2023年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題試卷(解析版)

2023年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）1.面積為9的正方形，其邊長等于（）A.9的平方根 B.9的算術(shù)平方根 C.9的立方根 D.5的算術(shù)平方根【答案】B【解析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．解：∵面積等于邊長的平方，∴面積為9的正方形，其邊長等于9的算術(shù)平方根．故選B．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根意義，一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．2.我國民間建筑裝飾圖案中，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)之美．下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直接根據(jù)軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義逐項判斷即可．解：A．該圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；B．該圖形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C．該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D．該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：A．【點撥】本題考查了對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義，在平面內(nèi)，一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°后能與原來的圖形重合，這個圖形叫做中心對稱圖形；一個圖形沿某條直線對折后，直線兩旁的部分能重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．理解這兩個概念是關(guān)鍵．3.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)合并同類項、積的乘方、單項式乘以單項式和同底數(shù)冪除法法則進(jìn)行判斷即可．A.，不符合題意；B.，不符合題意；C.，符合題意；D.，不符合題意，故選：C．【點撥】此題考查了合并同類項、積的乘方、單項式乘以單項式和同底數(shù)冪除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．4.如圖，某商場有一自動扶梯，其傾斜角為，高為7米．用計算器求的長，下列按鍵順序正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)正弦的定義得出，進(jìn)而可得答案．解：由題意得，∴，∴按鍵順序為，故選：B．【點撥】本題考查了正弦的定義，計算器的使用，正確理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5.解不等式組時，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示正確是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別求出兩個不等式的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示解集的方法判斷即可．解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示為：故選：B．【點撥】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．6.一個不透明的袋子中裝有2個紅球、3個黃球，每個球除顏色外都相同．曉君同學(xué)從袋中任意摸出1個球（不放回）后，曉靜同學(xué)再從袋中任意摸出1個球．兩人都摸到紅球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩人都摸到紅球的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有20種等可能的情況數(shù)，其中兩人都摸到紅球的有2種，則兩人都摸到紅球的概率是．故選：A．【點撥】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7.如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠(yuǎn)的頂點是（）A.A點 B.B點 C.C點 D.D點【答案】D【解析】根據(jù)題意畫出立體圖形，即可求解．解：折疊之后如圖所示，則K與點D的距離最遠(yuǎn)，故選D．【點撥】本題考查了正方體的展開與折疊，學(xué)生需要有一定的空間想象能力．8.常言道：失之毫厘，謬以千里．當(dāng)人們向太空發(fā)射火箭或者描述星際位置時，需要非常準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)．的角真的很小．把整個圓等分成360份，每份這樣的弧所對的圓心角的度數(shù)是．．若一個等腰三角形的腰長為1千米，底邊長為4.848毫米，則其頂角的度數(shù)就是．太陽到地球的平均距離大約為千米．若以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為（）A.24.24千米 B.72.72千米 C.242.4千米 D.727.2千米【答案】D【解析】設(shè)以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為x毫米，根據(jù)頂角相等的兩等腰三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可列出方程，求解即可．解：設(shè)以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為x毫米，根據(jù)題意，得解得：∴等腰三角形底邊長為毫米千米．故選：D．【點撥】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵，注意單位換算．9.