人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第8講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算基礎(chǔ)練習(xí)題（含解析）

第8講與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算

「點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

直線和圓的位置關(guān)系

與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算

切線的判定與性質(zhì)

弧長和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系共有三種：圓內(nèi)，圓上，圓外。

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,半徑為r,

當(dāng)d〈r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；

當(dāng)d=i"時(shí)，點(diǎn)在圓上；

當(dāng)d>i?時(shí)，點(diǎn)在圓外。

【典例】

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P(3,4)在。0內(nèi)，則。O的半徑r的取值范圍是

【答案】r>5

【解析】解：I?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),

,'?OP=732+42=5,

?.?點(diǎn)P(3,4)在。0內(nèi)，

；.OP<r,即r>5.

2.如圖，王大伯家屋后有一塊長12m、寬8m的長方形空地，他在以較長邊BC為直徑的半

圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時(shí)拴在A處的一棵樹上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的繩長最

長不超過

【答案】4m

【解析】解：連接0A,交OO于E點(diǎn),

在RtZkOAB中，OB=6m,BA=8m,

所以O(shè)A={B（）2+AB2=]Om；

又因?yàn)镺E=OB=6m,

所以AE=OA-OE=4m.

因此拴羊的繩長最長不超過4m.

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AELBE,則線段

CE的最小值為

【答案】2^/10-2

【解析】解：如圖,

VAE1BE,.?.點(diǎn)E在以AB為直徑的半。O上，

連接CO交。O于點(diǎn)E',

當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)E位置時(shí)，線段CE取得最小值,

AB=4,.*.OA=OB=OE,=2,

?BC=6,.*?BQg2-yjg2g2=2

+Q+VTQ,

貝I」CEr=OC-OE^VlO-2

【方法總結(jié)】

在判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，先要確定兩在要素:

1、點(diǎn)與圓心的距離

2、圓的半徑

然后，通過兩者的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。

【隨堂練習(xí)】

1.（2019春?海曙區(qū)期末）已知四邊形ABC。，用反證法證明"四邊形ABC。中至少有一個(gè)角

是直角或鈍角”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（）

A.四個(gè)內(nèi)角都是銳角

B.四個(gè)內(nèi)角都是直角或鈍角

C.沒有一個(gè)內(nèi)角是鈍角

D.沒有一個(gè)內(nèi)角是直角

【解答】解：用反證法證明"四邊形ABCD中至少有一個(gè)角是直角或鈍角”時(shí)第一步應(yīng)假

設(shè)：四個(gè)內(nèi)角都是銳角.

故選：A.

2.（2019春?萍鄉(xiāng)期末）用反證法證明“在"BC中,A8=AC,則ZB是銳角”，應(yīng)先假設(shè)（）

A.在AA8C中，N8一定是直角

B.在AABC中，NB是直角或鈍角

C.在AABC中，NB是鈍角

D.在AABC中，NB可能是銳角

【解答】解：用反證法證明命題：'“ABC中，若AB=AC,則NB是銳角”，

首先應(yīng)假設(shè)是直角或鈍角，

故選：B.

3.（2019?新田縣一模）下列說法正確的是（）

A.菱形的對(duì)角線垂直且相等

B.到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上

C.點(diǎn)到直線的距離就是點(diǎn)到直線的垂線段

D.過三點(diǎn)確定一個(gè)圓

【解答】解：A、菱形的對(duì)角線垂直但不一定相等，故錯(cuò)誤；

B、到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上，正確；

C、點(diǎn)到直線的距離就是點(diǎn)到直線的垂線段的長度，故錯(cuò)誤；

￡＞、過不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤，

故選：B.

4.（2019?渦陽縣二模）如圖，AABC內(nèi)接于。O,若NOA8=35。，則NC的度數(shù)是（)

A.35°B.45°C.65°D.55°

【解答】解：連接08,如圖，

*：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=35°,

：.NAO8=180°-35°-35°=110°,

：.ZC=—ZAOB=55°.

2

5.（2019嗨口一模）如圖，A。是外接圓的直徑.若乙8=64。，則ND4C等于（）

A.26°B.28°C.30°D,32°

【解答】解：YA。為直徑，

ZACD=90°,

■:ZADC=ZB=64°9

：.ZDAC=90°-64°=26°.

故選：A.

