【中考】2017數(shù)學匯編43-填空題中的壓軸題含解析

專題43：填空題中的壓軸題

1、（4分）（2017?蘭州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，。ABCO的頂點A,

B的坐標分別是A（3,0）,B（0,2）.動點P在直線y=|x上運動，以點P為

圓心，PB長為半徑的。P隨點P運動，當。P與。ABCO的邊相切時，P點的坐

標為（0,0）或（Z,1）或（3-顯坐一

3一2

【分析】設P（x,-|x）,G）P的半徑為r,由題意BCLy軸，直線OP的解析式

y=lx,直線OC的解析式為y=-2x,可知OPLOC,分分四種情形討論即可.

23

【解答】解：①當。P與BC相切時，?.?動點P在直線y=當上，

2

，P與O重合，此時圓心P到BC的距離為OB,

AP（0,0）.

②如圖1中，當。P與OC相切時，則OP=BP,AOPB是等腰三角形，作PE_L

y軸于E,則EB=EO,易知P的縱坐標為1,可得P（1_,1）.

③如圖2中，當。P與OA相切時，則點P到點B的距離與點P到x軸的距離相

解得x=3+V5RK3-代，

Vx=3+V5>OA,

，P不會與OA相切，

x=3+依不合題意，

.?.p（3-代，±±ZE）.

④如圖3中，當。P與AB相切時，設線段AB與直線OP的交點為G,此時PB=PG,

VOP1AB,

?.NBGP=NPBG=90°不成立，

???此種情形，不存在P.

綜上所述，滿足條件的P的坐標為（0,0）或（2,1）或（3-遙，絲、

32

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的應用、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)

等知識,解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題，學會用分類討論的思想思考問題,

屬于中考填空題中的壓軸題.

2、（3分）（2017?廣州）如圖，平面直角坐標系中O是原點，口ABCD的頂點A,

C的坐標分別是（8,0）,（3,4）,點D,E把線段OB三等分，延長CD、CE

分別交OA、AB于點F,G,連接FG.則下列結(jié)論：

①F是OA的中點；②AOFD與4BEG相似；③四邊形DEGF的面積是變；④

3

3

其中正確的結(jié)論是①③（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

【分析】①證明△CDBs^FDO,列比例式得：理■型，再由D、E為OB的三

OF0D

等分點，則坨=2=2,可得結(jié)論正確；

0D1

②如圖2,延長BC交y軸于H證明OAWAB,則NAOBWNEBG,所以△OFD

^△BEG不成立；

③如圖3,利用面積差求得：SACFG=SOOABC-SAOFC-SAOBG-SAAFG=12,根據(jù)相

似三角形面積的比等于相似比的平方進行計算并作出判斷；

④根據(jù)勾股定理進行計算OB的長，根據(jù)三等分線段OB可得結(jié)論.

【解答】解：①???四邊形OABC是平行四邊形，

；.BC〃OA,BC=OA,

.,.△CDB^AFDO,

???BC一BD,,

OF-OD

?.?D、E為OB的三等分點,

?BD_2

.?，，,-I=2’

OD1

-BC

??=2’

OF

，BC=2OF,

，OA=2OF,

...F是OA的中點；

所以①結(jié)論正確；

②如圖2,延長BC交y軸于H,

由C(3,4)知:OH=4,CH=3,

.,.OC=5,

，AB=OC=5,

VA(8,0),

/.OA=8,

AOA^AB,

.?.NAOBWNEBG,

/.△OFD^ABEG不成立，

所以②結(jié)論不正確；

③由①知：F為OA的中點，

同理得；G是AB的中點，

AFG是AOAB的中位線，

.'.FG=X0B,FG〃OB,

V0B=3DE,

，F(xiàn)G=3DE,

2

?FG_3

??，，”:~,

DE2

過C作CQ±AB于Q,

SuOABC=OA?OH=AB?CQ,

，4X8=5CQ,

，CQ=絲，

SAOCF」OF?OH="4X4=8,

22

SACGB=—BG*CQ=—X芻*E^=8,

2225

SAAFG=1X4X2=4,

2

SACFG=S。OABC-SAOFC-SAOBG-SAAFG=8X4-8-8X4=12,

?.?DE〃FG,

.,.△CDE^ACFG,

.SACDE（DE）2=4,

S/kCFGFG9

.S四邊形DEGF_5

??----------'-,

^ACFG9

?5四邊形DEGF5

??----------二,

129

.90

??S四邊彩DEGF=------；

3

所以③結(jié)論正確;

④在Rt/XOHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2,

°B=3+（3+8產(chǎn)

：.OD=^1-,

3

所以④結(jié)論不正確；

故本題結(jié)論正確的有：①③；

故答案為：①③.

