2023年山東省煙臺(tái)市中考數(shù)學(xué)真題試卷(解析版)

2023年山東省煙臺(tái)市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案一、選擇題1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)解答．解：∵，∴的倒數(shù)是，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查倒數(shù)的定義，掌握互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為1，是解題的關(guān)鍵．2.下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．解：A.，與不同類二次根式，不符合題意；B.與不是同類二次根式，不符合題意；C.，與是同類二次根式，符合題意；D.，與不是同類二次根式，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡(jiǎn)二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3.下列四種圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可，中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．解：根據(jù)題意可得：是中心對(duì)稱圖形的只有B，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．4.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則逐項(xiàng)排查即可解答．解：A.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法等知識(shí)，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5.不等式組的解集在同一條數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．解：解不等式①得：解不等式②得：將不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握數(shù)軸上表示不等式組的解集的方法是解題的關(guān)鍵．6.如圖，對(duì)正方體進(jìn)行兩次切割，得到如圖⑤所示的幾何體，則圖⑤幾何體的俯視圖為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)俯視圖的定義，即可進(jìn)行解答．解：根據(jù)題意可得：從該幾何體正上方看，棱的投影為點(diǎn)E，棱的投影為線段，棱的投影為線段，棱的投影為正方形的對(duì)角線，∴該幾何體的俯視圖為：，故選：A【點(diǎn)撥】本題主要考查了俯視圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握俯視圖的定義：從物體正上方看到的圖形是俯視圖．7.長(zhǎng)時(shí)間觀看手機(jī)、電腦等電子產(chǎn)品對(duì)視力影響非常大．6月6日是“全國愛眼日”，為了解學(xué)生的視力情況，某學(xué)校從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各隨機(jī)抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法正確的是（）A.甲班視力值的平均數(shù)大于乙班視力值的平均數(shù)B.甲班視力值的中位數(shù)大于乙班視力值的中位數(shù)C.甲班視力值的極差小于乙班視力值的極差D.甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差【答案】D【解析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方差的定義分別求解即可．甲班視力值分別為：；從小到大排列為：；中位數(shù)為，平均數(shù)為；極差為方差為；乙班視力值分別為：；從小到大排列為：，中位數(shù)為平均數(shù)為；極差為方差為；甲、乙班視力值的平均數(shù)、中位數(shù)、極差都相等，甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差，故D選項(xiàng)正確故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，求平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方差，熟練掌握平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方差的定義是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱中心為圓心，以正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．將一個(gè)小球在該正方形內(nèi)自由滾動(dòng)，小球隨機(jī)地停在正方形內(nèi)的某一點(diǎn)上．若小球停在陰影部分的概率為，停在空白部分的概率為，則與的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.無法判斷【答案】C【解析】根據(jù)題意可得陰影部分面積等于正方形面積的一半，進(jìn)而即可求解．解：如圖所示，連接交于O，由題意得，分別是正方形四條邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O為正方形的中心，∴，根據(jù)題意，可得扇形的面積等于扇形的面積，∴，∴陰影部分面積等于空白部分面積，即陰影部分面積等于正方形面積的一半∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積，幾何概率，得出陰影部分面積等于正方形面積的一半是解題的關(guān)鍵．9.如圖，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0合和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若圖象經(jīng)過點(diǎn)，則；④若關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】根據(jù)圖象，分別得出A.B.c的符號(hào)，即可判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸得出，再根據(jù)圖象得出當(dāng)時(shí)，，即可判斷②；分別計(jì)算兩點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，再根據(jù)該拋物線開口向下，在拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，即可判斷③；將方程移項(xiàng)可得，根據(jù)該方程無實(shí)數(shù)根，得出拋物線與直線沒有交點(diǎn)，即可判斷④．解：①∵該拋物線開口向下，∴，∵該拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴，∵該拋物線于y軸交于正半軸，∴，∴，故①正確，符合題意；②∵，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線，則，當(dāng)時(shí)，，把得：當(dāng)時(shí)，，由圖可知：當(dāng)時(shí)，，∴，故②不正確，不符合題意；③∵該拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴到對(duì)稱軸的距離為，到對(duì)稱軸的距離為，∵該拋物線開口向下，∴在拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵，∴，故③正確，符合題意；④將方程移項(xiàng)可得，∵無實(shí)數(shù)根，∴拋物線與直線沒有交點(diǎn)，∵，∴．故④正確綜上：正確的有：①③④，共三個(gè)．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷各系數(shù)的方法，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．10.如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形，正方形，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)圖象可得移動(dòng)3次完成一個(gè)循環(huán)，從而可得出點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律．解：∵，，，，，∴，∵，則，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點(diǎn)的變化規(guī)律．