6.(2019?濟(jì)寧二模)已知"BC的三邊a,b,c,滿足J+/+IC-6|+50=10“+10b,則“BC

的外接圓半徑為()

A.2MB.至C.4D.坦

82

【解答】解：*/a2+b^+\c-6|+50=10a+10b,

Aa2-10a+25+/-10Z?+25+|c-6|=0,

(a-5)2+(ft-5)2+|C-6)=0,

?\a-5=0,b-5=0,c-6=0,

??u=b=59c=6,

：.AC=BC=59AB=6f

作COLAB于點(diǎn)D,

貝ijAO=3,

/,CDNAC2-AD2"4,

設(shè)AABC的外接圓的半徑為r,

則OC=心OD=4-r,OA=rf

/.32+(4-r)2=尸

解得，尸至，

8

故選：B.

7.（2019?社旗縣一模）如圖，在己知的^ABC中，按以下步驟：（1）分別以8、C為圓心,

大于工8c的長為半徑作弧，兩弧相交M、N；（2）作直線MM交AB于D,連結(jié)CO,

2

若CD=AD,ZB=20°,則下列結(jié)論：①NA3C=40。②NAC￡)=70。③點(diǎn)D為4ABC的

外心④N4C￡>=90。，正確的有（）

【解答】解：由題意可知，直線是線段的垂直平分線,

：.BD=CD,NB=NBCD=20。,

ZADC=NBCD+NCBD=40。,故4選項(xiàng)正確；

又,.?CD=A。，

：.ZA=ZACD,

又VNA+ZACD+/AOC=180°,

AZACD=10°,故B選項(xiàng)正確，。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

'：AD=CD,BD=CD,

：.AD=BD,即。是AB的中點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；

8.（2019?江北區(qū)一模）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，NA=30。，BC=2,則。。的直

徑長為（）

A.2B.2A/3C.4D.8

【解答】解：連接。8、OC,如圖，

ZBOC=2NA=2x30。=60°,

而OB=OC,

...△OCB為等邊三角形,

：.BC=OB=2.

，圓的直徑為4.

9.（2019?杭州模擬）如圖，AABC內(nèi)接于。。，若/A=a度，則/OBC的度數(shù)為（）

A.aB.90-aC.90+aD.90+2a

：NA=a度，NBOC=2NA

:.NBOC=2a度

?：OB=OC

：.ZOBC=18—'J-=(90-a)度

2

故選：B.

10.（2018秋?宜興市期末）已知。。的半徑為3,OA=4,點(diǎn)P是線段OA的中點(diǎn)，則點(diǎn)P

與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在。。內(nèi)B.點(diǎn)P在。。上

C.點(diǎn)P在。0外D.以上都有可能

【解答】解：因?yàn)?A=4,P是線段0A的中點(diǎn)，所以0P=2,小于圓的半徑，

因此點(diǎn)P在。。內(nèi).

故選：A.

11.（2019?金山區(qū)一模）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC=2,ZB=60°,OA的半徑

為3,那么下列說法正確的是（）

B

「

A.點(diǎn)8、點(diǎn)C都在。4內(nèi)B.點(diǎn)C在。A內(nèi)，點(diǎn)B在。A外

C.點(diǎn)B在。A內(nèi)，點(diǎn)C在。A外D.點(diǎn)8、點(diǎn)C都在。A外

【解答】解：：在RtAABC中，ZC=90°,BC=2,ZB=6Q°,

：./A=30。，

：.AB=2BC=4,AC=MBC=20

：0A的半徑為3,4>3,2/>3,

.?.點(diǎn)8、點(diǎn)C都在OA外.

故選：D.

12.（2018秋?瑞安市期末）已知。。的半徑為5,點(diǎn)尸在外，則OP的長可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：的半徑為5,點(diǎn)P在。。外，

：.OP>5,

故選：D.

13.（2018秋?盧龍縣期末）。。的半徑為4,點(diǎn)尸到圓心。的距離為d,如果點(diǎn)P在圓內(nèi)，

則d（）

A.d<4B.d=4C.d>4D.0<J<4

【解答】解：???點(diǎn)P在圓內(nèi)，且。。的半徑為4,

：.0<d<4,

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)2直線和圓位置關(guān)系

直線和圓的三種位置關(guān)系：

(1)相交：當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交.

(2)相切：當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切.這條直線叫做圓的切線，公共

點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)相離：當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離.

