(pán)的概率為則；記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為，則記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為則則即，，則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D2．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）2023年1月至4月，曲靖市轄區(qū)內(nèi)長(zhǎng)期沒(méi)有下雨，4月份處于嚴(yán)重干旱狀況，廣大市民必須加強(qiáng)節(jié)約用水意識(shí)，家家戶戶都要節(jié)約用水.為了督促市民節(jié)約用水，曲靖市水務(wù)投資公司對(duì)居民生活用水實(shí)行階梯水價(jià)制度進(jìn)行收費(fèi)，其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：一戶居民每月用水量不超過(guò)15噸時(shí)，收費(fèi)單價(jià)為3.5元/噸；超過(guò)15噸但不超過(guò)20噸時(shí)，超出15噸部分的收費(fèi)單價(jià)為4.75元/噸；超過(guò)20噸時(shí)屬于嚴(yán)重超標(biāo)，超出20噸部分的收費(fèi)單價(jià)為6元/噸.某學(xué)生社團(tuán)對(duì)某生活區(qū)的住戶進(jìn)行用水量調(diào)查，該生活區(qū)的某單元內(nèi)居住著3戶人家，每戶月用水量嚴(yán)重超標(biāo)的概率均為且相互獨(dú)立，該單元有至少兩戶人家月用水量嚴(yán)重超標(biāo)的概率為，當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)事件為：該單元有2戶人家月用水量嚴(yán)重超標(biāo)，事件為：該單元有3戶人家月用水量嚴(yán)重超標(biāo)，則，即，將各選項(xiàng)代入驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，唯有滿足要求，故A正確；或者，令，整理為：，所以或，因?yàn)?，所?故選：A.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)為樣本空間，若是一組兩兩互斥的事件，，則對(duì)任意的事件，有．若甲盒中有個(gè)紅球、個(gè)白球、個(gè)黑球，乙盒中有個(gè)紅球、個(gè)白球、個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，“從乙盒中取出的球是紅球”，若，則的最大值為．【答案】7【解析】設(shè)“從甲盒里取出的是紅球”，“從甲盒里取出的是白球”，“從甲盒里取出的是黑球”，故根據(jù)全概率公式可得，解得，所以的最大值為．故答案為：74．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球．采取不放回摸球，從中隨機(jī)摸出22個(gè)球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．當(dāng)最大時(shí)，．【答案】17.8/【解析】不放回的摸球，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果不獨(dú)立，為超幾何分布，最大時(shí)，即最大，超幾何分布最大項(xiàng)問(wèn)題，利用比值求最大項(xiàng)設(shè)則令故當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格增加，當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格下降，即時(shí)取最大值，此題中，根據(jù)超幾何分布的期望公式可得，故答案為：17.8考法八分布列中的期望與方差【例81】（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)減小時(shí)，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】C【解析】根據(jù)題意可得，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以先減小后增大.故選：C.【例82】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如下表，且，則（

）02A．10 B．15 C．40 D．45【答案】D【解析】由題意得，得，所以，解得，所以，所以故選：D.【變式】1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X的分布列為（

）Xt6P0.30.20.20.3若t在內(nèi)變化，當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最小值時(shí)，（

）A． B． C．0.15 D．0.25【答案】B【解析】，故當(dāng)時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望取得最小值．故選：B2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）若一組樣本數(shù)據(jù)的期望和方差分別為，則數(shù)據(jù)的期望和方差分別為（

）A．3,1 B．11,1 C． D．【答案】B【解析】由原樣本數(shù)據(jù)集中，而新數(shù)據(jù)集為，所以新數(shù)據(jù)集中，.故選：B3．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第五中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）、兩組各3人獨(dú)立的破譯某密碼，組每個(gè)人譯出該密碼的概率均為，組每個(gè)人譯出該密碼的概率均為，記、兩組中譯出密碼的人數(shù)分別為、，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由題意可知：服從二項(xiàng)分布，所以.同理：服從二項(xiàng)分布，所以.因?yàn)?，所以，所?對(duì)于二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸，所以在上函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有，即.故選：B考法九圖表信息讀取【例9】（2023·廣東深圳·?？级＃ǘ噙x）光明學(xué)校組建了演講?舞蹈?航模?合唱?機(jī)器人五個(gè)社團(tuán)，全校所有學(xué)生每人都參加且只參加其中一個(gè)社團(tuán)，校團(tuán)委在全校學(xué)生中隨機(jī)選取一部分學(xué)生（這部分學(xué)生人數(shù)少于全校學(xué)生人數(shù)）進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖：則（

