9.3向量基本定理及坐標表示（十三大題型）

9．3向量基本定理及坐標表示課程標準學(xué)習(xí)目標（1）能解釋正交分解的含義，會舉出正交分解的實例，能分析平面向量正交分解與平面向量基本定理的內(nèi)在聯(lián)系．（2）能在平面向量坐標表示的基礎(chǔ)上，得出平面向量的和、差、數(shù)乘運算的坐標表示，并進行相關(guān)的計算．（3）能用坐標表示平面向量的數(shù)量積，會進行坐標表示下的平面向量數(shù)量積的運算；能描述兩個平面向量夾角的含義，會用坐標表示向量的模與夾角．（4）能用坐標表示向量共線的條件，并會用其判斷兩個向量是否共線；能用坐標表示向量垂直的條件，并會用其判斷兩個向量是否垂直；體會數(shù)形結(jié)合的思想．（5）在探究平面向量基本定理和坐標表示的過程中，感悟聯(lián)系的觀點，體會轉(zhuǎn)化與化歸的思想，能說出用向量法解決幾何問題的基本路徑，體會用向量語言、向量方法表述和解決問題的簡捷性．（1）理解平面向量基本定理及其意義．（2）會運用平面向量基本定理解決簡單平面幾何問題．（3）借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示．（4）會用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算．（5）能用坐標表示平面向量的數(shù)量積和兩個平面向量的夾角．（6）能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件．知識點01平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎(chǔ)．知識點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標是一一對應(yīng)的，在應(yīng)用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運算，達到解題的目的．（2）在解具體問題時，要適當?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個向量、，平面上的任何一個向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運算．【即學(xué)即練1】（2024·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，P是線段BD上一點，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三點共線，∴，∴.故選：A.知識點02平面向量的坐標表示1、正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識點詮釋：如果基底的兩個基向量、互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的（直角）坐標，記作=，x叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標．把叫做向量的坐標表示．給出了平面向量的直角坐標表示，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，為向量運算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識點詮釋：（1）由向量的坐標定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等，即且，其中，．（2）要把點的坐標與向量坐標區(qū)別開來．相等的向量的坐標是相同的，但始點、終點的坐標可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點坐標各不相同．（3）在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量．【即學(xué)即練2】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，設(shè)為一組標準正交基，用這組標準正交基分別表示向量，，，，并求出它們的坐標．【解析】由圖可知：，對應(yīng)坐標為；，對應(yīng)坐標為；，對應(yīng)坐標為；，對應(yīng)坐標為.知識點03平面向量的坐標運算1、平面向量坐標的加法、減法和數(shù)乘運算運算坐標語言加法與減法記，，實數(shù)與向量的乘積記，則2、如何進行平面向量的坐標運算在進行平面向量的坐標運算時，應(yīng)先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標運算法則進行計算．在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標．求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標．但同時注意以下幾個問題：（1）點的坐標和向量的坐標是有區(qū)別的，平面向量的坐標與該向量的起點、終點坐標有關(guān)，只有起點在原點時，平面向量的坐標與終點的坐標才相等．（2）進行平面向量坐標運算時，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關(guān)系．（3）要注意用坐標求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)．【即學(xué)即練3】（2024·山西運城·高一統(tǒng)考期末）已知，，點P是線段MN的一個三等分點且靠近點M，則點P的坐標為．【答案】【解析】由題可知，設(shè)，則，，，∴.故答案為：.知識點04平面向量平行（共線）的坐標表示1、平面向量平行（共線）的坐標表示設(shè)非零向量，則，即，或．知識點詮釋：若，則不能表示成因為分母有可能為0．2、三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知，，若則A，B，C三點共線．【即學(xué)即練4】（2024·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向量，，，若，，三點共線，則的值為（

