2024屆廣東省執(zhí)信中學(xué)、廣州二中、廣州六中、廣雅中學(xué)四校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆廣東省執(zhí)信中學(xué)、廣州二中、廣州六中、廣雅中學(xué)四校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是側(cè)面的兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則直線(xiàn)與底面所成角的正切值為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．3．甲乙丙丁四名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人只報(bào)一項(xiàng)，記事件“四名同學(xué)所報(bào)比賽各不相同”，事件“甲同學(xué)單獨(dú)報(bào)一項(xiàng)比賽”，則()A． B． C． D．4．設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則函數(shù)存在零點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．5．命題：在三角形中，頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)所得三線(xiàn)段交于一點(diǎn)，且分線(xiàn)段長(zhǎng)度比為，類(lèi)比可得在四面體中，頂點(diǎn)與所對(duì)面重心的連線(xiàn)所得四線(xiàn)段交于一點(diǎn)，且分線(xiàn)段比為（）A． B． C． D．6．平行于直線(xiàn)且與圓相切的直線(xiàn)的方程是（）A．或 B．或C．或 D．或7．從10名男生6名女生中任選3人參加競(jìng)賽，要求參賽的3人中既有男生又有女生，則不同的選法有()種A．1190 B．420 C．560 D．33608．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A． B． C． D．9．一個(gè)盒子里有7個(gè)紅球，3個(gè)白球，從盒子里先取一個(gè)小球，然后不放回的再?gòu)暮凶永锶〕鲆粋€(gè)小球，若已知第1個(gè)是紅球的前提下，則第2個(gè)是白球的概率是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．12．2019年5月31日晚，大連市某重點(diǎn)高中舉行一年一度的畢業(yè)季燈光表演.學(xué)生會(huì)共安排6名高一學(xué)生到學(xué)校會(huì)議室遮擋4個(gè)窗戶(hù)，要求兩端兩個(gè)窗戶(hù)各安排1名學(xué)生，中間兩個(gè)窗戶(hù)各安排兩名學(xué)生，不同的安排方案共有（）A．720 B．360 C．270 D．180二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為，則_________．14．某保險(xiǎn)公司新開(kāi)設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù).規(guī)定該份保單任一年內(nèi)如果事件發(fā)生，則該公司要賠償元，假若在一年內(nèi)發(fā)生的概率為，為保證公司收益不低于的，公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險(xiǎn)金最少為_(kāi)___________元.15．為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況,隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)(單位:),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中,有_______株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)大于110.16．?dāng)?shù)列中，已知，50為第________項(xiàng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，分別是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知滿(mǎn)足，．（1）求，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)的猜想.19．（12分）為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī)進(jìn)行分析．下面是該生7次考試的成績(jī)．?dāng)?shù)學(xué)888311792108100112物理949110896104101106（1）他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的證明；（2）已知該生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)是線(xiàn)性相關(guān)的，若該生的物理成績(jī)達(dá)到115分，請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少？并請(qǐng)你根據(jù)物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議．參考公式：方差公式：，其中為樣本平均數(shù).，。20．（12分）按照國(guó)家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．某企業(yè)有甲乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品，為了檢測(cè)這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本對(duì)規(guī)定的質(zhì)量指標(biāo)值進(jìn)行檢測(cè)．表1是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖．表1：甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表（1）將頻率視為概率，若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則其中合格品約有多少件？（2）填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)：21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.22．（10分）直三棱柱中，，，，F(xiàn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）點(diǎn)M在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

通過(guò)作DH垂直BC，可知為直線(xiàn)與底面所成角，于是可求得答案.【題目詳解】如圖，過(guò)D作DH垂直BC于點(diǎn)H，連接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故為直線(xiàn)與底面所成角，而，,故，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線(xiàn)面角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度一般.2、C【解題分析】

根據(jù)特殊位置的所對(duì)應(yīng)的的值，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到答案.【題目詳解】因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，故排除A、D選項(xiàng)，而，所以即是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除B項(xiàng)，故選C項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)圖象，屬于簡(jiǎn)單題.3、D【解題分析】

求出，根據(jù)條件概率公式即可得解.【題目詳解】由題：，.故選：D【題目點(diǎn)撥】此題考查求條件概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出AB的概率和B的概率，根據(jù)條件概率公式計(jì)算求解.4、C【解題分析】

因?yàn)楹瘮?shù)存在零點(diǎn)，所以..【題目詳解】∵函數(shù)存在零點(diǎn)，∴，∴.∵服從，∴.故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求法以及二項(xiàng)分布，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.5、C【解題分析】

如圖，在中，可證明，且與交于O，同理可證其余頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線(xiàn)交于O，即得解.【題目詳解】如圖在四面體中，設(shè)是的重心，連接并延長(zhǎng)交CD于E，連接，則經(jīng)過(guò)，在中，，且與交于O，同理，其余頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線(xiàn)交于O，也滿(mǎn)足比例關(guān)系.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形和四面體性質(zhì)的類(lèi)比推理，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.6、A【解題分析】設(shè)所求直線(xiàn)為，由直線(xiàn)與圓相切得，，解得．所以直線(xiàn)方程為或．選A.7、B【解題分析】

根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和組合的應(yīng)用即可得解.【題目詳解】要求參賽的3人中既有男生又有女生,分為兩種情況：第一種情況：1名男生2名女生，有種選法；第二種情況：2名男生1名女生，有種選法，由分類(lèi)計(jì)算原理可得.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計(jì)算是住店問(wèn)題，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻是相同元素的排列問(wèn)題，利用直接法即可計(jì)算．【題目詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽(yáng)爻情況有，所以該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率為=，故選A．【題目點(diǎn)撥】對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．本題是重復(fù)元素的排列問(wèn)題，所以基本事件的計(jì)算是“住店”問(wèn)題，滿(mǎn)足條件事件的計(jì)算是相同元素的排列問(wèn)題即為組合問(wèn)題．9、B【解題分析】分析：設(shè)已知第一次取出的是紅球?yàn)槭录?，第二次是白球?yàn)槭录惹蟪龅母怕?，然后利用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．詳解：設(shè)已知第一次取出的是紅球?yàn)槭录?，第二次是白球?yàn)槭录?/p>

