2024屆杭州市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆杭州市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－82．把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是奇數(shù)點的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點的概率為（）A． B． C． D．3．設(shè)fx=sinxcosA．12 B．32 C．-4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，則從到時，左邊應(yīng)添加的項為（）A． B．C． D．5．若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若,則等于()A．9 B．8 C．7 D．67．的展開式的各項系數(shù)之和為3，則該展開式中項的系數(shù)為（）A．2 B．8 C． D．-178．定義：復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”．設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在曲線上，則的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對應(yīng)的點的軌跡方程為（）．A． B．C． D．9．同時具有性質(zhì)“①最小正周期是”②圖象關(guān)于對稱；③在上是增函數(shù)的一個函數(shù)可以是（）A． B．C． D．10．某公共汽車上有5名乘客，沿途有4個車站，乘客下車的可能方式（）A．種 B．種 C．種 D．種11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)存在零點,則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正項等比數(shù)列中，則公比______________.14．如圖①，矩形的邊，直角三角形的邊，，沿把三角形折起，構(gòu)成四棱錐，使得在平面內(nèi)的射影落在線段上，如圖②，則這個四棱錐的體積的最大值為__________．15．為了宣傳校園文化，讓更多的學(xué)生感受到校園之美，某校學(xué)生會組織了6個小隊在校園最具有代表性的3個地點進行視頻拍攝，若每個地點至少有1支小隊拍攝，則不同的分配方法有_____種（用數(shù)字作答）16．滿足不等式組的點所圍成的平面圖形的面積為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大?。唬?）若，求的面積的最大值．18．（12分）已知函數(shù)．（1）當a＝3時，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知數(shù)列的前項和，通項公式，數(shù)列的通項公式為.（1）若，求數(shù)列的前項和及的值；（2）若，數(shù)列的前項和為，求、、的值，根據(jù)計算結(jié)果猜測關(guān)于的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（3）對任意正整數(shù)，若恒成立，求的取值范圍.20．（12分）某大型工廠有臺大型機器，在個月中，臺機器至多出現(xiàn)次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需名工人進行維修．每臺機器出現(xiàn)故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺機器的能力，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．（1）若每臺機器在當月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進行維修，則稱工廠能正常運行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；（2）已知該廠現(xiàn)有名維修工人．（?。┯浽搹S每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘名維修工人？21．（12分）某研究性學(xué)習(xí)小組為了調(diào)查研究學(xué)生玩手機對學(xué)習(xí)的影響，現(xiàn)抽取了30名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如表：玩手機不玩手機合計學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀8學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16合計30已知在全部的30人中隨機抽取1人，抽到不玩手機的概率為.（1）請將2×2列聯(lián)表補充完整；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學(xué)習(xí)有影響；（3）現(xiàn)從不玩手機，學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的8名學(xué)生中任意選取兩人，對他們的學(xué)習(xí)情況進行全程跟蹤，記甲、乙兩名學(xué)生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．22．（10分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點為棱上一點，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的平面角為，且，試判斷點的位置．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.2、C【解題分析】分析：設(shè)表示“第一次拋出的是奇數(shù)點”，表示“第二次拋出的是奇數(shù)點”，利用古典概型概率公式求出的值，由條件概率公式可得結(jié)果.詳解：設(shè)表示“第一次拋出的是奇數(shù)點”，表示“第二次拋出的是奇數(shù)點”，，，在第一次拋出的是奇數(shù)點的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點的概率為，故選C.點睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意條件概率計算公式的合理運用，同時注意區(qū)分獨立事件同時發(fā)生的概率與條件概率的區(qū)別與聯(lián)系.3、A【解題分析】

曲線在點π6,fπ【題目詳解】∵f∴f【題目點撥】本題考查函數(shù)求導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

將和式子表示出來，相減得到答案.【題目詳解】時：時：觀察知：應(yīng)添加的項為答案選D【題目點撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，寫出式子觀察對應(yīng)項是解題的關(guān)鍵.5、C【解題分析】分析：由題得恒成立，再解這個恒成立問題即得解.詳解：由題得恒成立，a=0時，不等式恒成立.a≠0時，由題得綜合得故答案為C.點睛：（1）本題主要考查函數(shù)的定義域和二次不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力數(shù)形結(jié)合思想方法.（2）解答本題恒成立時，一定要討論a=0的情況,因為不一定時一元二次不等式.6、B【解題分析】分析：根據(jù)組合數(shù)的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意且，，解得，故選B.點睛：本題主要考查了組合數(shù)的計算公式的應(yīng)用，其中熟記組合數(shù)的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.7、D【解題分析】

令得各項系數(shù)和，可求得，再由二項式定理求得的系數(shù)，注意多項式乘法法則的應(yīng)用．【題目詳解】令，可得，，在的展開式中的系數(shù)為：．故選D．【題目點撥】本題考查二項式定理，在二項展開式中，通過對變量適當?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù)，如令可得展開式中所有項的系數(shù)和，再令可得展開式中偶數(shù)次項系數(shù)和與奇數(shù)次項系數(shù)和的差，兩者結(jié)合可得奇數(shù)項系數(shù)和以及偶數(shù)項系數(shù)和．8、C【解題分析】

設(shè)可得:.因為復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù),可得,的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對應(yīng)的點,由坐標變換,即可得的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對應(yīng)的點的軌跡方程.【題目詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在曲線上設(shè)可得:復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)┄①設(shè)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對應(yīng)的點可得:即┄②將②代入①得:即:故選:C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的運算,考查復(fù)平面和考查坐標變換,掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)是解本題的關(guān)鍵.9、B【解題分析】