）A．或 B．或 C．或11 D．或【答案】A【解析】由，，，得，，又，，三點共線，則，即，解得或，故選：A.知識點05向量數(shù)量積的坐標表示1、已知兩個非零向量，，2、設(shè)，則或3、如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么（平面內(nèi)兩點間的距離公式）．【即學(xué)即練5】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，且，則．【答案】1【解析】,解得，故答案為:1.題型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一課時練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；對于B：因為，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；對于C：設(shè)，即，則，所以無解，所以此兩個向量不共線，可以作為一組基底；對于D：設(shè)，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；故選：C.【變式11】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期中）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯誤；對于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯誤；對于C，，和共線，不能作為一組基底，C正確；對于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯誤.故選：C.【變式12】（2024·高一課時練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】是平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以不共線；所以和不共線，和不共線，和不共線；所以選項A,C,D都可以作為基底；B中，，所以和共線，不能作為基底．故選：B【變式13】（2024·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如果表示平面內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是（

）A．、 B．、C．、 D．、【答案】C【解析】對于A選項，設(shè)，因為、不共線，則，顯然不成立，A中的兩個向量可作一個基底；對于B選項，設(shè)，因為、不共線，則，顯然不成立，B中的兩個向量可作一個基底；對于C選項，因為，C中的兩個向量不能作一個基底；對于D選項，設(shè)，因為、不共線，則，顯然不成立，D中的兩個向量可作一個基底.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】考查兩個向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線．此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來．題型二：用基底表示向量【例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平行四邊形中，是的中點，和相交于點．記，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在平行四邊形中，和相交于點，所以，又是的中點，所以，所以，所以.故選：A【變式21】（2024·陜西·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，設(shè)，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意,故選：D．【變式22】（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學(xué)?？计谥校┰谥校瑸檫吷系闹芯€，為的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以．故選：B【方法技巧與總結(jié)】平面向量基本定理的作用以及注意點（1）根據(jù)平面向量基本定理，任何一個基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，實質(zhì)上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算．（2）基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程求出要表示的向量．題型三：平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖所示，中，AQ為邊BC的中線，，，，，其中，，，．(1)當時，用向量，表示；(2)證明：為定值．【解析】（1）當時，，因為AQ為邊BC的中線，所以，所以．（2）由（1）可知，所以．而，，，所以，即，整理可得，而，是不共線向量，所以，兩式相加可得，是定值,證畢．【變式31】（2024·海南·高一?？计谀┤鐖D，在中，是邊上的中線，為的中點．(1)用，表示；(2)用，表示．【解析】（1）因為是邊上的中線，所以.（2）因為為的中點，所以.【變式32】（2024·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點(1)以，為基底，分別表示向量，；(2)以，為基底，表示向量.【解析】（1）因為為DC中點，則，F(xiàn)為AD中點，則；（2）注意到，又為DC中點，則，F(xiàn)為AD中點，則，則，，則.【變式33】（2024·廣西欽州·高一校考期末）如圖，在中，，，BE與AD相交于點M．(1)用，表示，；(2)若，求的值．【解析】（1）因為，所以，所以．因為，所以，所以．（2）因為A，M，D三點共線，所以．因為，所以，即．因為B，M，E三點共線，所以．因為，所以．因為，所以，解得，從而，，故．【變式34】（2024·高一?？紗卧獪y試）如圖所示，已知點是的重心.(1)求；(2)若過的重心，且，，，，求證：.【解析】（1）如圖所示，延長交于點，則是的中點，∴，∵是的重心，∴，∴；（2）∵是邊的中點，∴，

