直線與圓的位置關(guān)系

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)必修24.2.1直線與圓的位置關(guān)系OXY1為了大家能看的更清楚些.以藍(lán)線為水平線,圓圈為太陽(yáng)!注意觀察!!問題引入直線與圓的位置關(guān)系2(1)直線和圓有唯一個(gè)公共點(diǎn),叫做直線和圓相切(2)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn),叫做直線和圓相交(3)直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離直線與圓的位置關(guān)系3大家都知道:點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可以用圓心到點(diǎn)之間的距離,這一數(shù)量關(guān)系來刻畫他們的位置關(guān)系;那么直線和圓的位置關(guān)系是否也可以用數(shù)量關(guān)系來刻畫他們?nèi)N位置關(guān)系呢?下面我們一起來研究一下!問題引入4．o圓心O到直線L的距離dL半徑r(1)直線L和⊙O相離,此時(shí)d與r大小關(guān)系為_________d>r直線與圓的位置關(guān)系5．o圓心O到直線L的距離d半徑r(2)直線L和⊙O相切,此時(shí)d與r大小關(guān)系為_________LLd=r直線與圓的位置關(guān)系6．o圓心O到直線L的距離dL半徑r(3)直線L和⊙O相交,此時(shí)d與r大小關(guān)系為_________Ld<r直線與圓的位置關(guān)系7(1)利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷：直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：d>

rd=

rd<

r直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交直線l：Ax+By+C=0，圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)新課講解(2).利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：△<0△=0△>0直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交n=0n=1n=28

(1)當(dāng)d>r時(shí),能否得出直線和圓的位置關(guān)系為相離.(2)當(dāng)d=r時(shí),能否得出直線和圓的位置關(guān)系為相切.(3)當(dāng)d<r時(shí),能否得出直線和圓的位置關(guān)系為相交.(d為圓心O到直線L的距離,r為圓O的半徑)思考:直線與圓的位置關(guān)系直線L和⊙O相交

d<r直線L和⊙o相切

d=r直線L和⊙o相離

d>r注明:符號(hào)”“讀作”等價(jià)于”.它表示從左端可以推出右端,并且從右端也可以推出左端.9設(shè)直線l和圓C的方程分別為：Ax+By+C=0,X2+y2+Dx+Ey+F=0由方程組的解確定直線與圓的位置關(guān)系如果直線l與圓C有公共點(diǎn)，由于公共點(diǎn)同時(shí)在l和C上，所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的公共解；反之，如果這兩個(gè)方程有公共解，那么以公共解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是l與C的公共點(diǎn)．由直線l和圓C的方程聯(lián)立方程組Ax+By+C=0X2+y2+Dx+Ey+F=0有如下結(jié)論：直線與圓的位置關(guān)系10相離相切相交

d>r

d=r

d<r方程組無解方程組僅有一組解方程組有兩組不同的解直線與圓的位置關(guān)系11

分析：方法一，判斷直線l與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解；

方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系．

例1

如圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．典例講解12解法一：由直線l與圓的方程，得：消去y，得：

例1

如圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．因?yàn)椋?1>0所以，直線l與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．典例講解13

解法二：圓可化為其圓心C的坐標(biāo)為（0，1），半徑長(zhǎng)為，點(diǎn)C

（0，1）到直線l的距離所以，直線l與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．

例1

如圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．典例講解14所以，直線l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是：把代入方程①，得；把代入方程①，得．

A（2，0），B（1，3）由，解得：

例1

如圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．解：典例講解15解：將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得：即圓心到所求直線的距離為．如圖，因?yàn)橹本€l被圓所截得的弦長(zhǎng)是，所以弦心距為

例2已知過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．典例講解16因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，即：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得到圓心到直線l的距離：因此：

例2已知過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．解：所以可設(shè)所求直線l的方程為：典例講解17即：兩邊平方，并整理得到：解得：