【典例】

1.已知圓的半徑為4,一直線上有一點(diǎn)與此圓的圓心距離為5,則直線與圓的位置關(guān)系為

【答案】相離、相切、相交均有可能

【解析】解：直線上有一點(diǎn)與此圓的圓心距離為5,

則圓心到直線的距離可能大于4或等于4或小于4,

所以直線與圓可能相離，可能相切，也可能相交.

2.已知NBAC=45。，一動(dòng)點(diǎn)O在射線AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)0與點(diǎn)A不重合)，設(shè)OA=x,如果半

徑為1的OO與射線AC有公共點(diǎn)，那么x的取值范圍是

【答案】0<xW近

【解析】解：

當(dāng)。0與直線AC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D,如圖，

ZA=45°,ZODA=90°,OD=1,

；.AD=OD=1,

由勾股定理得：A0=亞，即此時(shí)x=M，

所以當(dāng)半徑為1的。0與射線AC有公共點(diǎn)，x的取值范圍是0<x<亞

3.如圖，點(diǎn)A,B,C均在坐標(biāo)軸上，AO=BO=CO=1,過A,O,C作。D,E是OD上任意

一點(diǎn)，連結(jié)CE,BE,則CE?+BE2的最大值是

【答案】6

???ZAOC=90°,AAC為。D的直徑,

???點(diǎn)D在AC上，

VAO=BO=CO=1,

；.A(0,1),B(-1,0),C(1,0),AC=圾，D(-j-,y),

設(shè)E(m,n),

EB2+EC2=(m-1)2+n2+(m+1)2+n2

=2(m2+n2)+2,

而m2+M表示E點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，

.?.當(dāng)OE為直徑時(shí)，E點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，

VOD為平分NAOC,

m=n,

即m2+n2=m+n

m=n=l，

???此時(shí)EB?+EC2=2(m2+n2)+2=2(1+1)+2=6,

即CE2+BE2的最大值是6.

【方法總結(jié)】

直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化

為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系.下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心

的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑.

一般地，直線與圓的位置關(guān)系有以下定理：

如果。0的半徑為r,圓心0到直線/的距離為d,那么，

(1)dVrO直線/與。O相交；

(2)d=rO直線/與。0相切；

(3)d>r=直線/與。O相離.

【隨堂練習(xí)】

1.(2019?日照一模)如圖，已知直線卜=(》—3,與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),P是

以C(0,l)為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)幺、PB,則A/X3面積的最小值是()

【解答】解：過C作CMLAfi于M,連接AC,MC的延長線交G)C于N,

則由三角形面積公式得，-xABxCM=-xOAxBC9

22

.\5xCM=16,

:.CM=3，

5

.?.圓C上點(diǎn)到直線y=』x-3的最小距離是史-1=口，

455

面積的最小值是'x5xU=U,

252

故選：B.

2.（2019?松江區(qū)二模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)M（4,3）,以M為圓心，r為半徑的圓與

x軸相交，與y軸相離，那么r的取值范圍為（）

A.O<r<5B.3<r<5C.4<r<5D.3<r<4

【解答】解：?.?點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4,3）,

???點(diǎn)M到x軸的距離是3,到y(tǒng)軸的距離是4,

?.?點(diǎn)M（4,3）,以M為圓心，r為半徑的圓與x軸相交，與y軸相離，

.?，的取值范圍是3<r<4,

故選：D.

3.（2019?資中縣一模）已知OO的半徑為4,直線/上有一點(diǎn)與OO的圓心的距離為4,則

直線/與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切

C.相交D.相切、相交均有可能

【解答】解：?.?若直線乙與OO只有一個(gè)交點(diǎn)，即為點(diǎn)P,則直線L與OO的位置關(guān)系為:

相切；

若直線L與。O有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)為點(diǎn)P,則直線Z.與。O的位置關(guān)系為：相交；

.??直線L與OO的位置關(guān)系為：相交或相切.

故選：D.

4.（2018秋?江陰市期末）OO的直徑為4,圓心O到直線/上的距離為3,則直線/與。0（

）

A.相離B.相切C.相交D.相切或相交

【解答】解：的直徑是4,

.??OO的半徑廠=2,

?.?圓心O到直線/的距離為3,3>2,

.?.直線/與OO相離.

故選：A.