又∵是的重心，∴，

∴，

而，∵、、三點共線，∴有且只有一個實數(shù)，使得，∴，∴，∵與不共線，∴且消去，得.【方法技巧與總結(jié)】若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標向量(一般需建立兩個不同的向量表達式)，再利用待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．題型四：平面向量的坐標表示【例4】（2024·全國·高一課堂例題）如圖，是夾角為120°的兩個單位向量，，且，．求在基下的坐標．【解析】如圖，作平行四邊形OBAC，則．因為，，所以，在中，，．所以，即．因此在基下的坐標為．【變式41】（2024·全國·高一課堂例題）如圖，設(shè)，，，P（x，y）是平面直角坐標系中的4個點，且，．求在基下的坐標．【解析】，分別是x軸和y軸上的單位向量，并且相互垂直，因此不共線，則，組成平面上的一組基．在軸上取與橫坐標相同的點，則與軸平行或共線．在軸上取與縱坐標相同的點，則與軸平行或共線．因此．由，的坐標可知，，因此，即在基下的坐標為．【變式42】（2024·高一課時練習(xí)）在直角坐標系中，向量、、的方向和長度如圖所示，分別求它們的坐標．【解析】根據(jù)題意，直角坐標系中，，，，,,；,,．,,；【方法技巧與總結(jié)】在表示點、向量的坐標時，可利用向量的相等、加減法運算等求坐標，也可以利用向量、點的坐標定義求坐標．題型五：平面向量加、減運算的坐標表示【例5】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，求，，的坐標．【解析】由題意，，，.【變式51】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，求，的坐標．【解析】因為，，則，.【變式52】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量、的坐標，求、的坐標．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【解析】（1）因為，，則，.（2）因為，，則，.（3）因為，，則，.（4）因為，，則，.【變式53】（2024·新疆·高一?？计谀?，求，的坐標.【解析】因為，所以..【方法技巧與總結(jié)】平面向量坐標運算的技巧（1）若已知向量的坐標，則直接應(yīng)用兩個向量和、差的運算法則進行．（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．題型六：平面向量數(shù)乘運算的坐標表示【例6】（2024·高一單元測試）已知點，()，試求當點在第三象限時，的取值范圍．【答案】【解析】設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∵點在第三象限，∴，解得，故答案為：.【變式61】（2024·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，，，若，則.【答案】【解析】根據(jù)題意，由向量的坐標表示，列出方程，求出，，即可得出結(jié)果.因為，，，若，則，解得，所以.故答案為：.【變式62】（2024·高一課時練習(xí)）已知點，，，，若，則的值為．【答案】1【解析】由題知，，，由得，∴∴∴．故答案為：1【變式63】（2024·高一單元測試）已知,若,則的坐標是【答案】【解析】設(shè)，則，，，，，∴的坐標是，故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】平面向量坐標運算的技巧（1）若已知向量的坐標，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行．（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．（3）向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行．題型七：向量共線的判定【例7】（2024·廣東佛山·高一佛山市三水區(qū)實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（

）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線【答案】D【解析】由題意可得：，則有.則A，C，D三點共線.故選：D.【變式71】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量不共線，，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，C，D三點共線C．A，B，D三點共線 D．B，C，D三點共線【答案】C【解析】因為不共線，，，，易得互不共線，所以A，B，C三點不共線，B，C，D三點不共線，故AD錯誤；又，易得不共線，則A，C，D三點不共線，故B錯誤；而，所以A，B，D三點共線，故C正確.故選：C.【變式72】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)是平面內(nèi)的一組基底，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】C【解析】A選項，設(shè)，則，無解，故三點不共線，A錯誤；B選項，設(shè)，則，無解，故三點不共線，B錯誤；C選項，，，故，故三點共線，C正確；D選項，，設(shè)，則，無解，故三點不共線，D錯誤.故選：C【方法技巧與總結(jié)】向量共線的判定應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線的坐標表示進行判斷，特別是利用向量共線的坐標表示進行判斷時，要注意坐標之間的搭配．題型八：利用向量共線的坐標表示求參數(shù)【例8】（2024·江蘇泰州·高一?？计谀┰O(shè)，為平面內(nèi)一個基底，已知向量，，，若A，B，D三點共線，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，因為A，B，D三點共線，所以有，即因為，為平面內(nèi)一個基底，所以，不是共線向量，因此有，故選：D【變式81】（2024·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，，若B，C，D三點共線，則（