利用所給條件逐條驗證，最小正周期是得出，把②③分別代入選項驗證可得.【題目詳解】把代入A選項可得，符合；把代入B選項可得，符合；把代入C選項可得，不符合，排除C；把代入D選項可得，不符合，排除D；當時，，此時為減函數(shù)；當時，，此時為增函數(shù)；故選B.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).10、D【解題分析】

5名乘客選4個車站，每個乘客都有4種選法．【題目詳解】每個乘客都有4種選法，共有種，選D【題目點撥】每個乘客獨立，且每個乘客都有4種選法11、D【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令，求得的值.【題目詳解】依題意，令得，，故選D.【題目點撥】本小題在導(dǎo)數(shù)運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

函數(shù)的零點就是方程的根，根據(jù)存在零點與方程根的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題，數(shù)形結(jié)合得到不等式，解得即可．【題目詳解】函數(shù)存在零點，等價于方程有解，即有解，令，則，方程等價于與有交點，函數(shù)恒過定點（0,0），當時，與圖象恒有交點，排除A，B，C選項；又當時，恰好滿足時，，此時與圖象恒有交點，符合題意；故選：D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，此類問題通常將零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，求參數(shù)的范圍，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項公式，列方程組，即可求出公比.【題目詳解】由正項等比數(shù)列中，，得，解得，或（舍去）.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

設(shè)，可得，.，由余弦定理以及同角三角函數(shù)的關(guān)系得，則，利用配方法可得結(jié)果.【題目詳解】因為在矩形內(nèi)的射影落在線段上，所以平面垂直于平面，因為，所以平面，，同理，設(shè)，則，.在中，，，所以，所以四棱錐的體積.因為，所以當，即時，體積取得最大值，最大值為，故答案為.【題目點撥】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用以及錐體的體積公式，考查了配方法求最值，屬于難題.解決立體幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用空間點線面關(guān)系和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將立體幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.15、540【解題分析】

首先將6個小隊分成三組，有三種組合，然后再分配，即可求出結(jié)果．【題目詳解】（1）若按照進行分配有種方案；（2）若按照進行分配有種方案；（3）若按照進行分配有種方案；由分類加法原理，所以共有種分配方案．【題目點撥】本題主要考查分類加法計數(shù)原理，以及排列組合的相關(guān)知識應(yīng)用．易錯點是平均分配有重復(fù)，注意消除重復(fù)．16、.【解題分析】分析：畫出約束條件表示的可行域，利用微積分基本定理求出可行域的面積．詳解：畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分，由題意不等式組，表示的平面圖形的面積為：．故答案為．點睛：用定積分求平面圖形的面積的步驟：（1）根據(jù)已知條件，作出平面圖形的草圖；根據(jù)圖形特點，恰當選取計算公式；（2）解方程組求出每兩條曲線的交點，以確定積分的上、下限；（3）具體計算定積分，求出圖形的面積．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理將邊化角和誘導(dǎo)公式可化簡邊角關(guān)系式，求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理得到，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得面積的最大值.【題目詳解】（1）由正弦定理可得：即：，即（2）由余弦定理可知：又（當且僅當時取等號）即的最大值為：【題目點撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到利用正弦定理化簡邊角關(guān)系式、余弦定理的應(yīng)用、三角形面積最值的求解等知識；化簡邊角關(guān)系式的關(guān)鍵是能夠根據(jù)邊齊次的特點，利用正弦定理將邊角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為三角恒等變換的化簡問題.18、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由a＝3可得，去絕對值，分類討論解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由題意可得有解，運用絕對值不等式的性質(zhì)可得此不等式左邊的最小值，解a的不等式可得所求范圍．【題目詳解】（1）當a＝3時，即為，等價于或或，解得或或，則原不等式的解集為；（2）不等式的解集非空等價于有解．由，（當且僅當時取得等號），所以，解得，故a的取值范圍是．【題目點撥】本題考查分類討論解絕對值不等式以及不等式能成立求參數(shù)的問題，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道容易題.19、（1），；（2），，，；證明見解析（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和極限的定義即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表達式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進行證明。（3）問題轉(zhuǎn)化為，對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍?！绢}目詳解】，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：當時，成立；：假設(shè)時成立，則，那么當時，即時，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，則，即，對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，，，，，【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的求和公式、取極限、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，綜合性比較強；在求參數(shù)的取值范圍時可采用“分離參數(shù)法”，構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的最值。20、（1）；（2）（?。唬áⅲ┎粦?yīng)該.【解題分析】

（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算出事故機器不超過臺的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其對應(yīng)的概率，得出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）求出有名維修工人時的工廠利潤，得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）因為該工廠只有名維修工人，故要使工廠正常運行，最多只有臺大型機器出現(xiàn)故障．∴該工廠正常運行的概率為：．（2）（i）的可能取值有，，，．∴的分布列為：X3144P∴．（ⅱ）若工廠再招聘一名維修工人，則工廠一定能正常運行，工廠所獲利潤為萬元，因為，∴該廠不應(yīng)該再招聘名維修工人．【題目點撥】本題考查了相互獨立事件的概率計算，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計算，屬于中檔題．21、（1）填表見解析（2）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學(xué)習(xí)有影響（3）見解析【解題分析】

（1）由題意30人中，不玩手機的人數(shù)為10，由題意能將2×2列聯(lián)表補充完整．（2）求出K210＞7.879，從而能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學(xué)習(xí)有影響．（3）由題意得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【題目詳解】（1）由題意30人中，不玩手機