）A．選取的這部分學(xué)生的總?cè)藬?shù)為500人B．合唱社團(tuán)的人數(shù)占樣本總量的C．選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為78人D．選取的學(xué)生中參加合唱社團(tuán)的人數(shù)比參加機(jī)器人社團(tuán)人數(shù)多125【答案】ABD【解析】由兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表可得參加演講的人數(shù)為50，占選取的學(xué)生的總數(shù)的10所以選取的總?cè)藬?shù)為人，故選項(xiàng)A正確.合唱社團(tuán)的人數(shù)為200人，則合唱社團(tuán)的人數(shù)占樣本總量的，故選B正確.則選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的人數(shù)占樣本總量的所以選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為人，故選項(xiàng)C不正確.選取的學(xué)生中參加合唱社團(tuán)的人數(shù)為200，參加機(jī)器人社團(tuán)人數(shù)為75人，所以選取的學(xué)生中參加合唱社團(tuán)的人數(shù)比參加機(jī)器人社團(tuán)人數(shù)多125，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【變式】1．（2023·海南·海南中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）為了研究某城市甲?乙兩個(gè)智能專(zhuān)賣(mài)店的銷(xiāo)售狀況，統(tǒng)計(jì)了2023年4月到9月甲?乙兩店每月的營(yíng)業(yè)額（單位：萬(wàn)元），得到如下的折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．根據(jù)甲店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，該店月?tīng)I(yíng)業(yè)額的平均值在內(nèi)B．根據(jù)乙店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，該店月?tīng)I(yíng)業(yè)額總體呈上升趨勢(shì)C．根據(jù)甲?乙兩店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，乙店的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差比甲店小D．根據(jù)甲?乙兩店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，月份的總營(yíng)業(yè)額甲店比乙店少【答案】ABD【解析】對(duì)于A，甲店月?tīng)I(yíng)業(yè)額的平均值為，，所以A正確；對(duì)于B，根據(jù)乙店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知乙店每月的營(yíng)業(yè)額逐月變大，所以總體呈上升趨勢(shì)，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)甲?乙兩店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知甲店的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差為，乙店的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差為，乙店的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差比甲店的大，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由營(yíng)業(yè)額折線圖可知，甲店的月份的總營(yíng)業(yè)額為，乙店的月份的總營(yíng)業(yè)額為，，所以D正確.故選：ABD2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）（多選）某公司經(jīng)營(yíng)五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對(duì)市場(chǎng)變化，在五年前進(jìn)行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤(rùn)不斷增長(zhǎng)，今年總利潤(rùn)比五年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)與總利潤(rùn)的占比如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量小于雜志B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)有所下降C．調(diào)整后試卷的利潤(rùn)增加不到一倍D．調(diào)整后圖書(shū)的利潤(rùn)增長(zhǎng)了一倍以上【答案】ABC【解析】設(shè)調(diào)整前的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)的總和為，則調(diào)整后的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)的總和為.對(duì)于選項(xiàng)A，調(diào)整前傳媒的利潤(rùn)為，雜志的利潤(rùn)為，調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)為，雜志的利潤(rùn)為，則調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量為，雜志的利潤(rùn)增量為，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，調(diào)整前房地產(chǎn)的利潤(rùn)為，調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)為，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，調(diào)整前試卷的利潤(rùn)為，調(diào)整后試卷的利潤(rùn)為，且，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，調(diào)整前圖書(shū)的利潤(rùn)為，調(diào)整后圖書(shū)的利潤(rùn)為，且，故選項(xiàng)D正確.故選：ABC.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）某地環(huán)保部門(mén)公布了該地兩個(gè)景區(qū)2016年至2022年各年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖，則由該圖得出的下列結(jié)論中正確的是（

