人教版八年級下冊數(shù)學(xué)第17章 勾股定理 單元測試卷

人教新版八年級下冊《第17章勾股定理》單元測試卷

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）下列各組數(shù)中，能作為直角三角形邊長的是（）

A.1,2,3B.6,7,8C.1,1,MD.5,12,13

2.（3分）如圖，在RtZVlBC中，NACB=90°,AC=\,BC=4,。是AB邊的中點(diǎn)，則

C。的長為（）

A.AB.2C.2fiz.D.VTz

22

3.（3分）若正方形ABC。的面積為2,則對角線AC的長度為（）

9

A.2B.473C.8D.4

4.（3分）如圖，在△ABC中，/ACB=90°,AC=6,BC=8,則A8邊上的高CD的長為

（）

C.3MD.10

5.（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)8表示的數(shù)為1,ABLOB,且48=。8,以原點(diǎn)。為圓心，OA

為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（）

D.1-A/2

A.全等三角形的對應(yīng)角相等

B.如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對值相等

C.兩條直線平行，同位角相等

D.對頂角相等

7.（3分）在△ABC中，ZA：/B：ZC=1：1：2,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.ZC=90°B.a2=b2-c2C.cz=2a2D.a=b

8.（3分）如圖所示，如果將矩形紙沿虛線①對折后，沿虛線②剪開，剪出一個(gè)直角三角形,

展開后得到一個(gè)等腰三角形.則展開后三角形的周長是（）

9.（3分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,1）,若點(diǎn)3在x軸上，且△AB。是等腰三角形，則點(diǎn)

8的坐標(biāo)不可能是（）

-10

A.(2,0)B.(A,0)C.(-V2.0)D.(1,0)

2

10.（3分）如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻

如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是（）

二、填空題（每題3分，共30分）

II.（3分）在△ABC中，AC2=BC2-AB2,則N=90°.

12.（3分）若等邊△ABC的邊長為4,則AABC的面積為.

13.（3分）若直角三角形的兩直角邊長為八b,且滿足"丁$+|b-4|=0,則該直角

三角形的斜邊長為

14.（3分）如圖，把矩形ABC。沿直線8。向上折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置上，BC

交A。于點(diǎn)￡,若AB=3,BC=6,則。E的長為

E.

D

15.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,4。平分/B4C交8c于點(diǎn)O,過點(diǎn)力作

QE_LAB于點(diǎn)E,若C￡)=2,BD=4,則AE的長是

16.（3分）ZSABC中，AB=AC=13,若AB邊上的高C￡>=5,貝UBC=.

17.（3分）如圖，小明利用升旗用的繩子測量學(xué)校旗桿BC的高度，他發(fā)現(xiàn)繩子剛好比旗桿

長11米，若把繩子往外拉直，繩子接觸地面A點(diǎn)并與地面形成30°角時(shí)，繩子末端。

是_______

19.（3分）我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，繪制了一幅“弦圖”，后人稱其為

“趙爽弦圖”，如圖所示.在圖2中，若正方形ABC。的邊長為14,正方形〃KZ,的邊長

為2,且U//AB,則正方形EFGH的邊長

為.圖1圖2

20.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一邊長為1的正方形OABC,點(diǎn)8在x軸

的正半軸上，如果以對角線0B為邊作第二個(gè)正方形OBBICI,再以對角線OBi為邊作第

三個(gè)正方形OBiB2c2,…,照此規(guī)律作下去，則B2的坐標(biāo)是；82022的坐標(biāo)

三、解答題（每題8分，共40分）

21.（8分）如圖，在△ABC中，CDJ_AB于點(diǎn)￡>,8c=20,AC=15,BD=16.求48的長.

22.（8分）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三

角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來證明.將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放,

使點(diǎn)A、E、。在同一條直線上.利用此圖的面積表示式證明勾股定理.

23.（8分）東營市某中學(xué)在校園一角開辟了一塊四邊形的“試驗(yàn)田”，把課堂的“死教材”

轉(zhuǎn)換為生動(dòng)的“活景觀”，學(xué)生們在課堂上學(xué)習(xí)理論之余，還可以到“試驗(yàn)田”實(shí)際操練，

對生物的發(fā)展規(guī)律有了更為直觀的認(rèn)識.如圖，四邊形ABQ)是規(guī)劃好的“試驗(yàn)田”，經(jīng)

過測量得知：ZB=90°,AB=24，*,BC=7m,CD=\5m,AD=20m.求四邊形A8CQ

的面積.

