福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）．A． B． C． D．2．設(shè)雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足.若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)只在的左支上，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．如圖所示，這是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C．和 D．5．若，；，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．6．若，則為（）A．－233 B．10 C．20 D．2337．已知的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．8．若方程在區(qū)間（-1,1）和區(qū)間（1,2）上各有一根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．或9．若集合，，則（）A． B． C． D．10．在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為。若射線(xiàn)與曲線(xiàn)和曲線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)（除極點(diǎn)外），則等于（）A． B． C．1 D．11．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,,則不等式的解集為()A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14．下列命題中①若，則函數(shù)在取得極值；②直線(xiàn)與函數(shù)的圖像不相切；③若(為復(fù)數(shù)集），且，則的最小值是3；④定積分.正確的有__________．15．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答).16．隨機(jī)變量的分布列如下表：01Pab且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線(xiàn)的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線(xiàn)的普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的值．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）一輛汽車(chē)前往目的地需要經(jīng)過(guò)個(gè)有紅綠燈的路口.汽車(chē)在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過(guò)），遇到紅燈的概率為（必須停車(chē)）.假設(shè)汽車(chē)只有遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值.（1）求汽車(chē)在第個(gè)路口首次停車(chē)的概率；（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）寫(xiě)出的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的結(jié)論.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知條件p：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；條件q：雙曲線(xiàn)的離心率．（1）若a=2，P={m|m滿(mǎn)足條件P}，Q={m|m滿(mǎn)足條件q}，求；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為4求得．【題目詳解】解：對(duì)于，對(duì)于10﹣3r＝4，∴r＝2，則x4的項(xiàng)的系數(shù)是C52（﹣1）2＝10故選．點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用.2、C【解題分析】

本題需要分類(lèi)討論，首先需要討論“在雙曲線(xiàn)的右支上”這種情況，然后討論“在雙曲線(xiàn)的左支上”這種情況，然后根據(jù)題意，即可得出結(jié)果。【題目詳解】若在雙曲線(xiàn)的右支上，根據(jù)雙曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)可知，此時(shí)的最小值為，因?yàn)闈M(mǎn)足題意的點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支，所以，即，所以①，若在雙曲線(xiàn)的左支上，根據(jù)雙曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)可知，此時(shí)的最小值為，想要滿(mǎn)足題意的點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支上，則需要滿(mǎn)足，即，所以②由①②得，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了圓錐曲線(xiàn)中雙曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，考查雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍，考查雙曲線(xiàn)的長(zhǎng)軸、短軸以及焦距之間的關(guān)系，考查推理能力，是中檔題。3、A【解題分析】由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體，上半部分為底面半徑為1，高為2的兩個(gè)半圓柱，故其體積為，故選A.4、C【解題分析】

求導(dǎo)，令，故或，經(jīng)檢驗(yàn)可得點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】因，令，故或，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)，均不在直線(xiàn)上，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，考查兩直線(xiàn)平行的條件：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別確定，，的范圍，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?，，所?故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)數(shù)與指數(shù)比較大小的問(wèn)題，熟記對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.6、A【解題分析】

對(duì)等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)x＝1時(shí)，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【題目詳解】對(duì)等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查了賦值法求解二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和的方法，利用導(dǎo)數(shù)得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解題的關(guān)鍵．7、D【解題分析】

根據(jù)所給的二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫(xiě)出第項(xiàng)，整理成最簡(jiǎn)形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結(jié)果．【題目詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，由題意得，解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，在這種題目中通項(xiàng)是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具．8、B【解題分析】

函數(shù)f（x）＝在區(qū)間（﹣1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，則，解得即可．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）＝ax2﹣2x+1在區(qū)間（﹣1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，∴，即，解得a＜1，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷定理，理解零點(diǎn)判定定理的內(nèi)容，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式組是解本題的關(guān)鍵．9、A【解題分析】

分別化簡(jiǎn)集合和，然后直接求解即可【題目詳解】∵，，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題10、A【解題分析】

把分別代入和，求得的極經(jīng)，進(jìn)而求得，得到答案．【題目詳解】由題意，把代入，可得，把代入，可得，結(jié)合圖象，可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合法的解題思想方法，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