）A．景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254B．景區(qū)這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的第80百分位數(shù)為280C．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大D．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)大【答案】AC【解析】由圖可得：景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)排序得：203，217，254，254，293，301，313；景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)排序得：255，262，262，266，280，283，293；對(duì)于選項(xiàng)A：景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則第80百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)，為283，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由圖可知：景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動(dòng)比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，所以景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均值，景區(qū)B的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均值，因?yàn)?，即，所以這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)小，故D錯(cuò)誤；故選：AC.考法十概率與其他知識(shí)綜合【例101】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知，從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.【答案】/【解析】函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得或.，，.因?yàn)椋?即從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.故答案為：【例102】（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┨拼蒲缟系闹d游戲“擊鼓傳花”，也稱(chēng)傳彩球．游戲規(guī)則為：鼓響時(shí)，眾人開(kāi)始依次傳花，至鼓停為止，此時(shí)花在誰(shuí)手中，誰(shuí)就上臺(tái)表演節(jié)目．甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花，鼓響時(shí)，第1次由甲將花傳出，每次傳花時(shí)，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)過(guò)6次傳遞后，花又在甲手中的概率為．【答案】【解析】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，.則，得，.一次傳球后，花不在甲手上，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.即，所以．故答案為：【變式】1．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）半圓弧上有包括直徑端點(diǎn)在內(nèi)的5個(gè)點(diǎn)，從中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，則以這3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是鈍角三角形的概率為.【答案】/【解析】若3個(gè)點(diǎn)中包含直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角，則此時(shí)為直角三角形，不合題意，若3個(gè)點(diǎn)中，只有1個(gè)為直徑的端點(diǎn)，此時(shí)有種情況，若3點(diǎn)沒(méi)有點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)，則此時(shí)只有1種情況，綜上共有7種情況滿足題意，而總數(shù)共有種，則以這3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是鈍角三角形的概率為.故答案為：.2．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若從集合中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)的概率是．【答案】【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，的最小值為．由，得，即，因?yàn)?，所以．而，?dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)分別為3，3，2；當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)分別為3，2，2；當(dāng)時(shí)，方程，的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)均為2．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)，故所求概率為．故答案為：3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）“康威圓定理”是英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰?康威引以為豪的研究成果之一，定理的內(nèi)容是：如圖，的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c（即，，）．延長(zhǎng)線段SR至點(diǎn)A，使得，以此類(lèi)推得到如圖所示的點(diǎn)B，C，D，E，F(xiàn)，那么這六點(diǎn)共圓，此圓稱(chēng)為康威圓．若，，，往此康威圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為．【答案】【解析】由中，，，則，由余弦定理得，得，所以，故為直角三角形，其面積為6，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，圓心為O，則，即，由已知，所以O(shè)也為此康威圓的圓心，設(shè)康威圓半徑為R，結(jié)合圖及圓的性質(zhì)知：，故此康威圓面積為故往此康威圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為.故答案為：一、單選題1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（

）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】志愿者的總?cè)藬?shù)為＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36＝18，有療效的人數(shù)為18－6＝12．故選：B.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【解析】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).故選:B.3．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）一個(gè)不透明的袋中裝有4個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，事件A：“這3個(gè)球的顏色各不相同”，事件B：“這3個(gè)球中至少有1個(gè)黑球”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，，所以.故選：D.4．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）有張獎(jiǎng)券，其中張可以中獎(jiǎng)，現(xiàn)有個(gè)人從中不放回地依次各隨機(jī)抽取一張，設(shè)每張獎(jiǎng)券被抽到的可能性相同，記事件“第個(gè)人抽中中獎(jiǎng)券”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與互斥 B．C． D．【答案】C【解析】事件與可以同時(shí)發(fā)生,根據(jù)互斥事件的定義,A錯(cuò)誤;由全概率公式得,故B錯(cuò)誤;由概率的乘法公式得,故C正確;根據(jù)題意,所以,故D錯(cuò)誤.故選:C.5．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）甲?乙兩人組隊(duì)去參加乒乓球比賽，每輪比賽甲?乙各比賽一場(chǎng)，已知每輪比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，在每輪比賽中，甲和乙獲勝與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲?乙兩人在兩輪比賽中共勝三次的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲乙共勝3次有如下兩種情況：甲勝1次，乙勝2次，其概率為，甲勝2次，乙勝1次，其概率為，故甲乙兩人在兩輪比賽中共勝三次的概率為.故選：B6．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）2022年卡塔爾世界杯上，32支球隊(duì)分成8個(gè)小組，每個(gè)小組的前兩名才能出線，晉級(jí)到?jīng)Q賽．某參賽隊(duì)在開(kāi)賽前預(yù)測(cè)：本隊(duì)獲得小組第一的概率為0.6，獲得小組第二的概率為0.3；若獲得小組第一，則決賽獲勝的概率為0.9，若獲得小組第二，則決賽獲勝的概率為0.3．那么在已知該隊(duì)小組出線的條件下，其決賽獲勝的概率為（

