河北省邢臺(tái)一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題含解析

河北省邢臺(tái)一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A． B．（y≠0）C． D．（y≠0）2．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3043．已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．若集合，，若，則的值為（）A． B． C．或 D．或5．已知為拋物線上的不同兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）A． B．10 C． D．66．下列四個(gè)推理中，屬于類比推理的是（）A．因?yàn)殂~、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電，所以一切金屬都能導(dǎo)電B．一切奇數(shù)都不能被2整除，是奇數(shù)，所以不能被2整除C．在數(shù)列中，，可以計(jì)算出，所以推出D．若雙曲線的焦距是實(shí)軸長的2倍，則此雙曲線的離心率為2，類似的，若橢圓的焦距是長軸長的一半，則此橢圓的離心率為7．如圖，用5種不同的顏色把圖中、、、四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A．200種 B．160種 C．240種 D．180種8．設(shè)，下列不等式中正確的是（）①②③④A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④9．已知復(fù)數(shù)，則共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．10．方程表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜311．函數(shù)（，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．12．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y使等式mx（lny﹣lnx）﹣y＝0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____14．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則______.15．已知向量滿足，，，若對(duì)每一確定的，最大值和最小值分別為，則對(duì)任意，的最小值是_____.16．已知圓：的兩焦點(diǎn)為，，點(diǎn)滿足，則的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某醬油廠對(duì)新品種醬油進(jìn)行了定價(jià)，在各超市得到售價(jià)與銷售量的數(shù)據(jù)如下表：?jiǎn)蝺r(jià)（元）55.25.45.65.86銷量（瓶）9.08.48.38.07.56.8（1）求售價(jià)與銷售量的回歸直線方程；（，）（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/瓶，為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？相關(guān)公式：，．18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知（1）求的值（2）若，求的面積.20．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，，O是AC的中點(diǎn)，，，．（1）證明：平面平面ABC；（2）若，，D是AB的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．21．（12分）電視傳媒公司為了解世界杯期間某地區(qū)電視觀眾對(duì)《戰(zhàn)斗吧足球》節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：(注：頻率分布直方圖中縱軸表示，例如，收看時(shí)間在分鐘的頻率是)將日均收看該足球節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“足球迷”．（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否可以認(rèn)為“足球迷”與性別有關(guān)？如果有關(guān)，有多大把握？非足球迷足球迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“足球迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列、均值和方差．附：，22．（10分）某手機(jī)代工廠對(duì)生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造評(píng)估，隨機(jī)抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個(gè)生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比，改造前、后手機(jī)產(chǎn)量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）設(shè)改造前、后手機(jī)產(chǎn)量相互獨(dú)立，記表示事件：“改造前手機(jī)產(chǎn)量低于5000部，改造后手機(jī)產(chǎn)量不低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)：手機(jī)產(chǎn)量部手機(jī)產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）.參考公式：隨機(jī)變量的觀測(cè)值計(jì)算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】所以定點(diǎn)的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A,B,C共線的情況，即，選D.2、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積的形式，利用兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，就可以求出的會(huì)下，最后可以計(jì)算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，正確求出通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.3、C【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據(jù)乘法原理計(jì)算求得結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，注意是一次性抽取，抽出的5件產(chǎn)品步需要進(jìn)行排列．4、A【解題分析】

先解出集合，由，得出，于此可得知實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】解方程，即，得，由于，，則，，，，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合間的包含關(guān)系，利用包含關(guān)系求參數(shù)的值，解本題的關(guān)鍵就是將集合表示出來，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】

設(shè)，根據(jù)，可求得這些坐標(biāo)間的關(guān)系，再結(jié)合兩點(diǎn)在拋物線上，可求得，而，由此可得結(jié)論．【題目詳解】設(shè)，則，又，∴，∴，，∴，由，得，∴.故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)乘的意義，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題．掌握焦點(diǎn)弦長公式是解題基礎(chǔ)：即對(duì)拋物線而言，，是拋物線的過焦點(diǎn)的弦，則．6、D【解題分析】由推理的定義可得A,C為歸納推理，B為演繹推理，D為類比推理.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：一是合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的．二是在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．7、D【解題分析】

根據(jù)題意可知，要求出給四個(gè)區(qū)域涂色共有多少種方法，需要分步進(jìn)行考慮；對(duì)區(qū)域A、B、C、D按順序著色，推出其各有幾種涂法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，將各區(qū)域涂色的方法數(shù)相乘，所得結(jié)果即為答案．【題目詳解】涂有5種涂法，有4種，有3種，因?yàn)榭膳c同色，故有3種，∴由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同涂法有種．故答案選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合中的涂色問題，處理區(qū)域涂色問題的基本方法為分步乘法計(jì)數(shù)原理．8、C【解題分析】分析：利用絕對(duì)值三角不等式等逐一判斷.詳解：因?yàn)閍b>0,所以a,b同號(hào).對(duì)于①，由絕對(duì)值三角不等式得，所以①是正確的；對(duì)于②，當(dāng)a,b同號(hào)時(shí)，，所以②是錯(cuò)誤的；對(duì)于③，假設(shè)a=3,b=2,所以③是錯(cuò)誤的；對(duì)于④，由絕對(duì)值三角不等式得，所以④是正確的.故答案為：C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查絕對(duì)值不等式，意在考查學(xué)生對(duì)該知道掌握水平和分析推理能力.(2)對(duì)于類似這樣的題目，方法要靈活，有的可以舉反例，有的可以直接證明判斷.9、B【解題分析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其共軛復(fù)數(shù)即可.詳解：由題意可得：，則其共軛復(fù)數(shù).本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、A【解題分析】由題意知，，則C，D均不正確，而B為充要條件，不合題意，故選A.11、A【解題分析】