【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、圖形與坐標特點、

勾股定理、三角形的中位線定理、三角形相似的性質(zhì)和判定、平行四邊形和三角

形面積的計算等知識，難度適中，熟練掌握平行四邊形和相似三角形的性質(zhì)是關(guān)

鍵.

3、（3分）（2017?貴港）如圖，過C（2,1）作AC〃x軸，BC〃y軸，點A,B

都在直線y=-x+6上，若雙曲線y=K（x>0）與AABC總有公共點，則k的取

X

值范圍是2WkW9

【分析】把C的坐標代入求出kB2,解兩函數(shù)組成的方程組，根據(jù)根的判別式

求出kW9,即可得出答案.

【解答】解：當反比例函數(shù)的圖象過C點時，把C的坐標代入得：k=2Xl=2；

把y=-x+6代入y=k得：-x+6=X,

xx

X2-6x+k=0,

△=(-6)2-4k=36-4k,

?反比例函數(shù)y=k的圖象與aABC有公共點,

x

A36-4k，0,

kW9,

即k的范圍是2WkW9,

故答案為：2WkW9.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根的判別式等知識點的應

用，題目比較典型，有一定的難度.

4、（5分）（2017?六盤水）計算1+4+9+16+25+...的前29項的和是8555.

【分析】根據(jù)每一項分別是I?、22、32、42、52可找到規(guī)律，整理可得原式關(guān)于

n的一個函數(shù)式，即可解題.

【解答】解:12+22+32+42+52+..+292+...+n2

=0X1+1+1X2+2+2X3+3+3X4+4+4X5+5+...(n-1)n+n

=(l+2+3+4+5+...+n)+[OX1+1X2+2X3+3X4+...+(n-1)n]

=n(n+l)+包(1X2X3-0X1X2)+1(2X3X4-1X2X3)+L(3X4X5-2

2333

X3X4)+...+■!■[(n-1)(n+1)-(n-2),(n-1)?n]}

3

=n(n+l)+工[(n-1)-n-(n+1)]

23

=n(n+l)(2n+l),

當n=29時，原式=29X(29+1)X(2X29+1)=8555.

6

故答案為8555.

【點評】本題考查了學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并且整理的能力，本題中整理出原式關(guān)于n

的解析式是解題的關(guān)鍵.

5、(4分)(2017?遵義)如圖，點E,F在函數(shù)y=2的圖象上，直線EF分別與x

X

軸、y軸交于點A、B,且BE：BF=1：3,則aEOF的面積是2.

—3—

【分析】證明△BPEsaBHF,利用相似比可得HF=4PE,根據(jù)反比例函數(shù)圖象

上點的坐標特征，設E點坐標為(t,Z),則F點的坐標為(3t,2),由于SA

t3t

OEF+SAOFD=SZ\OEC+S榜jgECDF,SAOFD=SAOEC=11所以Sz\OEF=S林形ECDF,然后根據(jù)梯

形面積公式計算即可.

【解答】解：作EP，y軸于P,EC，x軸于C,FDLx軸于D,FHLy軸于H,

如圖所示:

?.?EP，y軸，F(xiàn)H，y軸,

，EP〃FH,

.,.△BPE^ABHF,

APEBE=^；即HF=3PE,

HF-BF3

設E點坐標為（t,2）,則F點的坐標為（3t,2）,

t3t

SAOEF+SAOFD=SAOEC+S梯形ECDF,

而SAOFD=SAOEC=—X2=1,

2

二?Sz\OEF二S梯形ECDF=工）（3t-t）=—；

23tt3

故答案為:1.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義、相似三角形的判定與性質(zhì)；掌握反

比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，證明三角形

相似是解決問題的關(guān)鍵.

6、（3分）（2017?哈爾濱）如圖，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點，連接

AM,過點D作DELAM,垂足為E.若DE=DC=1,AE=2EM,則BM的長為

~5~~'

【分析】由AAS證明△ABM^^DEA,得出AM=AD,證出BC=AD=3EM,連

接DM,由HL證明Rt^DEM絲RtZ\DCM,得出EM=CM,因此BC=3CM,設

EM=CM=x,則BM=2x,AM=BC=3x,在RtAABM中，由勾股定理得出方程，

解方程即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是矩形,

.*.AB=DC=1,NB=NC=90°,AD〃BC,AD=BC,

ZAMB=ZDAE,

VDE=DC,

:.AB=DE,

VDE±AM,

...NDEA=NDEM=90。，

，ZAMB=ZDAE

在△ABM和aDEA中，(NB=NDEA=90°

AB=DE

/.△ABM^ADEA(AAS),

AM=AD,

VAE=2EM,

，BC=AD=3EM,

連接DM,如圖所示：

在RtADEM和RtADCM中，ZDM=DM,

(DE=DC

ARtADEM^RtADCM(HL),

，EM=CM,

；.BC=3CM,

設EM=CM=x,則BM=2x,AM=BC=3x,

在Rt^ABM中，由勾股定理得：12+(2x)2=(3x)2,

解得：x=返，

5

.?.BM=2恒

5

故答案為：沮

5

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌

握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

7、(3分)(2017?齊齊哈爾)經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三

角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角

形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線如圖，線段CD是△

ABC的“和諧分割線”，4ACD為等腰三角形，4CBD和aABC相似，NA=46。,

則/ACB的度數(shù)為113。或92。.