24.(8分)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有池方一丈，葭生其中

央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.(1丈=10尺)

大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它

高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水

的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意畫出圖形(如圖所示)，其中水面寬AB=10

尺，線段CD,表示蘆葦，CDLAB于點(diǎn)E.

(1)圖中。E=尺，EB=尺；

(2)求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度.

25.(8分)在平面直角坐標(biāo)系，中，對于點(diǎn)尸給出如下定義：點(diǎn)尸到圖形Gi上各點(diǎn)的

最短距離為力，點(diǎn)P到圖形G2上各點(diǎn)的最短距離為山，若di=d2,就稱點(diǎn)P是圖形Gi

和圖形G2的一個(gè)“等距點(diǎn)”.

已知點(diǎn)A(6,0),B(0,6).

(1)在點(diǎn)。(-6,0),E(3,0),F(0,3)中，是點(diǎn)A和點(diǎn)。的“等距點(diǎn)”;

(2)在點(diǎn)G(-2,-I),//(2,2),I(3,6)中，是線段0A和OB的“等距

點(diǎn)”；

(3)點(diǎn)C(m,0)為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P既是點(diǎn)A和點(diǎn)C的“等距點(diǎn)”，又是線段04和

OB的“等距點(diǎn)”.

①當(dāng)m=8時(shí)，是否存在滿足條件的點(diǎn)P,如果存在請求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果

不存在請說明理由；

②若點(diǎn)P在△OAB內(nèi)，請直接寫出滿足條件的m的取值范圍.

人教新版八年級下冊《第17章勾股定理》2022年單元測試卷

（北京171中）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）下列各組數(shù)中，能作為直角三角形邊長的是（）

A.1,2,3B.6,7,8C.1,1,炳D.5,12,13

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【解答】解：A、???12+22^32,.?.不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

8、?.?62+72/82,.?.不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C,Vl2+12^（代）2,.?.不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、???52+122=132,.?.能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a,b,c滿足J+/

=。2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

2.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，乙4cB=90°,AC=1,BC=4,0是AB邊的中點(diǎn)，則

CD的長為（）

A.AB.2C.VILD.J17

22

【分析】先運(yùn)用勾股定理求出斜邊AB的長度，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半即可得出的長.

【解答】解：在AABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=4,

則由勾股定理知：^=VAC2+BC2=V12+42=^17,

又?.?。為AB的中點(diǎn)，

:.CD=1AB=^L.

22

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，比較

簡單.

3.（3分）若正方形ABC。的面積為2,則對角線AC的長度為（）

9

A.2B.473C.8D.4

3

【分析】首先利用正方形面積求出正方形的邊長，再利用勾股定理即可求出對角線的長

度.

【解答】解：；正方形A88的面積為2,

9

正方形邊長為1西巫，

V93

.MC=J（冬2+哼）2=_|,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查二次根式，勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是求出正方形的邊長，然

后利用勾股定理求解對角線的長度.

4.（3分）如圖，在△ABC中，/ACB=90°,AC=6,BC=8,則48邊上的高C￡）的長為

（）

【分析】由勾股定理求出AB,由三角形的面積的計(jì)算方法即可求出斜邊上的高CD的長.

【解答】解：在△A8C中，/AC8=90°,AC=6,BC=8,則由勾股定理得到：A8=

VAC2+BC2=V62+82=10-

'：SMBC^^AB'CD=1AC'BC,

22

.CC=AC?BC=6X8=24

"AB10V

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、直角三角形面積的計(jì)算方法；熟練掌握勾股定理，并能

進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

5.（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為1,ABLOB,且48=。8,以原點(diǎn)。為圓心，OA

為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（)

BC

A.&-V2c.V2-1D.1-V2

【分析】根據(jù)勾股定理，結(jié)合數(shù)軸即可得出結(jié)論.

22

【解答】解：如圖，在RtZ\A08中，A8=08=l,則0A=VOB+AB=V12+12=&-

?.?以。為圓心，以0A為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)C,

0C=OA=近,

.?.點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)是&.

故選：A.

