江西省南城縣二中2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測試題含解析

江西省南城縣二中2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若與的圖象上分別存在點、，使得、關于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A． B．2C． D．3．若均為單位向量，且，則的最小值為（）A． B．1 C． D．4．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)5．等差數(shù)列的前項和是，且，，則（）A．39 B．91 C．48 D．516．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．7．正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則的最小值是()A． B．2 C． D．8．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世園會的中國館服務，任務是組織游客參加“祝福祖國征集留言”、“歡樂世園共繪展板”、“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項活動，其中1人負責“征集留言”，2人負責“共繪展板”，3人負責“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．180種9．分形幾何學是美籍法國數(shù)學家伯努瓦??曼德爾布羅特()在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科,它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路．下圖按照的分形規(guī)律生長成一個樹形圖,則第13行的實心圓點的個數(shù)是()A．55個 B．89個 C．144個 D．233個10．在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.若與有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．或11．在平面幾何中有如下結論：正三角形的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則，推廣到空間中可以得到類似結論：已知正四面體的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則為（）A． B． C． D．12．已知,則等于(

)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設定義域為的偶函數(shù)滿足，當時，，若關于的方程恰有兩個根，則實數(shù)的取值范圍為__________．14．觀察下面一組等式：，，，，根據(jù)上面等式猜測，則__________．15．如果復數(shù)的實部與虛部相等，則_______.16．已知關于的實系數(shù)方程有一個模為1的虛根，則的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的方程為.已知，兩點的坐標分別為，.（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）若點在曲線位于第一象限的圖象上運動，求四邊形的面積的最大值.18．（12分）已知過點的橢圓的左右焦點分別為、，為橢圓上的任意一點，且，，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）直線交橢圓于，兩點，若點始終在以為直徑的圓外，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）橢圓的左右焦點分別為，與軸正半軸交于點，若為等腰直角三角形，且直線被圓所截得的弦長為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于點，線段的中點為，射線與橢圓交于點，點為的重心，求證：的面積為定值.20．（12分）求的二項展開式中的第5項的二項式系數(shù)和系數(shù).21．（12分）設函數(shù).（1）若是的極值點，求的值.（2）已知函數(shù)，若在區(qū)間（0，1）內(nèi)僅有一個零點，求的取值范圍.22．（10分）在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的值；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求得關于對稱函數(shù)，由與圖像有公共點來求得實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】設函數(shù)上一點為，關于對稱點為，將其代入解析式得，即.在同一坐標系下畫出和的圖像如下圖所示，由圖可知，其中是的切線.由得，而，只有A選項符合，故選A.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)關于直線對稱函數(shù)解析式的求法，考查兩個函數(shù)有交點問題的求解策略，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.2、D【解題分析】

連接，利用三角形邊之間的關系得到，，代入離心率公式得到答案.【題目詳解】連接，依題意知：，，所以.【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關系和雙曲線性質(zhì)得到的關系式是解題的關鍵.3、A【解題分析】

∴則當與同向時最大，最小，此時=，所以=-1，所以的最小值為，故選A點睛：本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律，考查向量模的求解，考查學生分析問題解決問題的能力，求出，表示出，由表達式可判斷當與同向時，最小.4、A【解題分析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現(xiàn)增長趨勢，高峰都出現(xiàn)在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【題目詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.【題目點撥】本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎題.5、B【解題分析】解：由題意結合等差數(shù)列的通項公式有：，解得：，數(shù)列的前13項和：.本題選擇B選項.6、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個選項，再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個選項.【題目詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.7、A【解題分析】試題分析：由得解得，再由得，所以，所以.考點：數(shù)列與基本不等式.【思路點晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項和公比，也即求出等比數(shù)列的基本元，在求解過程中，先對具體的數(shù)值條件進行化簡，可求出，由此化簡第一個條件，可得到；接下來第二步是基本不等式常用的處理技巧，先乘以一個常數(shù)，再除以這個常數(shù)，構造基本不等式結構來求.8、B【解題分析】

從6人中選1人負責“征集留言”，從剩下的人中選2人負責“共繪展板”，再從剩下的人中選3人負責“發(fā)放彩繩，即可得出不同的分配方案.【題目詳解】從6人中選1人負責“征集留言”，從剩下的人中選2人負責“共繪展板”，再從剩下的人中選3人負責“發(fā)放彩繩，則不同的分配方案共有種故選：B【題目點撥】本題主要考查了分組分配問題，屬于基礎題.9、C【解題分析】分析：一一的列舉出每行的實心圓點的個數(shù)，觀察其規(guī)律，猜想：，得出結論即可，選擇題我們可以不需要完整的理論證明．詳解：行數(shù)12345678910111213球數(shù)01123581321345589144，由此猜想：，故選C．點睛：觀察規(guī)律，把行數(shù)看成數(shù)列的項數(shù)，個數(shù)看作數(shù)列的項，盡可能的多推導前面有限項看出規(guī)律．10、D【解題分析】