）A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9【答案】C【解析】設(shè)該隊(duì)小組出線為事件A，該隊(duì)決賽獲勝為事件B，則，，所以．故選：C.7．（2023·四川廣安·四川省廣安友誼中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)），兩名學(xué)生均打算只去甲、乙兩個(gè)城市中的一個(gè)上大學(xué)，且兩人去哪個(gè)城市互不影響，若去甲城市的概率為，去甲城市的概率為，則，不去同一城市上大學(xué)的概率為（

）A．0.3 B．0.56 C．0.54 D．0.7【答案】B【解析】由題意知：去甲城市的概率為，去甲城市的概率為，即去乙城市的概率為0.4，去乙城市的概率為0.8，所以，去同一城市上大學(xué)的概率，所以則，不去同一城市上大學(xué)的概率，故選：B.8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C為互斥事件C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，則有不同的安排方法，事件“甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有種方法；若跳高比賽安排1人，則有種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有種，則，同理，若安排甲、乙同時(shí)參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有種不同的安排方法，所以，因?yàn)?，事件A與B不相互獨(dú)立故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱(chēng)為互斥事件，事件A與C可以同時(shí)發(fā)生，故事件A與C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在安排甲參加跳高比賽的同時(shí)安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有種，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C9．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)部分大學(xué)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)公費(fèi)師范生，畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，則（

）A．甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生的概率為B．甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為C．每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為D．乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為【答案】C【解析】將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，共有中分法；對(duì)于A，甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生，從5名男大學(xué)生選3人分到甲學(xué)校，再將剩余的6人平均分到乙、丙學(xué)校，共有種分法，故甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生的概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的情況包括恰有兩女大學(xué)生和恰有三女大學(xué)生，共有種分法，故甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，每所學(xué)校都有男大學(xué)生，則男生的分配情況為將男生分為3組：人數(shù)為或，當(dāng)男生人數(shù)為時(shí)，將4名女生平均分為2組，分到男生人數(shù)為1人的兩組，再分到3所學(xué)校，此時(shí)共有種分法；當(dāng)男生人數(shù)為時(shí)，將4名女生按人數(shù)分為3組，人數(shù)的2組分到男生人數(shù)為的兩組，2名女生的一組分到男生1人的那一組，再分到3所學(xué)校，此時(shí)共有種分法；故每所學(xué)校都有男大學(xué)生的分法有種，則每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為，C正確；對(duì)于D，乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生共有種分法，乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生的分法有種，故乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為，D錯(cuò)誤，故選：C10．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某年級(jí)組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)社團(tuán)，該年級(jí)共有600名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己的興趣愛(ài)好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加合唱社團(tuán)的同學(xué)有75名，參加脫口秀社團(tuán)的有125名，則該年級(jí)（