BC2

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及復(fù)雜作圖，熟知實(shí)數(shù)與數(shù)軸上各點(diǎn)是

一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

6.（3分）下列命題的逆命題成立的是（）

A.全等三角形的對應(yīng)角相等

B.如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對值相等

C.兩條直線平行，同位角相等

D.對頂角相等

【分析】先分別寫出四個(gè)命題的逆命題，根據(jù)三角形全等的判定方法對A的逆命題進(jìn)行

判斷；根據(jù)一對相反數(shù)的絕對值相等對B的逆命題進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線的判定定理可

對C的逆命題進(jìn)行判斷；根據(jù)兩個(gè)角相等，這兩個(gè)角可為任意相等度數(shù)的角對。的逆命

題進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、“全等三角形的對應(yīng)角相等”的逆命題為“對應(yīng)角相等的兩三角形全等”,

此逆命題為假命題，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、“如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對值相等”的逆命題為“如果兩個(gè)數(shù)的絕對值相等,

那么它們相等"，此逆命題為假命題，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、“兩條直線平行，同位角相等”的逆命題為“同位角相等，兩直線平行”，此逆命題為

真命題，所以C選項(xiàng)正確；

。、“對頂角相等”的逆命題為''若兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角”，此逆命題為假

命題，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)

誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.也考查了逆命題.

7.（3分）在△ABC中，NA：ZB：ZC=1：1：2,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.ZC=90°B.a2=b2-c2C.c2=2a2D.a=b

【分析】首先根據(jù)AABC角度之間的比，可求出各角的度數(shù)./C為90度.根據(jù)勾股定

理可分別判斷出各項(xiàng)的真假.

【解答】解：由/A：ZB：ZC=1：1：2；得：NA=NB=45°,ZC=90°；所以A

正確.

由勾股定理可得：c1=a2+b1,所以B錯(cuò)誤.

因?yàn)镹A=NB=45°,則a=6,同時(shí)。2=〃2+62=242.所以c、。正確.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)：三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用.首先可根據(jù)各角度之間的比值得

出各角的度數(shù).度數(shù)相等的兩個(gè)角他們所對應(yīng)的邊長度也相等.結(jié)合勾股定理即可得出B

選項(xiàng)錯(cuò)誤.

8.（3分）如圖所示，如果將矩形紙沿虛線①對折后，沿虛線②剪開，剪出一個(gè)直角三角形，

展開后得到一個(gè)等腰三角形.則展開后三角形的周長是（）

【分析】折疊后長方形的長為原來長的一半，減去4后即為得到等腰三角形底邊長的一

半；利用勾股定理即可求得等腰三角形的底邊長，周長=底邊長+2X腰長.

【解答】解：展開后等腰三角形的底邊長為2義（104-2-4）=2；

腰長={F+§2=,

所以展開后三角形的周長是2+201,故選：B.

【點(diǎn)評】解決本題的難點(diǎn)是利用折疊的性質(zhì)得到等腰三角形的底邊長.

9.（3分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,1）,若點(diǎn)B在x軸上，且△ABO是等腰三角形，則點(diǎn)

B的坐標(biāo)不可能是（）

A.(2,0)B.(A,0)C.(0)D.(1,0)

2

【分析】本題應(yīng)該分幾種情況討論，已知邊AB可能是底邊，也可能是腰，當(dāng)AB是底邊

時(shí)，就有兩個(gè)滿足條件的三角形.當(dāng)A8是腰時(shí)再分點(diǎn)4是頂角頂點(diǎn)或點(diǎn)8是頂角頂點(diǎn)

兩種情況討論.

【解答】解：由題意得=

當(dāng)AB為底邊時(shí)，8點(diǎn)為(1,-1),8點(diǎn)不在x軸上，故不存在；

當(dāng)AB為腰時(shí)，有三種情況，當(dāng)B點(diǎn)為(9歷，0),(1,0),(2,0).

故選:B.

【點(diǎn)評】對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在

符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.

10.(3分)如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蚊

如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)8,需要爬行的最短距離是()

C.1075+5D.35

【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段

最短”得出結(jié)果.

【解答】解：將長方體展開，連接小B,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，

(1)如圖,80=10+5=15,40=20,

由勾股定理得：AB—，虹)2+BD2=152+202=V625=25.

(2)如圖，BC=5,AC=20+10=30,

由勾股定理得，48=丘干7=痣=/礪=5折?

BSC

（3）只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖:

?.?長方體的寬為10，高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5,

BD=CD+BC=20+5=25,AD=\0,

在直角三角形ABO中，根據(jù)勾股定理得：

???A2=VBD2+AD2=V102+252=5曬；

由于25<5&^<5禽？，

故選：B.