函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，由，，可得函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，的單調(diào)，根據(jù)單調(diào)性得到與的大致圖象，從圖形上可得要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于：函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，，，函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，又，且，，在上恒小于零，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖象如圖：要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則，，，，解得，又，實(shí)數(shù)的范圍為．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了零點(diǎn)問題，以及函數(shù)單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是把唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，通過圖象進(jìn)行分析研究，屬于難題．12、B【解題分析】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將原方程轉(zhuǎn)化為，令換元后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，由此求得的值域，進(jìn)而求得的取值范圍.【題目詳解】?jī)蛇呁瑫r(shí)除以可得，令題意即為存在使得成立，顯然時(shí)等式不成立，故當(dāng)時(shí)，存在使得成立。記由得在上為減函數(shù)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)；且，從而，故.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、24【解題分析】

觀察所告訴的式子，找出其中的規(guī)律，可得n的值.【題目詳解】解：觀察所給式子的規(guī)律可得：，，，故可得：.故答案為：24.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理，注意根據(jù)題中所給的式子找出規(guī)律進(jìn)行推理.15、【解題分析】

分別令、、，根據(jù)已知條件判斷出A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系，及的幾何意義，進(jìn)而得到答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以令（為坐?biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)必在單位圓上因?yàn)?，所以令，則點(diǎn)必在線段的中垂線上令，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上所以可得就是圓的直徑顯然，當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，取最小值故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查的是平面向量的運(yùn)算及圓中的最值問題，屬于較難題，解題的關(guān)鍵是找出每個(gè)式子的幾何意義.16、【解題分析】

點(diǎn)滿足則點(diǎn)在橢圓內(nèi),且不包含原點(diǎn).故根據(jù)橢圓定義再分析即可.【題目詳解】由題有點(diǎn)在橢圓內(nèi),且不包含原點(diǎn).故,又當(dāng)在線段上（不包含原點(diǎn)）時(shí)取得最小值2.故.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的定義及其性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．（2）6.75元【解題分析】

（1）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.（2）求得利潤的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價(jià).【題目詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以，，從而回歸直線方程為．（2）設(shè)工廠獲得的利潤為元，依題意得當(dāng)時(shí)，取得最大值故當(dāng)單價(jià)定為6.75元時(shí)，工廠可獲得最大利潤．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查回歸直線方程的計(jì)算，考查實(shí)際應(yīng)用問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸為可知，，進(jìn)而得到函數(shù)值域；（2）由解析式知函數(shù)對(duì)稱軸為，分別在、和三種情況下，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最大值點(diǎn)，利用最大值構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.又，所以，，的值域?yàn)?（2）由函數(shù)解析式知：開口方向向上，對(duì)稱軸為.①當(dāng)，即時(shí)，，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，，解得：（舍去）；③當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，令，解得：（舍去），令，解得：（舍去）.綜上所述：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)值域的求解、根據(jù)二次函數(shù)最值求解參數(shù)值的問題；求解參數(shù)值的關(guān)鍵是能夠根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸位置，確定最值點(diǎn)，進(jìn)而利用最值構(gòu)造方程求得結(jié)果.19、（1）（2）【解題分析】

（1）正弦定理得邊化角整理可得，化簡(jiǎn)即得答案．（2）由（1）知，結(jié)合題意由余弦定理可解得，，從而計(jì)算出面積．【題目詳解】（1）由正弦定理得，所以即即有，即所以（2）由（1）知，即，又因?yàn)?，所以由余弦定理得：，即，解?所以，又因?yàn)?，所以，故的面積為=.【題目點(diǎn)撥】正弦定理與余弦定理是高考的重要考點(diǎn)，本題主要考查由正余弦定理解三角形，屬于一般題．20、(1)證明見解析；(2)【解題分析】

（1）利用PO⊥AC，OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．可證明PO⊥面ABC，即可得平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）得PO⊥面ABC，過O作OM⊥CD于M，連接PM，則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的補(bǔ)角．解三角形POM即可．【題目詳解】（1）∵AP＝CP，O是AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC，∵PO＝1，OB＝2，．∴OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，∴PO⊥面ABC，∵PO?面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）得PO⊥面ABC，過O作OM⊥CD于M，連接PM，則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的平面角的補(bǔ)角．∵OC1，∴AC＝2，AB，∴CD．∴S△COD∴，∴OM．PM．∴∴二面角P﹣CD﹣B的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間面面垂直的證明，空間二面角的求解，作出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．21、（1）；（2），.【解題分析】

⑴由所給的頻率分布直方圖計(jì)算出“足球迷”人數(shù)和“非足球迷”人數(shù)，填入列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得到答案⑵由頻率分布直方圖知，抽到“足球迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“足球迷”的概率為，由于，從而給出分布列，再由公式計(jì)算出均值和方差【題目詳解】(1)由所給的頻率分布直方圖知，“足球迷”人數(shù)為100(100.020＋100.005)＝25，“非足球迷”人數(shù)為75，從而22列聯(lián)表如下非足球迷足球迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將22列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算：，因?yàn)?.706<3.030<3.841，所以有90%的把握認(rèn)為“足球迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖知，抽到“足球迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“足球迷”的概率為.由題意，X～B，從而X的分布列為X0123PEX＝np＝3＝，DX＝np(1－p)＝3.【題目