）A．參加社團(tuán)的同學(xué)的總?cè)藬?shù)為600B．參加舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的15%C．參加朗誦社團(tuán)的人數(shù)比參加太極拳社團(tuán)的多120人D．從參加社團(tuán)的同學(xué)中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團(tuán)的概率為0.35【答案】D【解析】A選項(xiàng)，，故參加社團(tuán)的同學(xué)的總?cè)藬?shù)為500，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，參加脫口秀社團(tuán)的有125名，故參加脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，所以參加舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，參加朗誦社團(tuán)的人數(shù)為，參加太極拳社團(tuán)的人數(shù)為，故參加朗誦社團(tuán)的人數(shù)比參加太極拳社團(tuán)的多人，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，從參加社團(tuán)的同學(xué)中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團(tuán)的概率為，即0.35，D正確.故選：D11．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知集合，若從U的所有子集中，等可能地抽取滿足條件“，”和“若，則”的兩個(gè)非空集合A，B，則集合A中至少有三個(gè)元素的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，由，則可得不為空集，且可將中10個(gè)數(shù)字分為5組，分別為2或20，4或18，6或16，8或14，10或12，且每組數(shù)中的一個(gè)數(shù)如果在集合中，另一個(gè)必在集合中，所以集合中元素的個(gè)數(shù)小于等于集合中元素的個(gè)數(shù)，所以集合中元素的個(gè)數(shù)可能為1，2，3，4，5，所以集合的可能的個(gè)數(shù)為，所以.故選：C.12．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）甲箱中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)取兩個(gè)球放入乙箱，然后再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)球．假設(shè)事件“從乙箱中取出的兩球都是白球”，“從乙箱中取出的兩球都是黑球”，“從乙箱中取出的兩球一個(gè)是白球一個(gè)是黑球”，其對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)白球，可得，當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)白球，可得，所以；當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)黑球，可得，當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)黑球，可得，所以；當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鲆话滓缓谇颍傻?，?dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鲆话滓缓谇?，可得，所以，綜上可得，.故選：C.13．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）一個(gè)人連續(xù)射擊次，則下列各事件關(guān)系中，說(shuō)法正確的是（

）A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件【答案】D【解析】一個(gè)人連續(xù)射擊次，其可能結(jié)果為擊中次，擊中次，擊中次，其中“至少一次擊中”包括擊中一次和擊中兩次，事件“兩次均擊中”包含于事件“至少一次擊中”，故A錯(cuò)誤；事件“第一次擊中”包含第一次擊中且第二次沒(méi)有擊中，或第一、二次都擊中，事件“第二次擊中”包含第二次擊中且第一次沒(méi)有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯(cuò)誤；事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”可以同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤；事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件，故D正確；故選：D14．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）國(guó)家于2021年8月20日表決通過(guò)了關(guān)于修改人口與計(jì)劃生育法的決定，修改后的人口計(jì)生法規(guī)定，國(guó)家提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對(duì)夫妻可以生育三個(gè)子女，該政策被稱(chēng)為三孩政策.某個(gè)家庭積極響應(yīng)該政策，一共生育了三個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個(gè)男孩；事件：該家庭最多有一個(gè)女孩.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對(duì)立 B．事件與事件互斥且對(duì)立C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【解析】有三個(gè)小孩的家庭的樣本空間可記為：={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，對(duì)于A，,且，所以事件B與事件C互斥且對(duì)立，故A不正確；對(duì)于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件與事件不互斥，故B不正確；對(duì)于C，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有0個(gè)樣本點(diǎn)，，顯然有，即事件與事件不相互獨(dú)立，故C不正確；對(duì)于D，事件有6個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有3個(gè)樣本點(diǎn)，，顯然有，即事件與事件相互獨(dú)立，故D正確；故選：D15．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對(duì)立C．C與D互斥 D．A與C相互獨(dú)立【答案】D【解析】由，，，即，故A、B互斥，A錯(cuò)誤；由，A、D互斥且對(duì)立，B錯(cuò)誤；又，，則，C與D不互斥，C錯(cuò)誤；由，，，所以，即A與C相互獨(dú)立，D正確.故選：D16．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.則B．“與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的充分不必要條件C．已知隨機(jī)變量的方差為，則D．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則【答案】D【解析】對(duì)于A，已知隨機(jī)變量，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，“與是互斥事件”并不能推出“與互為對(duì)立事件”，相反“與互為對(duì)立事件”必能推出“與是互斥事件”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)方差的計(jì)算公式，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，隨機(jī)變量，，所以，所以，故D正確；故選：D.17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)古典概型的樣本空間和事件，如圖所示.其中則事件與事件（

）A．是互斥事件，不是獨(dú)立事件B．不是互斥事件，是獨(dú)立事件C．既是互斥事件，也是獨(dú)立事件D．既不是互斥事件，也不是獨(dú)立事件【答案】B【解析】因?yàn)椋?，，，所以事件與事件不是互斥事件，所以，，所以，所以事件與事件是獨(dú)立事件.故選：B.二、多選題19．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD20．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）口袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的白球和黑球各2個(gè)，從中不放回的依次取出2個(gè)球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的兩球不同色”，則（

