復(fù)數(shù)講義(絕對(duì)經(jīng)典)

高中數(shù)學(xué).復(fù)數(shù) Page復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位i:（1）它的平方等于，即；（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立．（3）i與－1的關(guān)系:i就是的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是-i．（4）i的周期性：，，，．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:通常用字母表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．這就是說，如果，，，，那么，二、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．．對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù)．除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義．也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法．三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)與的和的定義：復(fù)數(shù)與的差的定義：復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)，(、、、)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．乘法運(yùn)算律：（1）（2）（3）復(fù)數(shù)除法定義：滿足的復(fù)數(shù)(、)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者【答案】，，故在以為圓心，為半徑的圓上，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．如圖，由平面幾何知識(shí)，易知的最大值為．復(fù)數(shù)滿足條件：，那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】AA；設(shè)，則有，，化簡得：，故為圓．【點(diǎn)評(píng)】①的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離；②中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)．復(fù)數(shù)，滿足，，證明：．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，由知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，，故可設(shè)，所以．也可設(shè)，則由向量與向量垂直知，，故．已知復(fù)數(shù)，滿足，，且，求與的值．【答案】；4．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，由于，故，故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；．已知，，，求．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，記所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為，由知，（可由余弦定理得到），故，從而．已知復(fù)數(shù)滿足，求的最大值與最小值．【答案】，設(shè)，則滿足方程．，又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算已知，若，則等于（）A． B． C． D．4【答案】B．計(jì)算：．【答案】原式．已知復(fù)數(shù)，，則的最大值為（）A． B． C． D．3【答案】A，故當(dāng)時(shí)，有最大值．對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)，定義集合．（１）設(shè)是方程的一個(gè)根，試用列舉法表示集合．若在中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率；（2）若集合中只有個(gè)元素，試寫出滿足條件的一個(gè)值，并說明理由．【答案】（1）；（2）．（1）∵是方程的根，∴或，不論或，，于是．（2）取，則及．于是或?。ㄕf明：只需寫出一個(gè)正確答案）．解關(guān)于的方程．【答案】．錯(cuò)解：由復(fù)數(shù)相等的定義得．分析：“，且成立”的前提條件是，但本題并未告訴是否為實(shí)數(shù)．法一：原方程變形為，．由一元二次方程求根公式得，．原方程的解為，．法二：設(shè)，則有，，由②得：，代入①中解得：或，故方程的根為．已知，，對(duì)于任意，均有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】．，，對(duì)恒成立．當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，．綜上，．關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】誤：方程有實(shí)根，．解得或．析：判別式只能用來判定實(shí)系數(shù)一元二次方程根的情況，而該方程中與并非實(shí)數(shù)．正：設(shè)是其實(shí)根，代入原方程變形為，由復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得．設(shè)方程的根分別為，，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】或．若，為實(shí)數(shù)，則且，解得．若，為虛數(shù)，則且，共軛，，解得．綜上，或．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．并證明，從而．時(shí)，結(jié)論顯然成立；若對(duì)時(shí)，有結(jié)論成立，即，則對(duì)，由歸納假設(shè)知，上式，從而知對(duì)，命題成立．綜上知，對(duì)任意，有．易直接推導(dǎo)知：故有．．若是方程（）的解，求證：．將解代入原方程得：，將此式兩邊同除以，則有：，即，，由復(fù)數(shù)相等的定義得．設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，則=________．【答案】4由知，，即，故，解得，故．已知是純虛數(shù)，求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡．【答案】以為圓心，為半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．法一：設(shè)（），則是純虛數(shù)，故，即的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．法二：∵是純虛數(shù)，∴（且）∴，∴，得到，設(shè)（），則（）∴的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡以為圓心，為半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，求的最值．由題意，，則．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．若，，試求．【答案】∵，∴又知，∴設(shè)（），則，∴，即，由復(fù)數(shù)相等定義得，解得．∴．故．【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)的共軛與模長的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)：①設(shè)（）的共軛復(fù)數(shù)為，則；；②為實(shí)數(shù)；③為純虛數(shù)；④對(duì)任意復(fù)數(shù)有；；，特別地有；；．⑤，．，，．以上性質(zhì)都可以通過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的具體計(jì)算進(jìn)行證明．已知虛數(shù)為的一個(gè)立方根，即滿足，且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，證明，并求與的值．【答案】0；法一：，解得：或．由題意知，證明與計(jì)算略；法二：由題意知，故有．又實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)出現(xiàn)，故的兩根為．由韋達(dá)定理有．．．【點(diǎn)評(píng)】利用的性質(zhì)：，可以快速計(jì)算一 些相關(guān)的復(fù)數(shù)的冪的問題．若（），求證：設(shè)，則有，即，，解得，即．設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且．（1）求的值及的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)，求證：為純虛數(shù)；（3）求的最小值．【答案】（1）；的實(shí)部的取值范圍是；（3）1．（1）設(shè)，，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，，所以，即．于是，，，所以的實(shí)部的取值范圍是．（2）．因?yàn)?，，所以為純虛?shù)．（3）．因?yàn)?，所以，故．?dāng)，即時(shí)，取得最小值．對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)，定義集合．（1）設(shè)是方程的一個(gè)根，試用列舉法表示集合；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，求證：．【答案】（1）；（2）略（1）∵是方程的根，∴或，當(dāng)時(shí)，∵，．∴，當(dāng)時(shí)，∵，∴．∴；（2）∵，∴存在，使得．于是對(duì)任意，．由于是正奇數(shù)，，∴．已知復(fù)數(shù)，和，其中均為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)，有，．（1）試求的值，并分別寫出和用表示的關(guān)系式；（2）將作為點(diǎn)的坐標(biāo)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)變到這一平面上的點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上?若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）這樣的直線存在，其方程為或（1）由題設(shè)，，∴，于是由，且，得，因此由，得關(guān)系式．（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)滿足，消去，得，故點(diǎn)的軌跡方程為．（3）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，∴所求直線可設(shè)為．∵該直線上的任一點(diǎn)，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上，∴，即，當(dāng)時(shí)，方程組無解，故這樣的直線不存在．當(dāng)，由，得，解得或．故這樣的直線存在，其方程為或．課后檢測課后檢測已知，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為1，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C，而，∴設(shè)為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A．第一象限B．第二象