所以，所求直線l有兩條，它們的方程分別為：或

例2已知過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．解：即:典例講解18例3求直線4x+3y=40和圓x2+y2=100的公共點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷它們的位置關(guān)系．直線4x+3y=40與圓x2+y2=100的公共點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組4x+3y=40x2+y2=100的解．解這個(gè)方程組得所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為．因?yàn)橹本€和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以直線和圓相交．解：典例講解19例4:在Rt△ABC,∠C=900,AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心,r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系?為什么?(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.根據(jù)三角形的面積公式有

CD·AB=AC·BC∴即圓心C到AB的距離d=2.4cm.(1)當(dāng)r=2cm時(shí),有d>r,因此⊙C和AB相離.(圖1)(2)當(dāng)r=2.4cm時(shí),有d=r,因此⊙C和AB相切.(圖2)(3)當(dāng)r=3cm時(shí),有d<r,因此⊙C和AB相交(圖3)(圖1)(圖2)(圖3)解:過C作CD⊥AB垂足為D(如圖所示).在Rt△ABC中,CADBBCADBACD典例講解20(1)若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點(diǎn)P(a,b)

與圓的位置關(guān)系是

()

(A)在圓上 (B)在圓內(nèi)

(C)在圓外 (D)以上皆有可能(2)若圓x2+y2=1與直線+=1(a>0,b>0)相切，則ab的最小值為()(A)1 (B)(C)2(D)4

CC反饋練習(xí)題組1:213.直線x+2y-1=0和圓x2-2x+y2-y+1=0的位置是________相交1.直線x+y-2=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系為________相切2.直線x-y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系為________相離反饋練習(xí)題組2:22直線l過點(diǎn)(2,2)且與圓x2+y2-2x=0相切,求直線l的方程.反饋練習(xí)題組3:23.一圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，在y=x上截得弦長(zhǎng)為，求此圓的方程。解：設(shè)該圓的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，

圓心(3b,b)到直線x-y=0的距離是故所求圓的方程是(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9。r=|3b|反饋練習(xí)題組4:24

已知直線l：kx-y+3=0和圓C:x2+y2=1,試問：k為何值時(shí)，直線l與圓C相交？腦筋轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)反饋練習(xí)題組5:25(4)若方程有解，求b的取值范圍。

(1)已知圓C：x2+y2-4x-6y+12=0，則過A(3，5)的圓的切線方程為

。(2)圓x2+y2

2x

4y+1=0上到直線x+y

1=0的距離為的點(diǎn)共有

個(gè)。

(3)已知圓C:x2+y2

2x

4y+1=0，直線l:x+y+2=0，在圓上求一點(diǎn)P，使P到直線x+y+2=0的距離最短。反饋練習(xí)題組6:26

一只小老鼠在圓(x-5)2+(y-3)2=9上環(huán)行，它走到哪個(gè)位置時(shí)與直線l

：3x+4y-2=0的距離最短，請(qǐng)你幫小老鼠找到這個(gè)點(diǎn)并計(jì)算這個(gè)點(diǎn)到直線l的距離。

請(qǐng)你來幫忙反饋練習(xí)題組7:27

直線和圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)公共點(diǎn)的名稱圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系直線名稱相交

相切

相離

210交點(diǎn)切點(diǎn)d<rd=rd>r割線切線直線和圓的位置關(guān)系主要有三種:相離、相切、相交.（設(shè)⊙o半徑為r,圓心到直線L的距離為d,那么:課堂小結(jié)28歸納小結(jié)：直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法有兩種：

①代數(shù)法：通過直線方程與圓的方程所組成的方程組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即⊿＞０，則相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即⊿＝０，則相切；若無實(shí)數(shù)解，即⊿＜０，則相離．②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷：當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離．

29作業(yè):測(cè)試反饋謝謝指導(dǎo)30已知點(diǎn)P（5，0）和⊙O：x2+y2=16,自P作⊙O的切線，求切線