）A． B．與互斥C．與相互獨(dú)立 D．與互為對(duì)立【答案】ACD【解析】設(shè)2個(gè)白球?yàn)椋?個(gè)黑球?yàn)?，則樣本空間為：，共12個(gè)基本事件.事件，共4個(gè)基本事件；事件，共6個(gè)基本事件；事件，共6個(gè)基本事件；事件，共8個(gè)基本事件，對(duì)于A，由，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以事件B與C不互斥，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，，則，故事件A與B相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以事件A與D互為對(duì)立，故D正確．故選：ACD．21．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃┘t、黃、藍(lán)被稱(chēng)為三原色，選取其中任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色，已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)顏料各兩瓶，甲從六瓶顏料中任取兩瓶，乙再?gòu)挠嘞滤钠款伭现腥稳善?，兩人分別進(jìn)行等量調(diào)配，表示事件“甲調(diào)配出紅色”；表示事件“甲調(diào)配出綠色”；表示事件“乙調(diào)配出紫色”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與事件是獨(dú)立事件 B．事件與事件是互斥事件C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，調(diào)配出紅色需要兩瓶紅色顏料，調(diào)配出紫色需要一瓶紅色和一瓶藍(lán)色顏料，，又，，，事件與事件不是獨(dú)立事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，調(diào)配出紅色需要兩瓶紅色顏料，調(diào)配出綠色需要一瓶黃色和一瓶藍(lán)色顏料，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，事件與事件為互斥事件，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，由A知：，，D正確.故選：BCD.22．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？级＃┘住⒁覂蓚€(gè)盒子中各裝有4個(gè)相同的小球，甲盒子中小球的編號(hào)依次為1，2，3，4，乙盒子中小球的編號(hào)依次為5，6，7，8，同時(shí)從兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字．記事件為“取出的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件為“取出的數(shù)字之和等于9”，事件為“取出的數(shù)字之和大于9”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與是互斥事件 B．與是對(duì)立事件C．與不是相互獨(dú)立事件 D．與是相互獨(dú)立事件【答案】AC【解析】從兩個(gè)盒子中取出的兩個(gè)數(shù)字之和只有2種結(jié)果：偶數(shù)和奇數(shù)．而“數(shù)字之和為9”是結(jié)果為奇數(shù)的其中一種情況，所以事件與是互斥事件而不是對(duì)立事件，選項(xiàng)A正確．從兩個(gè)盒子各取1個(gè)小球，共有種結(jié)果，其中數(shù)字之和為偶數(shù)的有8種；數(shù)字之和等于9的有這4種；數(shù)字之和大于9的有這6種．所以．因?yàn)椋耘c不是對(duì)立事件，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．事件為“取出的數(shù)字之和為偶數(shù)且大于9”，其結(jié)果有4種：．所以，顯然，所以與不是相互獨(dú)立事件，選項(xiàng)C正確．因?yàn)楫?dāng)取出的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)，不可能出現(xiàn)取出的數(shù)字之和等于9這種情況，所以，而，所以與不是相互獨(dú)立事件，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC.23．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）不透明的袋中裝有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球，從袋中一次性取出2個(gè)球，記事件“兩球同色”，事件“兩球異色”，事件“至少有一紅球”，則（