【分析】由4ACD是等腰三角形，ZADOZBCD,推出NADONA,即AC

#CD,分兩種情形討論①當AC=AD時，②當DA=DC時，分別求解即可.

【解答】解：?.?△BCDS/SBAC,

/.ZBCD=ZA=46O,

???△ACD是等腰三角形,VZADOZBCD,

AZADOZA,即ACWCD,

①當AC=AD時，NACD=NADC=L(180°-46°)=67°,

2

.?.NACB=67°+46°=113°,

②當DA=DC時，ZACD=ZA=46°,

.".ZACB=460+46°=92°,

故答案為113?；?2。.

【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}

型.

8、（3分）（2017?綏化）如圖，順次連接腰長為2的等腰直角三角形各邊中點得

到第1個小三角形，再順次連接所得的小三角形各邊中點得到第2個小三角形，

【分析】記原來三角形的面積為s,第一個小三角形的面積為si,第二個小三角

形的面積為S2,…，求出SI,S2,S3,探究規(guī)律后即可解決問題.

【解答】解：記原來三角形的面積為s,第一個小三角形的面積為si,第二個小

三角形的面積為S2,…，

….Sl=—1,s=-^1-*s,

422

S2=—?J^S=_1—?S,

4424

S3=-^-*S,

26

?.?Sn=―1—^s=-^l—i?—r?e2>2=--1

22n22n2

故答案為

22kl

【點評】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是循

環(huán)從特殊到一般的探究方法，尋找規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題.

9、（3分）（2017?恩施州）如圖，在6X6的網(wǎng)格內(nèi)填入1至6的數(shù)字后，使每

行、每列、每個小粗線宮中的數(shù)字不重復，則aXc=2.

13

532

4

2

36C5

5ab3

【分析】粗線把這個數(shù)獨分成了6塊，為了便于解答，對各部分進行編號：甲、

乙、丙、丁、戊、己，先從各部分中數(shù)字最多的己出發(fā)，找出其各個小方格里面

的數(shù)，再根據(jù)每行、每列、每小宮格都不出現(xiàn)重復的數(shù)字進行推算.

【解答】解：對各個小宮格編號如下:

13

*?1GJ

532

4

內(nèi)J

2

36c5

rttci

5ab3

先看己：已經(jīng)有了數(shù)字3、5、6,缺少1、2、4；觀察發(fā)現(xiàn)：4不能在第四列，2

不能在第五列，而2不能在第六列；所以2只能在第六行第四列，即a=2；則b

和c有一個是1,有一個是4,不確定，如下：

13

532

4

2

36c5

52b3

觀察上圖發(fā)現(xiàn)：第四列已經(jīng)有數(shù)字2、3、4、6,缺少1和5,由于5不能在第二

行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：

13

5312

4

25

36c5

52b3

再看乙部分：已經(jīng)有了數(shù)字1、2、3,缺少數(shù)字4、5、6,觀察上圖發(fā)現(xiàn)：5不

能在第六列，所以5在第五列的第一行；4和6在第六列的第一行和第二行，不

確定，

分兩種情況:

①當4在第一行時，6在第二行；那么第二行第二列就是4,如下:

1354

543126

4

25

36C5

52b3

再看甲部分：已經(jīng)有了數(shù)字1、3、4、5,缺少數(shù)字2、6,觀察上圖發(fā)現(xiàn)：2不

能在第三列，所以2在第二列，則6在第三列的第一行，如下：

126354

543126

4

25

36C5

52b3

觀察上圖可知：第三列少1和4,4不能在第三行，所以4在第五行，則1在第

三行，如下:

126354

543126

14

25

346c5

52b3

觀察上圖可知：第五行缺少1和2,1不能在第1歹IJ,所以1在第五列，則2在

第一列，即c=l,所以b=4,如下：

126354

543126

14

25

234615

5243

觀察上圖可知：第六列缺少1和2,1不能在第三行，則在第四行，所以2在第

三行，如下:

126354

543126

142

251

234615

5243

再看戊部分：已經(jīng)有了數(shù)字2、3、4、5,缺少數(shù)字1、6,觀察上圖發(fā)現(xiàn)：1不

能在第一列，所以1在第二列，則6在第一列，如下：

126354

543126

142

251

234615

615243

觀察上圖可知：第一列缺少3和4,4不能在第三行，所以4在第四行，則3在

第三行，如下:

126354

543126

3142

4251

234615

615243

觀察上圖可知：第二列缺少5和6,5不能在第四行，所以5在第三行，則6在

第四行，如下：

126354

543126

35142

46251

234615

615243

觀察上圖可知：第三行第五列少6,第四行第五列少3,如下:

126354

543126

351462

462531

234615

615243

所以，a=2,c=l,ac=2；

②當6在第一行，4在第二行時，那么第二行第二列就是6,如下:

再看甲部分：已經(jīng)有了數(shù)字1、3、5,6,缺少數(shù)字2、4,觀察上圖發(fā)現(xiàn)：2不

能在第三列，所以2在第2歹4在第三列，如下：

觀察上圖可知：第三列缺少數(shù)字1和6,6不能在第五行，所以6在第三行，則

1在第五行，所以c=4,b=l,如下：

觀察上圖可知：第五列缺少數(shù)字3和6,6不能在第三行，所以6在第四行，則

3在第三行，如下：

124356

563124

643

256

31645

5213

觀察上圖可知：第六列缺少數(shù)字1和2,2不能在第四行，所以2在第三行，則

1在第四行，如下：

124356

563124

6432

2561

31645

5213

觀察上圖可知：第三行缺少數(shù)字1和5,1和5都不能在第一列，所以此種情況

不成立；

綜上所述：a=2,c=l,aXc=2；

故答案為：2.

【點評】本題是六階數(shù)獨，比較復雜，關(guān)鍵是找出突破口，先推算出一個區(qū)域或

者一行、一列，再逐步的進行推算.

10、（3分）（2017?黃岡）已知：如圖,在ZkAOB中，ZAOB=90°,A0=3cm,

BO=4cm.將aAOB繞頂點0,按順時針方向旋轉(zhuǎn)到AAIOBI處，此時線段OBi

與AB的交點D恰好為AB的中點，則線段BiD=1.5cm.

【分析】先在直角^AOB中利用勾股定理求出AB=^QA2+0B2=5cm,再利用直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OD=』AB=2.5cm.然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

2

性質(zhì)得至OBi=OB=4cm,那么BiD=OBi-0D=1.5cm.

【解答】解：?.?在aAOB中，ZAOB=90°,AO=3cm,BO=4cm,

AB=7oA2+OB2=5cm,

?.?點D為AB的中點，

OD=AAB=2.5cm.

2

V^AAOB繞頂點0,按順時針方向旋轉(zhuǎn)到AAIOBI處，

/.OBi=OB=4cm,

.*.BiD=OBi-OD=1.5cm.

故答案為1.5.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)以及勾股定理.

11、（3分）（2017?十堰）如圖，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG

分別交AE,AF于M,N.下列結(jié)論：①AFLBG；?BN=1NF；③典=3；④S

3MG8

河邊形CGNF=k四邊彩ANGD.其中正確的結(jié)論的序號是①③.

2

【分析】①易證4ABF之4BCG,即可解題；

②易證△BNFsaBCG,即可求得網(wǎng)的值，即可解題；

NF

③作EHJ_AF,令AB=3,即可求得MN,BM的值，即可解題；

④連接AG,FG,根據(jù)③中結(jié)論即可求得S四邊形CGNF和S四娜ANGD,即可解題.

【解答】解：①???四邊形ABCD為正方形，

，AB=BC=CD,

VBE=EF=FC,CG=2GD,

，BF=CG,

'AB=BC

?.,在AABF和ABCG中，＜/ABF=NBCG=90°，

BF=CG

/.△ABF^ABCG,

，NBAF=NCBG,

VZBAF+ZBFA=90°,

.*.ZCBG+ZBFA=90o,即AFLBG；①正確;

②...在4BNF和4BCG中，［NCBG=/NBF

IZBCG=ZBNF=9O0

NFCG2

.?.BN=2NF；②錯誤;

3

③作EH_LAF,令AB=3,則BF=2,BE=EF=CF=1,

AF:,福生產(chǎn)值，

SAABF=1AF?BN=1AB?BF,

22

.?.BN=^S1,NF=1BN=.^S1,

13313

，AN=AF-NF=2/S,

13

???E是BF中點,

AEH是△BFN的中位線,

3^/13

AEH=；NH=2VT3_)BN〃EH,

1313

，AH=.生叵，解得：MN=M:叵，

13AHEH143

.*.BM=BN-MN=^ZH,MG=BG-BM=8^,

1111

③正確;

MG8

④連接AG,FG,根據(jù)③中結(jié)論,

則NG=BG-BN=Z2ZH,

13

*.*S四邊形CGNF=SZ\CFG+SAGNF=^CG?CF+A_NF?NG=1+A^=~^，

221313

S四邊形ANGD二SAANG+S^ADG二J-AN?GN+lAD?DG=il+W=Il,

2226213

S四邊形CGNFW-S四邊形ANGD，④錯誤;

2

故答案為①③.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和對應

邊比例相等的性質(zhì)，本題中令AB=3求得AN,BN,NG,NF的值是解題的關(guān)鍵.

