8.5＆8.6空間中直線平面的平行與垂直

§8.5空間中直線、平面的平行文字語言圖形語言符號語言直線與直線平行基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.平行線的傳遞性直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.直線與平面平行判定定理如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.線線平行?線面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.線面平行?線線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b平面與平面平行判定定理如果一個平面內的兩條相交直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.線面平行?面面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質定理如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行面面平行?線線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b§8.6空間中直線、平面的垂直一、空間中直線、平面所成的角定義取值范圍圖示異面直線所成的角已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角．空間兩條直線所成角異面直線所成角直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角.直線與平面所成的角二面角二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.記作：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的平面角二、空間中直線、平面的距離1．直線與平面的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．2．兩個平行平面間的距離如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．三、空間中直線、平面的垂直文字語言圖形語言符號語言直線與直線垂直相交垂直a⊥b異面垂直如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直.a⊥b直線與平面垂直（一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.）判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.線線垂直?線面垂直l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行.線面垂直?線線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b平面與平面垂直（一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．）判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.線面垂直?面面垂直l⊥α，l?β?α⊥β性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.面面垂直?線線垂直α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β題型一：空間中直線、平面面平行與垂直的判定與證明【典例】1．已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【詳解】對于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯誤；對于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯誤；對于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯誤；對于D，若，則由線面平行的性質定理可知，必有，使得，又，則，因為，所以，故D正確.2．已知兩個平面，兩條直線，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若是異面直線，，，，，則【答案】D【分析】對于A，與相交、平行或；對于B，與相交或平行；對于C，與相交或平行；對于D，由面面平行的判定定理得．【詳解】兩個平面，兩條直線，對于A，若，，則與相交、平行或，故A錯誤；對于B，若，，，則與相交或平行，故B錯誤；對于C，若，，，，則與相交或平行，故C錯誤；對于D，過作平面與平面交于，如圖，∵，∴，又，，∴，∵是異面直線，，∴與相交，又∵，，∴，故D正確．3．如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直，則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤4．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】 A B C D對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯誤；對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；5．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】設正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.6．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求證：平面.【分析】（1）欲證，只需證明即可；（2）先證平面，再證平面平面；（3）取中點，連接，證明，則平面.【詳解】（Ⅰ）∵，且為的中點，∴.∵底面為矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面為矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如圖，取中點，連接.∵分別為和的中點，∴，且.∵四邊形為矩形，且為的中點，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.【方法總結】證明線線平行的方法：①利用線線平行定義證共面且無公共點；②利用基本事實4證兩線同時平行于第三條直線；③利用線面平行的性質定理把證線線平行轉化為證線面平行；④利用線面垂直的性質定理把證線線平行轉化為證線面垂直；⑤利用面面平行的性質定理把證線線平行轉化為證面面平行．7．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；(Ⅱ)由幾何體的空間結構特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點.【詳解】（Ⅰ）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（Ⅱ）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.（Ⅲ）存在點為中點時，滿足平面；理由如下:分別取的中點，連接,在三角形中，且；在菱形中，為中點，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;又平面，平面，所以平面.8．如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．【詳解】（1）由題設知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因為BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）當P為AM的中點時，MC∥平面PBD．證明如下：連結AC交BD于O．因為ABCD為矩形，所以O為AC中點．連結OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．題型二：夾角問題【典例1】在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D【方法總結】求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.【變式】1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.【答案】(1)60°；(2)90°【分析】（1）作平行線，找到A1C1與B1C所成角，再進行求解；（2）作輔助線，得到A1C1與EF所成的角，證明出垂直關系，得到所成角為90°.【詳解】（1）如圖所示，連接AC，AB1.由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴ACA1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成的角為60°.（2）如圖所示，連接BD.由（1）知ACA1C1，∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.∵EF是△ABD的中位線，∴EFBD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1與EF所成的角為90°.2.在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【典例2】正方體ABCD中，B與平面AC所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因為∥，所以與平面所成角的余弦值等價于與平面所成角的余弦值．設正方體棱長為a，易知平面且設垂足為E，所以即為所求角．由已知可得DE=，從而，所以．故選D．【變式】1.已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：設，面積為2．在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為A． B． C． D．【答案】C【分析】首先畫出長方體，利用題中條件，得到，根據，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.【詳解】在長方體中，連接，根據線面角的定義可知，因為，所以，從而求得，所以該長方體的體積為，故選C.【典例3】1．已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.2．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為【答案】AC【詳解】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側面積為，B選項錯誤；C選項，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.【變式】1.如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．（1）證明：點在平面內；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實的推論在棱上取點，使得，連接、、、，如圖1所示.在長方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點在平面內.［方法二］：如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設與相交于點O，則O為的中點．聯(lián)結，由長方體知識知，體對角線交于一點，且為它們的中點，即，則經過點O，故點在平面內．（2）在中，，即，所以．在中，，如圖6，設的中點分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．

在中，．所以，則．題型三：距離問題【典例1】如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．【詳解】（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=．連結OB．因為AB=BC=，，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】定義法作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）易知平面，從而OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以點C到平面POM的距離為．［方法二］：等積法設C到平面的距離為h，由（1）知即為P到平面的距離，且．又，在中，，則由余弦定理得，則，即，則．即點C到平面POM的距離為．［方法三］：向量法如圖，以O為原點，建立直角坐標系，設，，，，，，，．設平面的一個法向量，則，令，則，所以，點C到平面的距離為．【方法總結】求點面距方法：①定義法是解決點面距問題的首選方法，特別是題目中含有面面垂直的條件，計算簡單，是該題的最優(yōu)解；②等積法；③向量法：當題目中有較好的建系條件時．【變式】1．已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為．【答案】.【詳解】作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，，．，，，為平分線，，又，．2．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為，求A到平面的距離.【答案】【分析】由等體積法運算即可得解；【詳解】（1）在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；3．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底