、

X、

、、

、、

、、

、、

、、

S

A

【點(diǎn)評】本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解

答即可.

二、填空題（每題3分，共30分）

11.（3分）在AABC中，A^^BC2-AB2,則28AC=90°.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可判定，若三角形的三邊滿足。2=.2+y，則C所對的角

是直角.

【解答】解：,.?AC2=8C2-AB2,

:.AC2+AB2=BC2,

則△ABC是直角三角形，且邊8c是斜邊，

...NBAC是直角.

故答案為：BAC.

【點(diǎn)評】本題主要考查勾股定理逆定理的內(nèi)容，了解長邊所對角是直角是解題關(guān)鍵.

12.（3分）若等邊△4BC的邊長為4,則AABC的面積為

【分析】過A點(diǎn)作ACBC于。，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到3。=2,再利用勾

股定理計(jì)算出AD=243,然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算.

【解答】解：過A點(diǎn)作ACBC于。，如圖，

；△ABC為等邊三角形，AD1BC,

:.BD=CD=、BC=2,

2

J4D=VAB2-BD2=742-22=2后

.?.S“BCTX4X2禽=4百.

2

故答案為：4e.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即54

=」X底X高.也考查了等邊三角形的性質(zhì).

2

13.（3分）若直角三角形的兩直角邊長為〃、b,且滿足力2-6&+9+b4|=0,則該直角

三角形的斜邊長為5.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得。、6的值，然后利用勾股定理即可求得該直角三角形的

斜邊長.

【解答】解：,--7a2-6a+9+^-41=0,

.'.a2-6a+9=O,b-4=0,

解得a=3,t>=4,

：直角三角形的兩直角邊長為〃、h,

該直角三角形的斜邊長=擰#=/?工=5?

故答案是：5.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)-絕對值、算術(shù)平方根.任意一個(gè)數(shù)的絕

對值（二次根式）都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)

都必須等于0.

14.（3分）如圖，把矩形A8C。沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置上，BC'

交AO于點(diǎn)E,若AB=3,BC=6,則。E的長為_」旦_.

￡

D

B—.............................-C

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到NO8C=NQ8E,再由AQ〃BC得到NO8C=N8OE,

則NDBE=NBDE,可判斷臺(tái)七二。七,設(shè)AE=x,則DE=8E=6-x,然后在Rt/XABE中

利用勾股定理得到/+32=(6-x)2,再解方程即可得出AE以及QE的長.

【解答】解：???四邊形A8CO是矩形，

：.AD=BC=6,ZA=90°,

,:△BDC是由△BQC折疊得到，

/.ZDBC=/DBE,

9：AD//BC,

：?/DBC=/BDE,

:./DBE=/BDE,

:?BE=DE,

設(shè)AE=x,則DE=4。-AE=6-x,BE=6-x,

9122

在RtAABE中,：AE+AB=BE9

/.X2+32=(6-X)2,

解得：x=l,

4

則。E的長為：6-9=至.

44

故答案為：

4

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及勾股定理；

熟練掌握折疊變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

15.(3分)如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AD平分NBAC交8c于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作

QE_LA8于點(diǎn)E,若C￡>=2,BD=4,則AE的長是2JQ.

【分析】先證明AE=4C,利用勾股定理求出BE長，在RtAABC中利用勾股定理可求

AE長.

【解答】解：平分N8AC交BC于點(diǎn)￡>,DCLAC,DEVAB,

：.CD=ED.

又AD=AD,

.?.RtAADE^RtAADC(HL)

：.AE=AC.

在RtZ\BOE中，B￡=VBD2-DE2=2>/3-

設(shè)AE=x,則4C=x,AB=2代+x,

在RtzMBC中，利用勾股定理得（2?+x）2=62+X2,

解得x=2禽.

所以AE長為2依.

故答案為2代.

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是借助勾股定理構(gòu)造方程求解.

16.（3分）AABC中，AB=AC=13,若AB邊上的高C￡>=5,則BC=_屈或5云_.

【分析】分兩種情況討論，①△A8C是銳角三角形，②△ABC是鈍角三角形，依次畫出

圖形求解即可.

【解答】解：①當(dāng)AABC是銳角三角形,

=VAC2-CD2=12,則8￡>=AB-AD=1,

在RtZYBOC中，BC=A/CD2+BD2=A/26；

②當(dāng)△4BC是鈍角三角形，

VAC2-CD2=12,則80=48+40=25,

在Rt^BQC中，BC=VCD2+BD2=5^26；

故答案為：倔或5技.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是分類討論，要求我們熟練勾股

定理的應(yīng)用，有一定難度.