二、填空題11.“北斗系統(tǒng)”是我國自主建設(shè)運(yùn)行的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，國內(nèi)多個(gè)導(dǎo)航地圖采用北斗優(yōu)先定位．目前，北斗定位服務(wù)日均使用量已超過3600億次．3600億用科學(xué)記數(shù)法表示為________．【答案】【解析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．解：3600億，用科學(xué)記數(shù)法表示為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關(guān)鍵．12.一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知，則的度數(shù)為_____．【答案】##度【解析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解．解：如圖所示，依題意，，∴，∵，，∴∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.如圖，將一個(gè)量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長(zhǎng)邊與量角器的外弧分別交于點(diǎn)A，B，C，D，連接，則的度數(shù)為_______．【答案】【解析】如圖：連接，由題意可得：，，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得、，最后根據(jù)角的和差即可解答．解：如圖：連接，由題意可得：，,，∴，，∴．故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角的度量、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖，利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下：①按鍵的結(jié)果為4；②按鍵的結(jié)果為8；③按鍵的結(jié)果為；④按鍵的結(jié)果為25．以上說法正確的序號(hào)是___________．【答案】①③【解析】根據(jù)計(jì)算器按鍵，寫出式子，進(jìn)行計(jì)算即可．解：①按鍵的結(jié)果為；故①正確，符合題意；②按鍵的結(jié)果為；故②不正確，不符合題意；③按鍵的結(jié)果為；故③正確，符合題意；④按鍵的結(jié)果為；故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③．故答案為：①③．【點(diǎn)撥】本題主要考查了科學(xué)計(jì)算器是使用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握和了解科學(xué)計(jì)算器各個(gè)按鍵的含義．15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)為的直徑，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為軸上一點(diǎn)，的面積為6，則的值為________．【答案】24【解析】設(shè)，則，則，根據(jù)三角形的面積公式得出，列出方程求解即可．解：設(shè)，∵與軸相切于點(diǎn)，∴軸，∴，則點(diǎn)D到的距離為a，∵為的直徑，∴，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定義：經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．16.如圖1，在中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)后停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，線段的長(zhǎng)度為，圖2是與的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，其中點(diǎn)為曲線的最低點(diǎn)，則的高的長(zhǎng)為_______．【答案】##【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，在圖2中點(diǎn)表示當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小，勾股定理求得，然后等面積法即可求解．如圖過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，在圖2中點(diǎn)表示當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小，∴，在中，∴∵，∴,故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．三、解答題17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是使不等式成立的正整數(shù)．【答案】；【解析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求出不等式的解集，得出正整數(shù)a的值，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．解：，解不等式得：，∵a為正整數(shù)，∴，，，∵要使分式有意義，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴把代入得：原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求作，分式有意義的條件，解不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．18.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱“珠峰計(jì)劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國自己的杰出人才．已知，，，，五所大學(xué)設(shè)有數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地，并開設(shè)了暑期夏令營(yíng)活動(dòng)，參加活動(dòng)的每名中學(xué)生只能選擇其中一所大學(xué)．某市為了解中學(xué)生的參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理后，繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．（1）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，所在的扇形的圓心角的度數(shù)為_________；若該市有中學(xué)生參加本次活動(dòng)，則選擇大學(xué)的大約有_________人；（3）甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃從，，三所大學(xué)中任選一所學(xué)校參加夏令營(yíng)活動(dòng)，請(qǐng)利用樹狀圖或表格求兩人恰好選取同一所大學(xué)的概率．【答案】（1）見解析（2）；．（3）【解析】（1）根據(jù)的人數(shù)除以占比得到總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得的人數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可求解；（2）根據(jù)的占比乘以得到圓心角的度數(shù)，根據(jù)乘以選擇的人數(shù)的占比即可求解；（3）根據(jù)列表法求概率即可求解．【小問1詳解】解：總?cè)藬?shù)為（人）∴選擇大學(xué)的人數(shù)為，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，【小問2詳解】在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，所在的扇形的圓心角的度數(shù)為，選擇A大學(xué)的大約有（人）故答案為：；．【小問3詳解】列表如下，甲乙共有9種等可能結(jié)果，其中有3種符合題意，∴甲、乙兩人恰好選取同一所大學(xué)的概率為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，樣本估計(jì)總體，列表法求概率，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?9.風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為的坡地新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖1．某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖2為測(cè)量示意圖．