）A．－16 B．16 C． D．【答案】A【解析】由題意得，，因為B，C，D三點共線，所以，則，得.故選：A.【變式82】（2024·新疆·高一八一中學(xué)校考期末）在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為A，B，C三點共線，則，，即，則，解得.故選：C【方法技巧與總結(jié)】利用向量平行的條件處理求值問題的思路（1）利用向量共線定理列方程組求解．（2）利用向量平行的坐標表達式直接求解．提醒：當兩向量中存在零向量時，無法利用坐標表示求值．題型九：定比分點坐標公式及應(yīng)用【例9】（2024·高一課時練習(xí)）已知，，點P在線段AB的延長線上，且，則點P的坐標為.【答案】【解析】點在線段的延長線上，且，，,,,．所以點P的坐標為.故答案為：.【變式91】（2024·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？计谀┮阎獌牲c，點在直線上，且滿足，則點的坐標為.【答案】或/或；【解析】若點在線段的反向延長線上，又因為，則有，設(shè)，則，所以，解得，即；若點在線段上，又因為，則有設(shè)，則，所以，解得，即；若點在線段的延長線上，又因為，則顯然不成立；故答案為:或.【變式92】（2024·高一課時練習(xí)）已知，，若點分所成的比為，則，.【答案】【解析】因為點分所成的比為，所以，因為，，，所以，，所以所以解得故答案為：；【方法技巧與總結(jié)】用有向線段的定比分點坐標公式，可以求解有向線段的定比分點坐標及定點分有向線段所成的比．事實上用這個公式，還可巧妙地用于解決其它一些問題．如用得好，會使解題過程顯得別具一格，簡捷明快，充分展現(xiàn)我們思維的獨創(chuàng)性．定比分點公式也是判定或證明兩向量是否共線、平行的有效方法．題型十：數(shù)量積的坐標運算【例10】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在平行四邊形中，，，點為線段的中點，則.【答案】【解析】，以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，，則，有，，，，，.故答案為：【變式101】（2024·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，則.【答案】【解析】，，，故答案為：.【變式102】（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在邊上，若，則的值是．【答案】2【解析】建立如圖所示的坐標系，由圖可得，，，，，即有．即，，則．故答案為：2．【變式103】（2024·吉林長春·高一長春市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，且，則m＝．【答案】【解析】因為，，所以，又因為，所以，解得.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】進行數(shù)量積運算時，要正確使用公式，并能靈活運用以下幾個關(guān)系．題型十一：平面向量的?！纠?1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量，非零向量與的夾角為，，則.【答案】【解析】因為，所以，又非零向量與的夾角為，，所以，即，所以，解得（舍去）或.故答案為：【變式111】（2024·安徽阜陽·高一校考階段練習(xí)）設(shè)平面向量，，則．【答案】【解析】，則.故答案為：.【變式112】（2024·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則．【答案】3【解析】由已知得，，，解得.故答案為：3.【變式113】（2024·上海虹口·高一上外附中?？计谀┤?，且，則的坐標為．【答案】或【解析】由，可設(shè)，則，由，得，解得，故或，故答案為：或【變式114】（2024·河南鄭州·高一河南省實驗中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，，若，則．【答案】【解析】因為，所以，解得，則，，所以，所以，故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】求向量的模的常見思路及方法（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，即，求模時，勿忘記開方．（2）或，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化．題型十二：平面向量的夾角、垂直問題【例12】（2024·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】【解析】向量，，且，的夾角為鈍角且，不共線，則,解得：且，故答案為：.【變式121】（2024·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，，，線段AE與BF相交于點G，則.【答案】【解析】如圖，不妨以A為原點，所在直線為橫軸，建立直角坐標系，過作軸于M點，由題意可得，，則，，，，，得，，所以.故答案為：.【變式122】（2024·云南昆明·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)x，，向量，，，且，，則向量與的夾角大小為．【答案】【解析】由題意得，解得，故，，則，因為，所以.故答案為：【變式123】（2024·陜西榆林·高一?？计谀┮阎蛄?(1)求；(2)設(shè)的夾角為，求的值；(3)若向量與互相垂直，求的值.【解析】（1）因為，所以；（2）的夾角為，則；（3）因為，所以，，由向量與互相垂直得，，所以，化簡得，解得.【變式124】（2024·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知向量(1)當，且時，求(2)當，，求向量與的夾角α的余弦值.【解析】（1）向量則，，由，可得，即，解得或，又，所以，則，，所以.（2）由，則，由，可得，解得，所以，，，.【方法技巧與總結(jié)】解決向量夾角問題的方法及注意事項（1）求解方法：由直接求出．（2）注意事項：利用三角函數(shù)值求的值時，應(yīng)注意角的取值范圍是．利用判斷的值時，要注意時，有兩種情況：一是是鈍角，二是為；時，也有兩種情況：一是是銳角，二是為．題型十三：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例13】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在邊長為的正方形中，是中點，則；若點在線段上運動，則的最小值是.【答案】【解析】根據(jù)題意，以為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，因為正方形的邊長為，且是中點，則，則，所以；設(shè)，其中，則，則，所以，，則，，其中，，當時，有最小值為.所以的最小值是.故答案為：30；【變式131】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，動點E和F分別在線段BC和DC上，且，，則的最小值為.【答案】【解析】由題意，，，所以，，又動點和分別在線段和上，且，，所以，解得，，當且僅當時，即時取等號，故的最小值為，故答案為：．【變式132】（2024·天津和平·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，是線段上的點，且，是線段的中點，延長交于點，設(shè)，則；若為邊長等于2的正三角形，則.【答案】/0.5【解析】由于，則，又是線段的中點，故，結(jié)合得，故；設(shè)，而，是線段的中點，故，又三點共線，故，則，故，又為邊長等于2的正三角形，則，故答案為：；【變式133】（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？计谀┰谄叫兴倪呅沃校?，若點滿足則.【答案】36【解析】由題意得，，所以.故答案為：36.【變式134】（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動點在線段上移動，則的最小值為．【答案】【解析】在中，，，，所以，又，所以，以所在直線為軸，以為原點，建立如圖所示的直角坐標系，則，，設(shè)，，所以，所以，所以當時，有最小值.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】坐標法一、單選題1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量，則（

