上海市寶山區(qū)淞浦中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

上海市寶山區(qū)淞浦中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形必為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能2．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4 B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 D．丁地：總體均值為2，總體方差為33．2017年1月我市某校高三年級(jí)1600名學(xué)生參加了全市高三期末聯(lián)考，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)（試卷滿分150分）．統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次期末聯(lián)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為A．120 B．160 C．200 D．2404．若，，，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知直線l1：與直線l2：垂直，則的值為（）A．﹣2 B． C．2 D．6．已知集合，，則()A． B． C． D．7．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線對(duì)折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．8．8名學(xué)生和2位教師站成一排合影，2位教師不相鄰的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．10．已知，函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是()A． B． C． D．11．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．12．（）A．5 B． C．6 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從甲，乙，丙，丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，則甲、乙兩人中有且只一個(gè)被選中的概率為__________．14．已知向量.若與共線，則在方向上的投影為________.15．中，，則的最大值為____________.16．已知拋物線上的點(diǎn)，則到準(zhǔn)線的距離為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)的資料表明:居民住宅距最近消防站的距離(單位:千米)和火災(zāi)所造成的損失數(shù)額(單位:千元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:距消防站的距離(千米)火災(zāi)損失數(shù)額(千元)（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)(精確到)說明與之間具有線性相關(guān)關(guān)系;（2）求關(guān)于的線性回歸方程(精確到);（3）若發(fā)生火災(zāi)的某居民區(qū)距最近的消防站千米,請(qǐng)?jiān)u估一下火災(zāi)損失(精確到).參考數(shù)據(jù):參考公式:回歸直線方程為,其中18．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α＜π且），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．已知直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且．（1）求α的大小；（2）過A、B分別作l的垂線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|．19．（12分）某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集了近個(gè)月廣告投入量（單位：萬元）和收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：月份廣告投入量收益他們分別用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值：（Ⅰ）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；（Ⅱ）殘差絕對(duì)值大于的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：（ⅰ）剔除異常數(shù)據(jù)后求出（Ⅰ）中所選模型的回歸方程；（ⅱ）若廣告投入量時(shí)，該模型收益的預(yù)報(bào)值是多少？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.20．（12分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間．21．（12分）為了增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某社團(tuán)從男生中隨機(jī)抽取了31人，從女生中隨機(jī)抽取了51人參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生412131女生213151總計(jì)3151111（1）試判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）為參加市舉辦的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，學(xué)校舉辦預(yù)選賽，現(xiàn)在環(huán)保測(cè)試優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽，已知在環(huán)保測(cè)試中優(yōu)秀的同學(xué)通過預(yù)選賽的概率為23，若隨機(jī)變量X表示這3人中通過預(yù)選賽的人數(shù)，求X附:K2＝1．5111．4111．1111．1111．1111．4551．7182．7133．33511．82822．（10分）某公司的一次招聘中，應(yīng)聘者都要經(jīng)過三個(gè)獨(dú)立項(xiàng)目，，的測(cè)試，如果通過兩個(gè)或三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試即可被錄用.若甲、乙、丙三人通過，，每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率都是.（1）求甲恰好通過兩個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率；（2）設(shè)甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由于為三角形內(nèi)角，故，所以，即為鈍角，三角形為鈍角三角形，故選B.2、D【解題分析】試題分析：由于甲地總體均值為，中位數(shù)為，即中間兩個(gè)數(shù)（第天）人數(shù)的平均數(shù)為，因此后面的人數(shù)可以大于，故甲地不符合.乙地中總體均值為，因此這天的感染人數(shù)總數(shù)為，又由于方差大于，故這天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位數(shù)為，眾數(shù)為，出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)，故丙地不符合，故丁地符合.考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差3、C【解題分析】結(jié)合正態(tài)分布圖象的性質(zhì)可得：此次期末聯(lián)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.選C.4、A【解題分析】

利用冪指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小即可.【題目詳解】解：，，，∴，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，考查函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

根據(jù)兩直線垂直的條件，得到，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，直線l1：與直線l2：垂直，則滿足，解得，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線垂直的條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

先求出集合M，由此能求出M∩N．【題目詳解】則故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

作出圖形，利用菱形對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角為∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱錐B﹣ACD為正四面體，可得出內(nèi)切球的半徑R，再利用球體的表面積公式可得出答案．【題目詳解】如下圖所示，易知△ABC和△ACD都是等邊三角形，取AC的中點(diǎn)N，則DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，過點(diǎn)B作BO⊥DN交DN于點(diǎn)O，可得BO⊥平面ACD．因?yàn)樵凇鰾DN中，，所以，BD1＝BN1+DN1﹣1BN?DN?cos∠BND，則BD＝1．故三棱錐A﹣BCD為正四面體，則其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，又正四面體的高為棱長(zhǎng)的，故．因此，三棱錐A﹣BCD的內(nèi)切球的表面積為．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何體的內(nèi)切球問題，解決本題的關(guān)鍵在于計(jì)算幾何體的棱長(zhǎng)確定幾何體的形狀，考查了二面角的定義與余弦定理，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、A【解題分析】