由已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+lnx，求導(dǎo)，根據(jù)已知求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可的解集．【題目詳解】令g(x)=f(x)+lnx(x>0)，則g'(x)=，又函數(shù)滿(mǎn)足，∴g'(x)=，g(x)在單調(diào)遞增.∵，∴，∴當(dāng)，，當(dāng)，，∴當(dāng)，則不等式成立.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)綜合，一般采用構(gòu)造函數(shù)法，求導(dǎo)后利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)特殊值解出不等式所對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可，屬于中等題.12、A【解題分析】試題分析：函數(shù)定義域是，，，設(shè)，則，設(shè)，則，，易知，即也即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，因此是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，，函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，．故選B．考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的知識(shí)，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，題意只要函數(shù)的最小值不大于0，因此要確定的正負(fù)與零點(diǎn)，又要對(duì)求導(dǎo)，得，此時(shí)再研究其分子，于是又一次求導(dǎo)，最終確定出函數(shù)的最小值，本題解題時(shí)多次求導(dǎo)，考查了學(xué)生的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，難度較大．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究圖像，再根據(jù)與圖像交點(diǎn)情況確定實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：令，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作與圖像，由圖可得要使函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，需點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．14、②③④【解題分析】分析：①結(jié)合極值點(diǎn)的概念，加以判斷即可；②求出導(dǎo)數(shù)f′（x），由切線(xiàn)的斜率等于f′（x0），根據(jù)三角函數(shù)的值域加以判斷即可；③|z+2﹣2i|=1表示圓，|z﹣2﹣2i|的幾何意義兩點(diǎn)的距離，通過(guò)連接兩定點(diǎn)，由原定特性即可求出最小值；④令y=，則x2+y2=16（y≥0），點(diǎn)（x，y）的軌跡表示半圓，則該積分表示該圓面積的．詳解：①若，且是變號(hào)零點(diǎn)，則函數(shù)在取得極值，故選項(xiàng)不正確；②直線(xiàn)與函數(shù)的圖像不相切；直線(xiàn)化為函數(shù)形式為，，，，兩者不能相切，故選項(xiàng)正確;③|z+2﹣2i|=1的幾何意義是以A（﹣2，2）為圓心，半徑為1的圓，|z﹣2﹣2i|的幾何意義是圓上一點(diǎn)到點(diǎn)B（2，2）的距離，連接AB并延長(zhǎng)，顯然最小值為AB﹣1=4﹣1=3，故③正確；④令y=，則x2+y2=16（y≥0），點(diǎn)（x，y）的軌跡表示半圓，定積分表示以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓面積的，故定積分=，故④正確．故答案為：②③④點(diǎn)睛：本題以命題的真假為載體考查函數(shù)的極值概念，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用于求切線(xiàn)方程，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，定積分的幾何意義及求法，是一道基礎(chǔ)題．注意積分并不等于面積，解決積分問(wèn)題的常見(jiàn)方法有：面積法，當(dāng)被積函數(shù)為正時(shí)積分和面積相等，當(dāng)被積函數(shù)為負(fù)時(shí)積分等于面積的相反數(shù)；應(yīng)用公式直接找原函數(shù)的方法；利用被積函數(shù)的奇偶性得結(jié)果.15、【解題分析】由已知得到展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令r=12,得到常數(shù)項(xiàng)為；故答案為：18564.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).16、【解題分析】

先由及概率和為1，解得，再利用方差公式計(jì)算.【題目詳解】解：因?yàn)?，又?/p>

所以，.

故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）直線(xiàn)l的方程為,圓C的方程為（2）【解題分析】

試題分析：(1)消去參數(shù)可得直線(xiàn)的普通方程為，極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程可得圓C的直角坐標(biāo)方程是(2)利用題意由弦長(zhǎng)公式可得.試題解析：解：（1）∵直線(xiàn)l的參數(shù)方程是（是參數(shù)），∴．即直線(xiàn)的普通方程為．∵，∴∴圓C的直角坐標(biāo)方程為，即或（2）將代入得，∴．∴．18、(1)；(2).【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合函數(shù)的解析式分類(lèi)討論可得不等式的解集為(2)原問(wèn)題等價(jià)于，結(jié)合(1)中的結(jié)論可得時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為試題解析：（1）由題得，，則有或或解得或或，綜上所述，不等式的解集為（2）存在，使不等式成立等價(jià)于由（1）知，時(shí)，，∴時(shí)，，故，即∴實(shí)數(shù)的取值范圍為19、（1）;（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望.【解題分析】

（1）汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)是指汽車(chē)在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)的概率．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．的可能取值為0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1）由題意知汽車(chē)在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)的概率為：．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．則的可能取值為0，2，4，則，，，，的概率分布列為：024數(shù)學(xué)期望．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.20、（1），，，猜想（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）依遞推公式計(jì)算，并把各分子都化為3，可歸納出；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【題目詳解】解：（1），，∴，，，猜想（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，由知猜想成立；②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即則∴時(shí)，猜想成立，根據(jù)①②可知，猜想對(duì)一切正整數(shù)都成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于基礎(chǔ)題．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，在證明時(shí)的命題時(shí)一定要用到時(shí)的歸納假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法．21、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)計(jì)算得線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)垂直，再根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求