12、（3分）（2017?隨州）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B

兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速

駛向A地，在甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距

離y（km）與甲車行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列結(jié)論：①甲車

出發(fā)2h時，兩車相遇；②乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km；③乙車出發(fā)2區(qū)

7

時，兩車相遇；④甲車到達C地時，兩車相距40km.其中正確的是②③④（填

寫所有正確結(jié)論的序號）.

【分析】①觀察函數(shù)圖象可知，當t=2時，兩函數(shù)圖象相交，結(jié)合交點代表的意

義，即可得出結(jié)論①錯誤；②根據(jù)速度=路程?時間分別求出甲、乙兩車的速度,

再根據(jù)時間=路程+速度和可求出乙車出發(fā)L5h時，兩車相距170km,結(jié)論②正

確；③根據(jù)時間=路程+速度和可求出乙車出發(fā)2耳時，兩車相遇，結(jié)論③正確;

7

④結(jié)合函數(shù)圖象可知當甲到C地時，乙車離開C地0.5小時，根據(jù)路程=速度義

時間，即可得出結(jié)論④正確.綜上即可得出結(jié)論.

【解答】解：①觀察函數(shù)圖象可知，當t=2時，兩函數(shù)圖象相交，

TC地位于A、B兩地之間，

二交點代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結(jié)論①錯誤；

②甲車的速度為240+4=60(km/h),

乙車的速度為200+(3.5-1)=80(km/h),

(240+200-60-170)+(60+80)=1.5(h),

...乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km,結(jié)論②正確；

③；(240+200-60)+(60+80)=2反(h),

7

...乙車出發(fā)2耳時，兩車相遇，結(jié)論③正確；

7

@V80X(4-3.5)=40(km),

.?.甲車到達C地時，兩車相距40km,結(jié)論④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論有：②③④.

故答案為：②③④.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，根據(jù)函數(shù)圖象逐一分析四條結(jié)論的正誤是

解題的關(guān)鍵.

13、(3分)(2017?咸寧)如圖，在Rt^ABC中，BC=2,ZBAC=30°,斜邊AB

的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結(jié)論：

①若C、。兩點關(guān)于AB對稱，則OA=2?；

②C、O兩點距離的最大值為4；

③若AB平分CO,則AB_LCO；

④斜邊AB的中點D運動路徑的長為2L；

2

其中正確的是①②（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）.

【分析】①先根據(jù)直角三角形30。的性質(zhì)和勾股定理分別求AC和AB,由對稱

的性質(zhì)可知：AB是OC的垂直平分線，所以OA=AC；

②當OC經(jīng)過AB的中點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；

③如圖2,當NABO=30。時，易證四邊形OACB是矩形，此時AB與CO互相平

分，但所夾銳角為60。，明顯不垂直，或者根據(jù)四點共圓可知：A、C、B、O四

點共圓，則AB為直徑，由垂徑定理相關(guān)推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直

于這條弦，但當這條弦也是直徑時，即OC是直徑時，AB與OC互相平分，但

AB與OC不一定垂直；

④如圖3,半徑為2,圓心角為90。，根據(jù)弧長公式進行計算即可.

【解答】解:在R3ABC中,VBC=2,NBAC=30。,

AB=4,AC=^42_22=2A/3,

①若C、。兩點關(guān)于AB對稱，如圖1,

，AB是OC的垂直平分線，

則OA=AC=2代；

所以①正確；

②如圖1,取AB的中點為E,連接OE、CE,

VZAOB=ZACB=90°,

，OE=CE3AB=2,

2

當OC經(jīng)過點E時，OC最大，

則C、O兩點距離的最大值為4；

所以②正確；

③如圖2,當NABO=30。時，ZOBC=ZAOB=ZACB=90°,

四邊形AOBC是矩形，

...AB與OC互相平分，

但AB與OC的夾角為60。、120。，不垂直，

所以③不正確；

④如圖3,斜邊AB的中點D運動路徑是：以O為圓心，以2為半徑的圓周的L,

則：

所以④不正確;

綜上所述，本題正確的有：①②;

故答案為：①②.