先把曲線，的極坐標方程和參數(shù)方程轉化為直角坐標方程和一般方程，若與有且只有一個公共點可轉化為直線和半圓有一個公共點，數(shù)形結合討論a的范圍即得解.【題目詳解】因為曲線的極坐標方程為即故曲線的直角坐標方程為：.消去參數(shù)可得曲線的一般方程為：，由于，故如圖所示，若與有且只有一個公共點，直線與半圓相切，或者截距當直線與半圓相切時由于為上半圓，故綜上：實數(shù)的取值范圍是或故選：D【題目點撥】本題考查了極坐標、參數(shù)方程與直角坐標方程、一般方程的互化，以及直線和圓的位置關系，考查了學生數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.11、B【解題分析】

平面圖形類比空間圖形,二維類比三維,類比平面幾何的結論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結論.【題目詳解】設正四面體P-ABC的邊長為a，設E為三角形ABC的中心，H為正四面體P-ABC的中心，則HE為正四面體P-ABC的內(nèi)切球的半徑r,BH=PH且為正四面體P-ABC的外接球的半徑R，所以BE=，所以在中，，解得，所以R=PE-HE=，所以，根據(jù)的球的體積公式有，，故選：B.【題目點撥】本題考查類比推理，常見類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復數(shù)與實數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.12、C【解題分析】分析：根據(jù)條件概率的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意，根據(jù)條件概率的計算公式，則，故選C.點睛：本題主要考查了條件概率的計算公式的應用，其中熟記條件概率的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)滿足，得到的周期是4，再根據(jù)方程恰有兩個根，轉化為兩個函數(shù)圖象交點問題求解.【題目詳解】因為滿足，所以，所以函數(shù)的周期是4，又因為是偶函數(shù)，且當時，，作出的圖象，如圖所示：已知，所以，當時，，，當時，，，因為關于的方程恰有兩個根，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與方程，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.14、【解題分析】由已知可得，因此，從而．點睛：歸納推理是通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)，從已知相同本質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題，本題是數(shù)的歸納，它包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系有關的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．15、7【解題分析】

根據(jù)復數(shù)除法運算可求得，根據(jù)實部與虛部相等可構造方程求得結果.【題目詳解】，，解得：.故答案為：.【題目點撥】本題考查根據(jù)復數(shù)的實部和虛部定義求解參數(shù)值的問題，涉及到復數(shù)的除法運算問題，屬于基礎題.16、【解題分析】

根據(jù)系數(shù)方程有虛根,則可得.設方程的虛根為:,則另一個虛根為:,其模為1,可得,即可求得的取值范圍.【題目詳解】設方程的虛根為:,另一個虛根為:由韋達定理可得:故:實系數(shù)方程有一個模為1的虛根故若方程有虛根,則可得故答案為:.【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式乘除運算,韋達定理的使用,實系數(shù)方程有虛數(shù)根的條件,共軛復數(shù)的性質(zhì)、共軛復數(shù)的模,意在考查基礎知識的掌握與綜合應用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（為參數(shù)）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示出曲線的參數(shù)方程；（2）根據(jù)曲線的參數(shù)方程設曲線上的點，結合點在第一象限得出，將四邊形的面積轉化為和的面積之和，并利用角的三角函數(shù)式表示，利用輔助角公式化簡，再利用三角函數(shù)基本性質(zhì)求出最大值?！绢}目詳解】（1）曲線的方程為，可化參數(shù)方程為(為參數(shù)).（2）設曲線上的點，因為在第一象限，所以.連接,則=.當時，四邊形面積的最大值為.【題目點撥】本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查參數(shù)方程的應用，一般而言，由圓或橢圓上的動點引起的最值或取值范圍問題，可以將動點坐標利用圓或橢圓的參數(shù)方程設為參數(shù)方程的形式，并借助三角恒等變換公式以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)求解。18、(1).(2)或.【解題分析】試題分析：（1）由題意，利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出a、c的關系，再根據(jù)橢圓C過點A，求出a、b的值，即可寫出橢圓C的標準方程；（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），根據(jù)題意知x1=﹣2，y1=0；聯(lián)立方程消去y，由方程的根與系數(shù)關系求得x2、y2，由點A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，?＞0；由此列不等式求出k的取值范圍．試題解析：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，由橢圓定義得，∴；又橢圓：（）過點，∴；∴，解得，；∴橢圓的標準方程為；（2）設，，聯(lián)立方程，消去得：；依題意：恒過點，此點為橢圓的左頂點，∴，，①由方程的根與系數(shù)關系可得，；②可得；③由①②③，解得，；由點在以為直徑的圓外，得為銳角，即；由，，∴；即，整理得，，解得：或.∴實數(shù)的取值范圍是或.點睛：在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時，常從以下方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關鍵是兩個參數(shù)之間建立等量關系；③利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.19、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)分析可得，又由直線與圓的位置關系可得的值，進而可得的值，將的值代入橢圓的方程即可得結論；（2）根據(jù)題意，分、兩種情況討論，若直線的斜率不存在，容易求出的面積，若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結合一元二次方程中根與系數(shù)的關系，求出的面積消去參數(shù)，綜合兩種情況可得結論.詳解：（1）由為等腰直角三角形可得，直線：被圓圓所截得的弦長為2，所以，所以橢圓的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則.若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，即，則，，，由題意點為重心，設，則，所以，，代入橢圓，得，整理得，設坐標原點到直線的距離為，則的面積.綜上可得的面積為定值.點睛：本題主要考查待定待定系數(shù)法求拋物線及橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點在曲線上問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