17.（3分）如圖，小明利用升旗用的繩子測量學(xué)校旗桿8c的高度，他發(fā)現(xiàn)繩子剛好比旗桿

長11米，若把繩子往外拉直，繩子接觸地面A點(diǎn)并與地面形成30°角時(shí)，繩子末端。

距A點(diǎn)還有1米，那么旗桿BC的高度為10米.

【分析】如圖，根據(jù)已知條件知4B+1-BC=\\米，再由，NBAC=30°,得至BC=』AB,

2

接著就可以求出旗桿BC的高度.

【解答】解：如圖，依題意得A8+1-BC=11米，

而在RtZ\ABC中，ZBAC=30°,

:.BC^1AB,

2

.*.BC=10米.

故填空答案：10.

【點(diǎn)評】此題比較簡單，直接利用直角三角形中30。的角所對的邊等于斜邊的一半就可

以求出結(jié)果.

18.（3分）在AABC中，AB=4C=5,BC=6.若點(diǎn)P在邊4c上移動(dòng)，則BP的最小值是

4.8.

【分析】根據(jù)點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短，得到當(dāng)2尸垂直于AC時(shí)，3尸的

長最小，過4作等腰三角形底邊上的高A。，利用三線合一得到。為BC的中點(diǎn)，在直角

三角形AOC中，利用勾股定理求出A。的長，進(jìn)而利用面積法即可求出此時(shí)BP的長.

【解答】解：根據(jù)垂線段最短，得到BP_LAC時(shí)，BP最短,

過A作AD_L8C,交BC于點(diǎn)D,

'：AB=AC,ADA,BC,

...￡）為BC的中點(diǎn)，又BC=6,

:.BD=CD=3,

在Rt^ADC中，AC=5,CD=3,

根據(jù)勾股定理得：AD=-\/AC2-DC2=4,

又VS^ABC=^BC-AD=IBP'AC,

22

."PMLD=6X4=4.8.

AC5

故答案為：4.8.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形的面積求法，以及

垂線段最短，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

19.（3分）我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，繪制了一幅“弦圖”，后人稱其為

“趙爽弦圖”，如圖所示.在圖2中，若正方形A8CD的邊長為14,正方形/JKL的邊長

為2,且〃〃A8,則正方形EFGH的邊長為

圖2

【分析】設(shè)AH=a,則HD=14-m根據(jù)圖2可知，EK=HD,由已知條件正方形〃KL

的邊長為2,可得JK=2,即可得出AH=E/=EK-JK=14-a-2=12-a,即可列出等

式a=12-小求出a的值即可得出“￡>=AE的長度，再根據(jù)勾股定理即可得出答案.

【解答】解：設(shè)則，。=14-a,

由圖可得，EK=HD,JK=2,

,:AH=EJ=EK-JK=14-a-2=12-a,

a—12-a.

??q=6,

在RtZXAE”中，

???A”=6,"O=AE=14-6=8,

：.HE=\0,

故答案為：10.

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，正確理解題目所給圖形勾股定理進(jìn)行求解是解決本

題的關(guān)鍵.

20.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一邊長為1的正方形OA8C,點(diǎn)8在x軸

的正半軸上，如果以對角線OB為邊作第二個(gè)正方形OBBICI,再以對角線。加為邊作第

三個(gè)正方形OBiB2c2,…,照此規(guī)律作下去，則B2的坐標(biāo)是（0,2A/2）_；82022

的坐標(biāo)是（0,-（亞）2023）.

B\A.a/A

c4

【分析】根據(jù)已知條件和勾股定理求出。歷的長度即可求出82的坐標(biāo)，再根據(jù)題意和圖

形可看出每經(jīng)過一次變化，都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,邊長都乘以所以可求出從B到B2022

變化的坐標(biāo).

【解答】解：；四邊形OABC是正方形，08=&,

081=7（V2）2+（V2）2=2,

???OB2=JOB[2+B也2=2^2，

；.比的坐標(biāo)是（0,六歷），

根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化，都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,邊長都乘以

旋轉(zhuǎn)8次則。8旋轉(zhuǎn)一周，

?.?從B到B2022經(jīng)過了2022次變化，

2022+8=252...6,

從B到82022與比都在>'軸負(fù)半軸上，

二點(diǎn)B2022的坐標(biāo)是（0,-（料）2023）.