圖3產(chǎn)A

【點評】本題是三角形的綜合題，考查了直角三角形30。的性質(zhì)、直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、動

點運動路徑問題、弧長公式，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是本題

的關(guān)鍵，難度適中.

14、（3分）（2017?襄陽）如圖,在AABC中,NACB=90°,點D,E分別在AC,

BC上，且NCDE=NB,將4CDE沿DE折疊，點C恰好落在AB邊上的點F處.若

AC=8,AB=10,則CD的長為空.

一8一

【分析】根據(jù)D,C,E,F四點共圓，可得NCDE=NCFE=NB,再根據(jù)CE=FE,

可得NCFE=NFCE,進而根據(jù)NB=NFCE,得出CF=BF,同理可得CF=AF,由

此可得F是AB的中點，求得CF=1AB=5,再判定△CDFSACFA,得至CF2=CD

2

XCA,進而得出CD的長.

【解答】解：由折疊可得，ZDCE=ZDFE=90°,

AD,C,E,F四點共圓，

，NCDE=NCFE=NB,

又?.?CE=FE,

:.ZCFE=ZFCE,

，NB=NFCE,

；.CF=BF,

同理可得，CF=AF,

AF=BF,即F是AB的中點,

.—BC中，CF=J-AB=5,

由D,C,E,F四點共圓，可得NDFC=NDEC,

由NCDE=NB,可得NDEC=NA,

；.NDFC=NA,

又?.?NDCF=NFCA,

.".△CDF^ACFA,

，CF2=CDXCA,即52=CDX8,

，CD=空，

故答案為：25.

【點評】本題主要考查了折疊問題，四點共圓以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運

用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)四點共圓以及等量代換得到F是AB的中點.

15、(3分)(2017?孝感)如圖，在平面直角坐標系中，OA=AB,ZOAB=90°,

反比例函數(shù)y=k(x>0)的圖象經(jīng)過A,B兩點.若點A的坐標為(n,1),則

X

k的值為近人.

一2-

【分析】作AE，x軸于E,BFLx軸于F,過B點作BC_Ly軸于C,交AE于G,

則AGLBC,先求得aAOE0ABAG,得出AG=OE=n,BG=AE=1,從而求得B

(n+1,1-n),根據(jù)k=nX1=(n+1)(1-n)得出方程，解方程即可.

【解答】解：作AE，x軸于E,BF_Lx軸于B過B點作BC_Ly軸于C,交AE

于G,如圖所示：

則AG±BC,

VZOAB=90°,

/.ZOAE+ZBAG=90o,

VZOAE+ZAOE=90o,

.,.ZAOE=ZGAB,

，ZA0E=ZGAB

在AAOE和4BAG中，，NAOE=/AGB=90°

A0=AB

.'.△AOE^ABAG(AAS),

.?.OE=AG,AE=BG,

?.?點A(n,1),

AG=OE=n,BG=AE=1,

.*.B(n+1,1-n),

k=nX1=(n+1)(1-n),

整理得:n2+n-1=0,

解得：n=T遍（負值舍去）,

2

??II-------,

2

.?.k=M；

2

故答案為：返工.

2

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、

解方程等知識；熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，證明三角形全等是解

決問題的關(guān)鍵.

16、（3分）（2017?常德）如圖，有一條折線A1B1A2B2A3B3A4B4…,它是由過Ai

（0,0）,Bi（2,2）,A2（4,0）組成的折線依次平移4,8,12,…個單位得

到的，直線y=kx+2與此折線恰有2n（n2l,且為整數(shù)）個交點，則k的值為-

【分析】由點Ai、A2的坐標，結(jié)合平移的距離即可得出點An的坐標，再由直線

y=kx+2與此折線恰有2n(n2l,且為整數(shù))個交點，即可得出點Ami(4n,0)

在直線y=kx+2上，依據(jù)依此函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可求出k值.

【解答】解:VAi(0,0),A2(4,0),A3(8,0),A4(12,0),...?

AAn(4n-4,0).

?.?直線y=kx+2與此折線恰有2n(n?l,且為整數(shù))個交點，

.?.點An+i(4n,0)在直線y=kx+2上，

0=4nk+2,

解得：k=-J_.

2n

故答案為：-L.

2n

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及坐標與圖形變化中的平

移，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征結(jié)合點An的坐標，找出0=4nk+2是解題

的關(guān)鍵.

17、(4分)(2017?懷化)如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=10cm,點

P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點.若以P,B,C為頂點的三角形是等腰三角形,

則P,A(P,A兩點不重合)兩點間的最短距離為10立-10cm.

【分析】分三種情形討論①若以邊BC為底.②若以邊PB為底.③若以邊PC

為底.分別求出PD的最小值，即可判斷.