已知斜坡長(zhǎng)16米，在地面點(diǎn)處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，利用無人機(jī)在點(diǎn)的正上方53米的點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿高度為32米【解析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，先根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)得出，設(shè)米，則米，進(jìn)而得出米，證明四邊形為矩形，則米，米，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系得出米，最后根據(jù)，列出方程求解即可．解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：、垂直于水平面，，，，∴，∵米，∴（米），設(shè)米，則米，∵，，∴米，∵，，，∴四邊形為矩形，∴米，米，∵米，∴米，∵，∴，∴，即，解得：，答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿高度為32米．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．20.【問題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，連接；②將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，作射線交于點(diǎn)．【問題提出】在矩形中，，求線段的長(zhǎng)．【問題解決】經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連接，如圖2．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段的長(zhǎng)；方案二：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至處，如圖3．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段的長(zhǎng)．請(qǐng)你任選其中一種方案求線段的長(zhǎng)．【答案】線段的長(zhǎng)為．【解析】方案一：連接，由翻折的不變性，知，，證明，推出，設(shè)，在中，利用勾股定理列式計(jì)算求解即可；方案二：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至處，證明，推出，設(shè)，同方案一即可求解．解：方案一：連接，如圖2．∵四邊形是矩形，∴，，由作圖知，由翻折的不變性，知，，，∴，，又，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得，∴線段的長(zhǎng)為；方案二：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至處，如圖3．∵四邊形是矩形，∴，，由作圖知，由旋轉(zhuǎn)的不變性，知，，，則，∴共線，由翻折的不變性，知，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得，∴線段的長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題考查了作線段的垂直平分線，翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．21.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)、是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價(jià)是《周髀算經(jīng)》單價(jià)的，用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本．（1）求兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？（2）為等備“3．14數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，某校計(jì)劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售．求兩種圖書分別購買多少本時(shí)費(fèi)用最少？【答案】（1）《周髀算經(jīng)》單價(jià)為40元，則《孫子算經(jīng)》單價(jià)是30元；（2）當(dāng)購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時(shí)，購買兩類圖書總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為2316元．【解析】（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》單價(jià)為x元，則《孫子算經(jīng)》單價(jià)元，根據(jù)“用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本”列分式方程，解之即可求解；（2）根據(jù)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半列出不等式求出m的取值范圍，根據(jù)m的取值范圍結(jié)合函數(shù)解析式解答即可．【小問1詳解】解：設(shè)《周髀算經(jīng)》單價(jià)為x元，則《孫子算經(jīng)》單價(jià)是元，依題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：《周髀算經(jīng)》單價(jià)為40元，則《孫子算經(jīng)》單價(jià)是30元；【小問2詳解】解：設(shè)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量m本，則購買的《孫子算經(jīng)》數(shù)量為本，依題意得，，解得，設(shè)購買《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的總費(fèi)用為y（元），依題意得，，∵，∴y隨m的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)（元），（本）答：當(dāng)購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時(shí)，購買兩類圖書總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為2316元．【點(diǎn)撥】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及列出不等式是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．（1）求證：是的切線；（2）已知的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，求的值．【答案】（1）見解析（2）．【解析】（1）利用垂徑定理得，利用菱形的性質(zhì)得，利用半徑相等得，即可證明，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)，由題意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【小問1詳解】證明：連接，∵，由垂徑定理知，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵為的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴設(shè)，∵的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，∴在中，，∴，，∴，∵四邊形是菱形，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．23.如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，分別以為等腰三角形的底邊，在的同側(cè)作等腰和等腰，且．在線段上取一點(diǎn)，使，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）．【解析】（1）證明，推出，利用證明即可證明結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)H，連接，證明是的中位線，設(shè)，則，證明，得到，即，解方程即可求解．【小問1詳解】證明：∵等腰和等腰，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；【小問2詳解】解：取的中點(diǎn)H，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得（負(fù)值已舍），經(jīng)檢驗(yàn)是所列