故答案為：（0,272）.（0,-（&）2023）.

【點(diǎn)評】本題主要考查了規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的變化過程

尋找點(diǎn)的變化規(guī)律.

三、解答題（每題8分，共40分）

21.（8分）如圖，在△ABC中，CD_LA8于點(diǎn)。，BC=20,AC=15,80=16.求48的長.

【分析】利用勾股定理求出CO,A。即可解決問題.

【解答】解：

：.ZCDB=ZCDA=W0,

,CD-VBC2-BD2=V202-162=12,

.?.A￡)=VAC2-CD2=Vi52-i22=9,

：.AB=AD+BD=9+\6=25.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理.

22.(8分)勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三

角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來證明.將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放,

使點(diǎn)4、瓜。在同一條直線上.利用此圖的面積表示式證明勾股定理.

AaEbD

【分析】用兩種方法表示梯形的面積即可解決問題.

【解答】證明：用兩種方法求梯形的面積：

S梯形ABCD=2X工力+工2,

22

12

S佛形ABCD=±(a+b),

2

.,.2XJL?&+AC2=A(4+b)2,

222

化簡得ai+b1—c2'.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握梯形面積公式.

23.(8分)東營市某中學(xué)在校園一角開辟了一塊四邊形的“試驗(yàn)田”，把課堂的“死教材”

轉(zhuǎn)換為生動(dòng)的“活景觀”，學(xué)生們在課堂上學(xué)習(xí)理論之余，還可以到“試驗(yàn)田”實(shí)際操練，

對生物的發(fā)展規(guī)律有了更為直觀的認(rèn)識.如圖，四邊形ABC。是規(guī)劃好的“試驗(yàn)田”，經(jīng)

過測量得知：NB=90°,AB=24，〃，BC=1m,CD=15m,AD=20m.求四邊形ABC。

的面積.

D

B

【分析】連接AC,利用勾股定理判斷△ADC為直角三角形，利用分割法，分為△ABC

和△A￡)C,求四邊形面積，

【解答】解：連接4C,如圖，

在RtZvWC中，AB=24m,BC=7m,

."C=d242+72=25(m),

在△A￡>C中，CD=15m,AD=20m.AC=25m,

'：CD^+AD2=152+202=252=AC2,

為直角三角形，ZD=90°.

.,.S/\AOC=2XAOXQC=』X20X15=150(/M2),

22

；SAABC=」XA8XBC=1X24X7=84Cm1),

22

.'.S四邊彩ABCD=SAAOC+SAABC=150+84=234(w2),

答：四邊形的面積234〃尸.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形或者能

夠根據(jù)是否滿足勾股定理判斷三角形是否為直角三角形.

24.（8分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有池方一丈，葭生其中

央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.（1丈=10尺）

大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一一根蘆葦，它

高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水

的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬AB=10

尺，線段CD,。表示蘆葦，CDLAB于點(diǎn)E.

（1）圖中OE=1尺，EB=5尺；

(2)求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度.

C

【分析】(1)直接利用水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，且邊長為10尺的正方

形，E為AB中點(diǎn)，即可得出答案；

(2)根據(jù)題意，可知AB的長為10尺，則EB=5尺，設(shè)蘆葦長OC=BC=x尺，表示出

水深EC,根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深.

【解答】解：(1)由題意可得：DE=l尺,BE=1AB=5R；

2

故答案為：1,5；

(2)設(shè)蘆葦長。。=BC=x尺，

則水深EC=(x-1)尺，

在Rt^ECB中，

52+(x-1)2=/,

解得：x=13,

則EC=13-1=12(尺),

答：蘆葦長13尺，水深為12尺.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合以及表示出直角三

角形的各邊長.

25.(8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)尸給出如下定義：點(diǎn)P到圖形Gi上各點(diǎn)的

最短距離為力，點(diǎn)P到圖形G2上各點(diǎn)的最短距離為d2,若dl=d2,就稱點(diǎn)尸是圖形G1

和圖形G2的一個(gè)“等距點(diǎn)”.

已知點(diǎn)A(6,0),B(0,6).

(1)在點(diǎn)。(-6,0),E(3,0),F(0,3)中，點(diǎn)E是點(diǎn)A和點(diǎn)。的“等距點(diǎn)”;

(2)在點(diǎn)G(-2,-