【解答】解：連接BD,在菱形ABCD中，

,/ZABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,

/.ZA=ZC=60o,

.'.△ABD,4BCD都是等邊三角形，

①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內(nèi)部）的點滿足題意，

此時就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點與直線上所有點連線的線段中垂線段最短”，即當點

P與點D重合時，PA最小，最小值PA=10；

②若以邊PB為底，NPCB為頂角時，以點C為圓心，BC長為半徑作圓，與AC

相交于一點，則弧BD（除點B外）上的所有點都滿足aPBC是等腰三角形，當

點P在AC上時，AP最小，最小值為10?-10；

③若以邊PC為底，NPBC為頂角，以點B為圓心，BC為半徑作圓，則弧AC

上的點A與點D均滿足APBC為等腰三角形，當點P與點A重合時，PA最小,

顯然不滿足題意，故此種情況不存在；

綜上所述，PD的最小值為10^3-10（cm）；

故答案為：10a-10.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

18、（4分）（2017?岳陽）如圖，。0為等腰aABC的外接圓，直徑AB=12,P

為弧前上任意一點（不與B,C重合），直線CP交AB延長線于點Q,。。在點

P處切線PD交BQ于點D,下列結(jié)論正確的是②③④.（寫出所有正確結(jié)論

的序號）

①若NPAB=30。，則弧康的長為兀；②若PD〃BC,則AP平分NCAB；

③若PB=BD,則PD=6在；④無論點P在弧宙上的位置如何變化，CP?CQ為定

值.

【分析】①根據(jù)NPOB=60。，0B=6,即可求得弧康的長；②根據(jù)切線的性質(zhì)以

及垂徑定理，即可得到尾或，據(jù)此可得AP平分NCAB；③根據(jù)BP=B0=P0=6,

可得aBOP是等邊三角形，據(jù)此即可得出PD=6我；④判定△ACPs/^QCA,即

可得到里空，即CP?CQ=CA2,據(jù)此可得CP?CQ為定值.

CACQ

【解答】解：如圖，連接0P,

VAO=OP,ZPAB=30°,

.?.ZPOB=60°,

VAB=12,

，0B=6,

弧前的長為60X兀><6=2兀,故①錯誤;

180

：PD是。O的切線，

/.OP±PD,

?.?PD〃BC,

AOPIBC,

???CP=BP-

.*.ZPAC=ZPAB,

...AP平分NCAB,故②正確；

若PB=BD,則NBPD=NBDP,

VOP±PD,

，ZBPD+ZBPO=ZBDP+ZBOP,

/.ZBOP=ZBPO,

，BP=B0=P0=6,即ABOP是等邊三角形，

/.PD=V3OP=6V3，故③正確；

VAC=BC,

，NBAC=NABC,

又YNABCMNAPC,

二/APC=NBAC,

又；NACP=/QCA,

.".△ACP^AQCA,

...生=生，即CP?CQ=CA2（定值），故④正確;

CACQ

故答案為：②③④.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，切線的性質(zhì)以及

弧長公式的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形，解題時注意：

垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

19、（3分）（2017?張家界）如圖，在正方形ABCD中，AD=2炳,把邊BC繞點

B逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到線段BP,連接AP并延長交CD于點E,連接PC,則三角

形PCE的面積為9-5亞.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的想知道的PB=BC=AB,ZPBC=30°,推出AABP是等邊三

角形，得到NBAP=60。，AP=AB=2?,解直角三角形得到CE=2?-2,PE=4

-243,過P作PFJ_CD于F,于是得到結(jié)論.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

.,.ZABC=90°,

?.?把邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到線段BP,

；.PB=BC=AB,NPBC=30°,

/.ZABP=60o,

.?.△ABP是等邊三角形，

/.ZBAP=60o,AP=AB=2?,

?.?AD=2?,

，AE=4,DE=2,

，CE=2a-2,PE=4-2我，

過P作PF±CD于F,

.,.PF=^.PE=2A/3-3,

...三角形PCE的面積=LCE?PF=Lx(273-2)X(2e-3)=9-5r,

22

故答案為：9-5^3-

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解

直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

20、(3分)(2017?株洲)如圖示二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸在y軸的右側(cè),

其圖象與x軸交于點A(-1,0)與點C(X2,0),且與y軸交于點B(0,-2),

小強得到以下結(jié)論：①0Va<2；②-IVbVO；③c=-1；④當［a|=|b|時X2>代

-1；以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號為①④.

【分析】根據(jù)拋物線與y軸交于點B(0,-2),可得c=-2,依此判斷③；由

拋物線圖象與x軸交于點A(-1,0),可得a-b-2=0,依此判斷①②；由［a|=|b|

可得二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為y=L,可得X2=2,比較大小即可判斷④；

2

從而求解.