則由題意知，所以已知第一次取出的是白球，則第二次也取到白球的概率為．

故選：B．點(diǎn)睛：本題主要考查條件概率的求法，熟練掌握條件概率的概率公式是關(guān)鍵．10、B【解題分析】

本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意，可知在恰有兩個(gè)解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)可得，故時(shí)，；時(shí)，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn).故選B.【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.11、D【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個(gè)大圓與四棱柱的底面相切的半球，據(jù)此可以計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】解：由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個(gè)大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

由題意分兩步進(jìn)行，第一步為在6名學(xué)生中任選2名安排在兩端兩個(gè)窗戶(hù)，可得方案數(shù)量，第二步為將剩余的6名學(xué)生平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個(gè)窗戶(hù)，兩者方案數(shù)相乘可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：①在6名學(xué)生中任選2名安排在兩端兩個(gè)窗戶(hù)，有中情況；②將剩余的6名學(xué)生平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個(gè)窗戶(hù)，有種情況，則一共有種不同的安排方案，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，相對(duì)不難，注意運(yùn)算準(zhǔn)確.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)直接求解即可.【題目詳解】本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的求解，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

用表示收益額，設(shè)顧客繳納保險(xiǎn)費(fèi)為元，則的取值為和，由題意可計(jì)算出的期望．【題目詳解】設(shè)顧客繳納的保險(xiǎn)金為元，用表示收益額，設(shè)顧客繳納保險(xiǎn)費(fèi)為元，則的取值為和，，則，，的最小值為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用離散型隨機(jī)變量的期望解決實(shí)際問(wèn)題，解題關(guān)鍵是正確理解題意與期望的意義．屬于基礎(chǔ)題．15、18【解題分析】

根據(jù)頻率小矩形的面積小矩形的高組距底部，求出周長(zhǎng)大于110的頻率，再根據(jù)頻數(shù)樣本容量頻率求出對(duì)應(yīng)的頻數(shù).【題目詳解】由頻率分布直方圖知：底部周長(zhǎng)大于110的頻率為，所以底部周長(zhǎng)大于110的頻數(shù)為（株），故答案是：18.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)頻率分布直方圖的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，注意小矩形的面積表示的是對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，屬于簡(jiǎn)單題目.16、4【解題分析】

方程變?yōu)?，設(shè)，解關(guān)于的二次方程可求得。【題目詳解】，則，即設(shè)，則，有或取得，，所以是第4項(xiàng)?！绢}目點(diǎn)撥】發(fā)現(xiàn)，原方程可通過(guò)換元，變?yōu)殛P(guān)于的一個(gè)二次方程。對(duì)于指數(shù)結(jié)構(gòu)，，等，都可以通過(guò)換元變?yōu)槎涡问窖芯俊Ｈ?、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）依據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，在面中尋找一條直線(xiàn)與平行，即可由線(xiàn)面平行的判定定理證出；(2)建系，分別求出平面，平面的法向量，根據(jù)二面角的計(jì)算公式即可求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié)，則，所以與平行與且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，平面，所以平面.（2）令，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在菱形中，，所以，，在中，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以，所以可取，又因平面的法向量，所以.由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理應(yīng)用以及二面角的求法，常見(jiàn)求二面角的方法有定義法，三垂線(xiàn)法，坐標(biāo)法．18、（1）（）（2）見(jiàn)解析【解題分析】試題分析：（1）依題意，有，，故猜想；（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)）時(shí)，猜想成立，即，證明當(dāng)時(shí)，也成立.結(jié)合①②可知，猜想對(duì)一切都成立.試題解析：（1）猜想：（）（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（）①當(dāng)時(shí)，，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)）時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，即對(duì)時(shí)，猜想也成立；結(jié)合①②可知，猜想對(duì)一切都成立.考點(diǎn)：合情推理與演繹推理、數(shù)學(xué)歸納法．19、（1）物理成績(jī)更穩(wěn)定.證明見(jiàn)解析；（2）130分，建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性，將有助于物理成績(jī)的進(jìn)一步提高【解題分析】

（1）分別算出物理成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；（2）利用最小二乘法，求出關(guān)于的回歸方程，再用代入回歸方程，求得.【題目詳解】（1），，∴，∴，從而，∴物理成績(jī)更穩(wěn)定.（2）由于與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)回歸系數(shù)公式得到，，∴線(xiàn)性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性，將有助于物理成績(jī)的進(jìn)一步提高【題目點(diǎn)撥】本題考查統(tǒng)計(jì)中的方差、回歸直線(xiàn)方程等知識(shí)，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力，要求計(jì)算要細(xì)心，防止計(jì)算出錯(cuò).20、（1）800件；（2）見(jiàn)解析；【解題分析】

（1）結(jié)合頻數(shù)分布表，求出滿(mǎn)足條件的概率,再乘以5000即可；（2）求出2×2列聯(lián)表，計(jì)算K2值，判斷即可【題目詳解】（1）由圖知，乙套設(shè)備生產(chǎn)的不合格品率約為；∴乙套設(shè)備生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中不合格品約為（件）；（2）由表1和圖得到列聯(lián)表：甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品484290不合格品2810合計(jì)5050100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得；∴有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．21、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