）A． B．C．事件A與事件B是對(duì)立事件 D．事件A與事件B是相互獨(dú)立事件【答案】BC【解析】隨機(jī)試驗(yàn)從袋中一次性取出2個(gè)球的樣本空間含個(gè)樣本點(diǎn)，隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，所以，A錯(cuò)誤；隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，所以，B正確，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件與事件為互斥事件，又，即事件為必然事件，所以事件A與事件B是對(duì)立事件，C正確；隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，所以，隨機(jī)事件為不可能事件，所以，所以，所以事件A與事件B不是相互獨(dú)立事件，D錯(cuò)誤，故選：BC.24．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”，B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”，C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．C．事件A與C相互獨(dú)立 D．【答案】BD【解析】因?yàn)?名醫(yī)生派去三個(gè)村莊，基本事件的總數(shù)為，它們是等可能的基本事件，事件含有的基本事件個(gè)數(shù)為，所以，同理，事件含有的基本事件的個(gè)數(shù)為，，事件含有的基本事件的個(gè)數(shù)為，，，事件A與B不相互獨(dú)立,A錯(cuò)誤；，事件A與C不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；，B正確；，D正確．故選：BD．25．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考二模）某商場(chǎng)開(kāi)業(yè)期間舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知抽獎(jiǎng)箱中有30張獎(jiǎng)券，其中有5張寫(xiě)有“中獎(jiǎng)”字樣．假設(shè)抽完的獎(jiǎng)券不放回，甲抽完之后乙再抽，記表示甲中獎(jiǎng)，表示乙中獎(jiǎng)，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由題意可知，則A正確；，則B錯(cuò)誤；，則C正確；，則D錯(cuò)誤；故選：AC.26．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．從中任取3球，恰有2個(gè)白球的概率是；B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X，則；C．現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.【答案】AD【解析】對(duì)于A，從中任取3球，恰有2個(gè)白球的概率是,故A正確，對(duì)于B,從中有放回的取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X服從二項(xiàng)分布，即，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,第一次取到紅球后，第二次取球時(shí)，袋子中還有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，再次取到紅球的概率為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，有放回的取球，每次取到白球的概率為，沒(méi)有取到白球的概率為，所以取球3次沒(méi)有取到白球的概率為，.所以至少有一次取到白球的概率為，故D正確，故選：AD27．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）有兩批種子，甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80％，乙批種子10粒，能發(fā)芽的占70％，則下列說(shuō)法正確的有（

）．A．從甲批種子中任取兩粒，至少一粒能發(fā)芽的概率是B．從乙批種子中任取兩粒，至多一粒能發(fā)芽的概率是C．從甲乙兩批中各任取一粒，至少一粒能發(fā)芽的概率是D．如果將兩批種子混合后，隨機(jī)抽出一粒，能發(fā)芽的概率為【答案】ACD【解析】甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80％，乙批種子10粒，能發(fā)芽的占70％，則甲批有粒發(fā)芽，乙批有粒發(fā)芽.A：從甲批種子任取2粒，至少1粒能發(fā)芽的概率為，故A正確；B：從乙批種子任取2粒，至多1粒能發(fā)芽的概率為，故B錯(cuò)誤；C：從甲、乙批兩種種子中各取1粒，至少1粒能發(fā)芽的概率為，故C正確；D：將兩批種子混合后，隨機(jī)抽取1粒能發(fā)芽的概率為，故D正確.故選：ACD.28．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知變量，之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且變量，的數(shù)據(jù)如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）235911121073A．該回歸直線必過(guò)B．變量，之間呈正相關(guān)關(guān)系C．當(dāng)時(shí)，變量的值一定等于D．相應(yīng)于的殘差估計(jì)值為【答案】AD【解析】對(duì)于A，由表格數(shù)據(jù)得，，，所以該回歸直線必過(guò)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榛貧w直線方程為，，當(dāng)變量增加，變量相應(yīng)值減少兩個(gè)變量之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，變量的值可能為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由殘差定義知，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值為殘差，當(dāng)時(shí)，得預(yù)測(cè)值，則相應(yīng)于的殘差估計(jì)值為，故D正確.故選：AD.29．（2023·河北滄州·?？既＃┽t(yī)學(xué)上判斷體重是否超標(biāo)有一種簡(jiǎn)易方法，就是用一個(gè)人身高的厘米數(shù)減去所得差值即為該人的標(biāo)準(zhǔn)體重.比如身高的人，其標(biāo)準(zhǔn)體重為公斤，一個(gè)人實(shí)際體重超過(guò)了標(biāo)準(zhǔn)體重，我們就說(shuō)該人體重超標(biāo)了，現(xiàn)分析某班學(xué)生的身高和體重的相關(guān)性時(shí)，隨機(jī)抽測(cè)了8人的身高和體重，數(shù)據(jù)如下表所示：編號(hào)12345678身高165168170172173174175177體重5