本題選用“插空法”，先讓8名學(xué)生排列，再2位教師教師再8名學(xué)生之間的9個(gè)位置排列.【題目詳解】先將8名學(xué)生排成一排的排法有種，再把2位教師插入8名學(xué)生之間的9個(gè)位置（包含頭尾的位置），共有種排法，故2位教師不相鄰的排法種數(shù)為種.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合和計(jì)數(shù)原理，此題也可用間接法.特殊排列組合常用的方法有：1、插空法，2、捆綁法.9、D【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中的函數(shù)逐一驗(yàn)證判斷即可.詳解：四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)都是偶函數(shù)，在上三個(gè)函數(shù)在上都遞減，不符合題意，在上遞增的只有，而故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.10、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，可求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可以得到；分離參數(shù)，根據(jù)所得函數(shù)的特征求出的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)樗砸驗(yàn)樵谏鲜菃握{(diào)減函數(shù)所以即所以當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，令，可知雙刀函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以即所以選C【題目點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）..11、A【解題分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.12、A【解題分析】

由題，先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算直接求出結(jié)果即可【題目詳解】由題故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

利用列舉法：從甲，乙，丙，丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，共有6種結(jié)果，其中甲乙兩人中有且只一個(gè)被選取，共4種結(jié)果，由古典概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】從甲，乙，丙，丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，共有（甲乙），（甲丙），（甲?。?，（乙丙），（乙?。?，（丙?。?種結(jié)果，其中甲乙兩人中有且只一個(gè)被選取，有（甲丙），（甲?。?，（乙丙），（乙?。?，共4種結(jié)果，故甲、乙兩人中有且只一個(gè)被選中的概率為46=2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.在求解有關(guān)古典概型概率的問題時(shí)，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)n，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件m，然后根據(jù)公式P=mn14、【解題分析】

利用共線向量的坐標(biāo)表示求出參數(shù)，再依據(jù)投影的概念求出結(jié)果即可．【題目詳解】∵∴.又∵與共線，∴，∴，∴，∴在方向上的投影為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查共線向量的坐標(biāo)表示以及向量投影的概念，注意投影是個(gè)數(shù)量．15、【解題分析】分析：先求出，再利用正弦定理求出，再利用三角變換和基本不等式求其最大值.詳解：由題得,由正弦定理得所以的最大值為.故答案為：點(diǎn)睛：（1）本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查正弦定理和三角變換，考查基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的解題關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是求出，其二是化簡(jiǎn)得到，再利用基本不等式求最大值.16、【解題分析】

利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，求出，然后求解準(zhǔn)線方程，即可推出結(jié)果。【題目詳解】由拋物線上的點(diǎn)可得，所以拋物線方程：，準(zhǔn)線方程為，則到準(zhǔn)線的距離為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線方程，需熟記拋物線準(zhǔn)線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）（3）火災(zāi)損失大約為千元．【解題分析】分析：⑴利用相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式，即可求得結(jié)果⑵由題中數(shù)據(jù)計(jì)算出，然后計(jì)算出回歸方程的系數(shù)，，即可得回歸方程⑶把代入即可評(píng)估一下火災(zāi)的損失詳解：（1）所以與之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（2），∴與的線性回歸方程為（3）當(dāng)時(shí)，，所以火災(zāi)損失大約為千元．點(diǎn)睛：本題是一道考查線性回歸方程的題目，掌握求解線性回歸方程的方法及其計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．18、（1）；（2）4.【解題分析】

（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果．（2）直接利用關(guān)系式求出結(jié)果．【題目詳解】（1）由已知直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)，0≤α＜π且），則：，∵，，∴O到直線l的距離為3，則，解之得．∵0＜α＜π且，∴（2）直接利用關(guān)系式，解得：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．19、（1）應(yīng)該選擇模型①，理由見解析（2）（?。áⅲ窘忸}分析】

（1）結(jié)合題意可知模型①殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，即可。（2）（i）利用回歸直線參數(shù)計(jì)算方法，分別得到，建立方程，即可。（ii）把代入回歸方程，計(jì)算結(jié)果，即可。【題目詳解】（Ⅰ）應(yīng)該選擇模型①，因?yàn)槟Ｐ廷贇埐铧c(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.（Ⅱ）（?。┨蕹惓?shù)據(jù)，即月份為的數(shù)據(jù)后，得；.；.；，所以關(guān)于的線性回歸方程為：.（ⅱ）把代入回歸方程得：，故預(yù)報(bào)值約為萬元.【題目點(diǎn)撥】本道題考查了回歸方程的計(jì)算方法，難度中等。20、(1).(2)，；，.【解題分析】分析：（1）分別利用兩角和的正弦、余弦公式及二倍角正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后利用用公式求周期即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