）A．10 B．5 C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，則實數(shù)（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，即，解得.故選：B.3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，.若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，由可得，，即，整理得.又因為，所以，聯(lián)立，解得或，故，故選C.4．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】法一：用坐標表示向量由題意可知，，由得，，整理得，，所以．則A對；法二：因為向量，所以，又，所以，所以.故選：A．5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，是直線上的一點，若則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，又是直線上的一點，所以，又，所以，所以.故選：B6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，，設(shè)，，則，，因為，所以，解得，所以，即.故選：C.7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量，，若實數(shù)m，n滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，，又，所以，即，所以與的夾角為,故選：B.8．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校?？计谀┮阎沁呴L為1的正的邊上的動點，為的中點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】取AC的中點O，以O(shè)為原點，直線AC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設(shè)，，，且，時，取最小值；時，取最大值，∴的取值范圍是，故選：A.二、多選題9．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】已知，若，則，解得，A選項正確；若，則，解得，B選項正確；，，當時，有最小值，C選項錯誤；當時，，，向量與向量的夾角為，D選項錯誤.故選：AB10．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．已知，為平面內(nèi)兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底B．，則存在唯一實數(shù)，使得C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．中，，，則為等邊三角形【答案】ACD【解析】由，為平面內(nèi)兩個不共線的向量，所以設(shè)，所以，則不存在，所以與不共線，則可作為平面的一組基底，故A對；只有當時，若，則存在唯一實數(shù)，使得，故B錯；因為兩個非零向量，，設(shè)與夾角為，由，平方得，，所以，又，所以，則與共線且反向，故C對；在中，，所以，，所以，由，得，即，則為等邊三角形，故D對.故選：ACD11．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則與同向的單位向量為C．若，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為D．若，則的最小值為【答案】BD【解析】由，，A選項：，則，解得，則，，所以不存在，使，即，不共線，A選項錯誤；B選項：，則，解得，即，，，所以與同向的單位向量為，B選項正確；C選項：時，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C選項錯誤；D選項：由，得，即，所以，當且僅當，