【解答】解：由A(-1,0),B(0,-2),得6=2-2,

?.?開口向上,

/.a>0；

?.?對稱軸在y軸右側(cè),

--L>o,

2a

...-^=2>0,

2a

a-2V0,

/.a<2；

/.0<a<2；

...①正確；

???拋物線與y軸交于點B（0,-2）,

.".c=-2,故③錯誤；

???拋物線圖象與x軸交于點A（-1,0）,

.\a-b-2=0,無法得到0VaV2；?-l<b<0,故①②錯誤；

'/|a|=|b|,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸在y軸的右側(cè)，

.,.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為y=A-,

.?.X2=2>遙-1,故④正確.

故答案為：①④.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函

數(shù)y=ax?+bx+c（aWO）,二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當a>0時，

拋物線向上開口；當aVO時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a

共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a

與b異號時（即abVO）,對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋

物線與y軸交于（0,c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，-4ac>0時，

拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；

-4acV0時，拋物線與x軸沒有交點.

21、（3分）（2017?連云港）如圖，已知等邊三角形OAB與反比例函數(shù)y=K（k

X

>0,x>0）的圖象交于A、B兩點，將AOAB沿直線OB翻折，得至【J4OCB,

點A的對應點為點C,線段CB交x軸于點D,則毀的值為返工.(已知

DC—2一

sinl5°=2/^-^.)

4

【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知：直線0M：

y=x,求出NB0F=15。，根據(jù)15。的正弦列式可以表示BF的長，證明△BDFs4

CDN,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過。作OMLAB于M,

VAAOB是等邊三角形，

.*.AM=BM,NAOM=NBOM=30。，

:.A、B關(guān)于直線0M對稱，

???A、B兩點在反比例函數(shù)y=K(k>0,x>0)的圖象上，且反比例函數(shù)關(guān)于直

X

線y=x對稱，

直線OM的解析式為:y=x,

AZBOD=45°-30。=15。，

過B作BF_Lx軸于F,過C作CN_Lx軸于N,

sinZBOD=sin15°=^-=V^

OB4

VZBOC=60°,ZBOD=15°,

.?.NCON=45。,

?.△CNO是等腰直角三角形,

，CN=ON,

設CN=x,則OC=&x,

OB=^/2x,

?BF二遍

,,而

.*.BF=_（金1區(qū),

2

?.?BFJ_x軸，CN_Lx軸，

，BF〃CN,

/.△BDF^ACDN,

?BDBF=2'=V3~1

**CD^CNx2~

故答案為：返1L

2

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、等邊三角形的性質(zhì)、等

腰直角三角形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)和判定、翻折的性質(zhì)，

明確反比例函數(shù)關(guān)于直線y=x對稱是關(guān)鍵，在數(shù)學題中常設等腰直角三角形的直

角邊為未知數(shù)x,根據(jù)等腰直角三角形斜邊是直角邊的我倍表示斜邊的長，從而

解決問題.

22、（3分）（2017?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，將NABC繞點A按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)一定角度后，BC的對應邊BC交CD邊于點G.連接BB\CC'.若AD=7,

CG=4,AB'=B'G,則里■二匹.（結(jié)果保留根號）.

BB'-5一

【分析】先連接AC,AG,AC,構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，根據(jù)aABB，

^△ACC,可得到CC，二或,設AB=AB，=X,則AG=揚，DG=x-4,RtAADG

BB'AB

中，根據(jù)勾股定理可得方程72+（x-4）2=（?。?,求得AB的長以及AC的

長，即可得到所求的比值.

【解答】解：連接AC,AG,AC,

由旋轉(zhuǎn)可得，AB=AB',AC=AC',ZBAB'=ZCAC,

?AB=AB，

??而AC，，

/.△ABB'^AACC,

?CC1_=AC

?.BB，利

VAB'=B'G,ZAB'G=ZABC=90°,

/.△AB,G是等腰直角三角形，

.?.AG=V2AB',

設AB=AB'=x,則AG=V5<,DG=X-4,

VRtAADG^1,AD2+DG2=AG2,

：.12+（x-4）2=（&x）2,

解得xi=5,X2=-13（舍去）,

，AB=5,

,RtZSABC中，

?CCy-AC--/74

??--------一..————,

BB'AB5

故答案為：恒.

5

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角

形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助

線構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應邊成比例，將岑舉

化為迫，并依據(jù)直角三角形的勾股定理列方程求解，從而得出矩形的寬AB,這

AB

也是本題的難點所在.

23、(3分)(2017?宿遷)如圖，矩形ABOC的頂點O在坐標原點，頂點B,C

分別在x,