駐馬店市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（含解析）

駐馬店市2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)，則A. B. C. D.2.設(shè)集合，，則A. B.C. D.3.已知函數(shù)的定義域為，則的最小值為A.1 B.2 C.4 D.54.如圖，這是某廠生產(chǎn)的一批不倒肦型臺燈外形，它由一個圓錐和一個半球組合而成，且圓錐的體積恰好等于半球的體積，則該圓錐的軸截面的頂角的余弦值為A. B. C. D.5.設(shè)圓：和圓：交于，兩點，則四邊形的面積為A. B.4 C.6 D.6.已知，則A. B. C. D.7.將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為A.78 B.92 C.100 D.1228.已知為坐標(biāo)原點，拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，若，則A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.為了解高三學(xué)生體能情況，某中學(xué)對所有高三男生進(jìn)行了1000米跑測試，測試結(jié)果表明所有男生的成績（單位：分）近似服從正態(tài)分布，，，則下列說法正確的是A.若從高三男生中隨機挑選1人，則他的成績在內(nèi)的概率為0.2B.若從高三男生中隨機挑選1人，則他的成績在內(nèi)的概率為0.4C.若從高三男生中隨機挑選2人，則他們的成績都不低于75的概率為0.25D.越大，的值越小10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得的圖象關(guān)于軸對稱，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是A.的圖象關(guān)于點對稱 B.在上的值域為C.為偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞增11.已知函數(shù)存在個不同的正數(shù)，，使得，則下列說法正確的是A.的最大值為5 B.的最大值為4C.的最大值為 D.的最大值為12.在三棱錐中，，，為的中點，為上一點，球為三棱錐的外接球，則下列說法正確的是A.球的表面積為B.點到平面的距離為C.若，則D.過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的圓的半徑為2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知正項等比數(shù)列的前3項和為26，且數(shù)列的前3項和為，則______.14.若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是______.15.已知是邊長為3的等邊三角形，為上一點，為的中心，為內(nèi)一點（包括邊界），且，則的最大值為______.16.探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)它的圖象實際上是雙曲線，將函數(shù)的圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點在軸上的雙曲線，是雙曲線上一點，則______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，.（1）求的面積；（2）求邊上的高的最大值.18.（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）令，求數(shù)列的通項公式；（2）求.19.（12分）如圖，在斜三棱柱中，平面平面，，四邊形是邊長為2的菱形，，，，分別為，的中點.（1）證明：.（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.（12分）一枚質(zhì)地均勻的小正四面體，其中兩個面標(biāo)有數(shù)字1，兩個面標(biāo)有數(shù)字2.現(xiàn)將此正四面體任意拋擲次，落于水平的桌面，記次底面的數(shù)字之和為.（1）當(dāng)時，記為被3整除的余數(shù)，求的分布列與期望；（2）求能被3整除的概率.21.（12分）動點到定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，點的軌跡為.（1）求的方程，并說明是什么曲線；（2）過點作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交于，兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，若，求的方程.22.（12分）已知函數(shù)有兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)，是的兩個零點，，證明：.

駐馬店市2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)參考答案1.B，則.2.A依題得，則.3.C由題可知，且，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，則的最小值為4.4.C幾何體的軸截面如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，則球的半徑也為.因為圓錐的體積恰好等于半球的體積，所以，得.故.設(shè)圓錐的軸截面的頂角為，則.5.B由題意可知，，直線的方程為，易知四邊形為菱形，所以到直線的距離，所以，故.6.A.7.C若將體育書分給甲，當(dāng)剩余4本書恰好分給乙、丙時，此時的分配方法有種，當(dāng)剩余4本書恰好分給甲、乙、丙三人時，此時的分配方法有種.綜上，將體育書分給甲，不同的分配方法數(shù)是.同理，將體育書分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50.故不同的分配方法數(shù)是.8.D不妨設(shè)點在第一象限，直線的傾斜角為，所以，則，同理可得.因為，所以，即，，所以.在中，.9.ABC，，故A，B正確.無論為何值，，若從高三男生中隨機挑選2人，則他們的成績都不低于75的概率為，故C正確，D錯誤.10.BCD由題得，，令，則，，故A錯誤；當(dāng)時，，，故B正確；為偶函數(shù)，故C正確；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.11.BD的幾何意義為過點，的直線的斜率.易知直線與的圖象最多只有4個交點，故的最大值為4.當(dāng)直線與曲線相切時，取得最大值，設(shè)切點為，則該直線的斜率為，又，所以，解得，得，所以.12.BCD由，，可將三棱錐補形成如圖所示的長方體，則，，所以球的半徑為，所以球的表面積為，故A錯誤.易知平面，過點作的垂線，交于，故為點到平面的距離.在中，，，解得，故B正確.以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)，所以.因為，所以，解得，所以，故C正確.當(dāng)且僅當(dāng)與截面垂直時，截面面積最小，最小的半徑為2，故D正確.13.6由題可知，，則，解得.14.函數(shù)在上的值域為，在上的值域為，則，即，所以的取值范圍是.15.3因為，，三點共線，所以，解得，即為上靠近點的三等分點.利用向量的投影定義，可知當(dāng)位于點時，取得最大值，最大值為.16.2設(shè)雙曲線的方程為，函數(shù)的兩條漸近線方程為和，其夾角為，故，解得，則，且，所以和的角平分線的方程為.聯(lián)立解得，所以，，所以雙曲線的方程為，故.17.解：（1）由及正弦定理，得，則，即，所以的面積.（2）由余弦定理可知.因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.設(shè)為邊上的高，所以，即，所以邊上的高的最大值為.18.（1）由題可知，所以，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，則（2）19.（1）證明：如圖，連接.因為四邊形是邊長為2的菱形，，所以為等邊三角形，則.又平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以.因為，，所以.因為，所以平面.又平面，所以.（2）解：如圖，過作的平行線為軸，結(jié)合（1）知軸，，兩兩垂直.故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則得取，得，則.因為為的中點，所以.又.所以.則.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.20.解：（1）由題可知，的取值可能為0，1，2.，，，則的分布列為012.（2）由題可知，當(dāng)時，次底面的數(shù)字之和能被3整除的概率為，所以，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，即.21.解：（1）由題意得，化簡得，即.故曲線是焦點在軸上的橢圓。（2）設(shè)，，直線的方程為，則，所以，.（也可以根據(jù)題目條件得出，）聯(lián)立方程組整理得，則，所以，所以線段的中點為，所以線段的垂直平分線方程為.令，可得，即.因為，由，可得，則，解得，所以的方程為