如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；使邊落在邊上，點落在點處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，故選：C．【點撥】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.在中，，下列說法錯誤的是（）A. B.C.內(nèi)切圓的半徑 D.當(dāng)時，是直角三角形【答案】C【解析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．解：∵，∴即，故A說法正確；當(dāng)時，，若以底，高，∴，故B說法正確；設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，∵，∴，，∵，∴，∴，故C說法錯誤；當(dāng)時，，∴是直角三角形，故D說法正確；故選：C．【點撥】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內(nèi)切圓半徑與圓的面積周長之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結(jié)果）11.計算：___________．【答案】【解析】根據(jù)零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和立方根的性質(zhì)化簡，然后計算即可．解：原式，故答案為：．【點撥】本題考查了實數(shù)混合運算，熟練掌握零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.某些燈具的設(shè)計原理與拋物線有關(guān)．如圖，從點照射到拋物線上的光線，等反射后都沿著與平行的方向射出．若，，則___________．【答案】【解析】可求，由，即可求解．解：，，，，，，故答案：．【點撥】本題考查了平行線性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.《九章算術(shù)》中有一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四、問人數(shù)、物價各幾何？”題目大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．問有多少人？該物品價值多少元？設(shè)有x人，該物品價值y元，根據(jù)題意列方程組：___________．【答案】【解析】設(shè)有人，物品價值為元，根據(jù)等量關(guān)系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程組即可解答．解：設(shè)有人，物品價值為元，由題意得：．故答案為：．【點撥】本題主要考查列二元一次方程組．根據(jù)題意、正確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在正方形中，分別以點為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，則___________．【答案】15【解析】證明是等邊三角形可得，再求出，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出，進(jìn)而可求出．解：連接，由作圖方法可知，，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴．故答案為：15．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．15.一輛汽車在行駛過程中，其行駛路程（千米）與行駛時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)時，與之間的函數(shù)表達(dá)式為；當(dāng)時，與之間的函數(shù)表達(dá)式為___________．【答案】【解析】先把代入，求得，再設(shè)當(dāng)時，與之間的函數(shù)表達(dá)式為，然后把，分別代入，得，求解得，即可求解．解：把代入，得，設(shè)當(dāng)時，與之間的函數(shù)表達(dá)式為，把，分別代入，得，解得：，∴與之間的函數(shù)表達(dá)式為故答案為：．【點撥】本題考查函數(shù)的圖象，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在反比例函數(shù)的圖象上．點的坐標(biāo)為．連接．若，則的值為___________．【答案】##【解析】過點作軸于點，過點作于點，證明，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)點，進(jìn)而得出，根據(jù)點在反比例函數(shù)的圖象上．列出方程，求得的值，進(jìn)而即可求解．解：如圖所示，過點作軸于點，過點作于點，∴，∵，∴∴∴∵點的坐標(biāo)為．∴，∴∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴解得：或（舍去）∴故答案為：．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求得點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17.先化簡，再從的范圍內(nèi)選擇一個合適的數(shù)代入求值．【答案】，當(dāng)時，原式=（答案不唯一）【解析】先根據(jù)分式混合運算法則計算即可化簡，再根據(jù)分式有意義條件把合適的數(shù)代入化簡式計算即可．解：，∵且，∴當(dāng)時，原式．【點撥】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．18.某校組織學(xué)生去郭永懷紀(jì)念館進(jìn)行研學(xué)活動．紀(jì)念館距學(xué)校72千米，部分學(xué)生乘坐大型客車先行，出發(fā)12分鐘后，另一部分學(xué)生乘坐小型客車前往，結(jié)果同時到達(dá)．已知小型客車的速度是大型客車速度的倍，求大型客車的速度．【答案】大型客車的速度為【解析】設(shè)出慢車的速度，再利用慢車的速度表示出快車的速度，根據(jù)所用時間差為12分鐘列方程解答.解：設(shè)慢車的速度為，則快車的速度為，根據(jù)題意得，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的根.故大型客車的速度為.【點撥】此題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，此題的等量關(guān)系是快車與慢車所用時間差為12分鐘.19.如圖，某育苗基地為了能夠最大限度地遮擋夏季炎熱的陽光和充分利用冬天的光照，計劃在苗圃正上方搭建一個平行于地面的遮陽蓬．已知苗圃的（南北）寬米，該地區(qū)一年中正午時刻太陽光與地平面的最大夾角是，最小夾角是．求遮陽蓬的寬和到地面的距離．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】米，米．【解析】過點D作于F，解，得，解，得，所以，解得米，從而得米，再由矩形的性質(zhì)求解即可．解：如圖，過點D作于F，在中，，∴，在中，，∴，∴，解得：(米)，∴(米)，∴(米)，∵∴矩形，∴米，米．答：遮陽蓬的寬為7.5米，到地面的距離為4.2米．【點撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．20.某校德育處開展專項安全教育活動前，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行安全知識測試，測試結(jié)果如表1所示（每題1分，共10道題），專項安全教育活動后，再次在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取40名學(xué)生進(jìn)行測試，根據(jù)測試數(shù)據(jù)制作了如圖1.圖2所示的統(tǒng)計圖（尚不完整）．表1分?jǐn)?shù)/分人數(shù)/人2456687881292設(shè)定8分及以上為合格，分析兩次測試結(jié)果得到表2．表2平均數(shù)/分眾數(shù)/分中位數(shù)/分合格率第一次6.4a735%第二次b89c請根據(jù)圖表中的信息，解答下列問題：（1）將圖2中的統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整，并直接寫出a，b，c的值；（2）若全校學(xué)生以1200人計算，估計專項安全教育活動后達(dá)到合格水平的學(xué)生人數(shù)；（3）從多角度分析本次專項安全教育活動的效果．【答案】（1）見解析，，，；（2）估計專項安全教育活動后達(dá)到合格水平的學(xué)生人數(shù)為630人；（3）見解析【解析】（1）先求出第二次測試得8分的人數(shù)，然后求出第二次測試得7分的人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義，合格率的計算方法求解即可；（2）用總?cè)藬?shù)乘以專項安全教育活動后的合格率即可；（3）可以從平均數(shù)、中位數(shù)以及合格率這幾個角度進(jìn)行分析．【小問1詳解】解：第二次測試得8分的人數(shù)為：（人），第二次測試得7分的人數(shù)為：（人），補(bǔ)全圖2中的統(tǒng)計圖如圖：由表1知，第一次測試得8分的人數(shù)有12人，人數(shù)最多，故眾數(shù)，第二次測試的平均數(shù)為，第二次測試的合格率；【小問2詳解】解：（人），答：估計專項安全教育活動后達(dá)到合格水平的學(xué)生人數(shù)為630人；【小問3詳解】解：第二次測試的平均數(shù)、中位數(shù)以及合格率較第一次均有大幅提升，故本次專項安全教育活動的效果非常顯著．【點撥】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合應(yīng)用，眾數(shù)、中位數(shù)的定義，用樣本估計總體等知識，能夠從不同的統(tǒng)計圖中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在第一象限內(nèi)，與軸相切于點，與軸相交于點，．連接，．（1）求點的坐標(biāo)；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）如圖，連接，，過點P作，垂足為D，由垂徑定理得，由，得，，由切線性質(zhì)，得，，進(jìn)一步可證四邊形是矩形，得，中，，于是的坐標(biāo)；（2）如圖，由等腰三角三線合一，得，由圓周角定理，而，從而，中，，于是．小問1詳解】如圖，連接，，過點P作，垂足為D，則∵點，∴，∵與軸相切于點∴，∵∴四邊形是矩形∴∴中，∴點的坐標(biāo)【小問2詳解】如圖，，∴而∴中，∴【點撥】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，添加輔助線構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．22.城建部門計劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項目俯視示意圖．步行通道的一側(cè)是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側(cè)是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內(nèi)，當(dāng)水流在與噴頭水平距離為2米時達(dá)到最高點B，此時距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點處，另一端與路面的垂直高度為1.8米，且與噴泉水流的水平距離為0.3米．點到水池外壁的水平距離米，求步行通道的寬．（結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：【答案】3.2米【解析】先以點O為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)設(shè)拋物線的解析式為，把代入，求得，即，再求出點D的坐標(biāo)，即可求解．解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知：，，∵拋物線的最高點B，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入，得，解得，∴拋物線的解析式為，令，則，解得：，∴，∴(米)，答：步行通道的寬的長約為3.2米．【點撥】本題考查拋物線的實際應(yīng)用．熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.已知：射線平分為上一點，交射線于點，交射線于點，連接．（1）如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖2，過點作，交于點；過點作，交于點．求證：．【答案】（1）四邊形是菱形，理由見解析（2）見解析【解析】（1）過點A作于F，于G，先由角平分線性質(zhì)得，再證明，得，