5.（2019?武昌區(qū)模擬）RtAABC中，NC=90。，AC^Scm,BC=6cm,以點(diǎn)C

為圓心5cm為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【解答】解：過。點(diǎn)作8,43,垂足為￡>,

?.?NC=90°,BC=6,AC=8,

由勾股定理，得AB=dBC?+AC?=10,

根據(jù)三角形計(jì)算面積的方法可知，BCxAC=ABxCD,

??.OC與直線A8相交.

6.（2019?江岸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,NB=30。，AB=4cm,若以

點(diǎn)C為圓心，以2c為半徑作OC,則與OC的位置關(guān)系是（）

C.相交D.相切或相交

過C作C￡>_LAB于。，WOZADC=ZBDC=90°,

?.?RtAABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=4cmf

/.AC=-AB=2cm,ZA=60°,

2

.?.NACO=30。，

AD=-AC=\cm,

2

在RtAADC中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2,

I2+CD2=22,

解得：CD=>/3,

?以點(diǎn)C為圓心，以2c〃?為半徑作0C,

此時(shí)AB與OC的位置關(guān)系是相交，

故選：C.

7.（2019?武昌區(qū)模擬）RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,以點(diǎn)C為圓心，r為半

徑作OC,則正確的是（）

A.當(dāng)r=2時(shí)，直線他與OC相交B.當(dāng)r=3時(shí)，直線四與G）C相離

C.當(dāng)廠=2.4時(shí)，直線4?與OC相切D.當(dāng)r=4時(shí)，直線A3與0c相切

解：過C作CO_LM于D,

在RtAACB中，由勾股定理得：AB=V32+42=5,

由三角形面積公式得：—x3x4=—x5xCD,

22

CD=2.4,

即C到AB的距離等于OC的半徑長，

OC和AB的位置關(guān)系是相切，

故選：C.

8.（2019?東蘭縣三模）如圖，已知OO圓心是數(shù)軸原點(diǎn)，半徑為1,ZAOB=45。，點(diǎn)尸在

數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過點(diǎn)尸且與平行的直線與OO有公共點(diǎn)，設(shè)OP=x,則x的取值范圍

是（）

A.-掇!k1B.-V2MV2C.OgikV2D.x>^2

【解答】解：?.?半徑為1的圓，4403=45。，過點(diǎn)P且與。4平行的直線與OO有公共點(diǎn),

當(dāng)產(chǎn)C與圓相切時(shí)，切點(diǎn)為C,

..OCYPC,

CO=\,NPOC=45。,OP'=y/2,

???過點(diǎn)P且與。4平行的直線與OO有公共點(diǎn)，即藤W0,

同理點(diǎn)尸在點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，OgiJcy/2

O^lkV2.

知識(shí)點(diǎn)3切線的性質(zhì)及判定定理

1.切線：當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)

叫做切點(diǎn)。

2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。

切線的性質(zhì)定理中要注意：圓的切線是與過切點(diǎn)的半徑垂直，不是與任意半徑都垂直。

3.切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。

注意：切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過交點(diǎn)的半徑垂

直，缺一不可。

4.切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。

5.切線長定理推論:

1、圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等;

如圖，ABCD為圓0的外切四邊形，：AL=AP,BL=BM,CM=CN,DN=DP,故:

AB+CD=AD+BC,即有以上結(jié)論。

2、外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

【典例】

1.如圖，ZABC=80°,O為射線BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，^OB長為半徑作OO,要使

2

射線BA與。O相切，應(yīng)將射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

【答案】50?；?10°

【解析】解：如圖：

①當(dāng)BA，與。0相切，且BA，位于BC上方時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P,連接OP,則NOPB=90。；

RtAOPB中，OB=2OP,

ZA,BO=30°；

/ABA，=50。；

②當(dāng)BA，與。O相切，且BA彳立于BC下方時(shí)；

同①，可求得NABO30。；

此時(shí)/ABA'=80°+30°=l10°；

故旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為50?；?10°,

2.如圖，。01的半徑為1,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)。2為正方形ABCD的中心，ChO?

LCD于點(diǎn)P,OQ2=5.現(xiàn)將。Oi繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180。，則在旋轉(zhuǎn)過程中，

與正方形ABCD的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)次？

【解析】解：Oi的半徑為1.正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)O?為正方形ABCD的中心,

OiCh垂直CD于P點(diǎn),

圓Oi與以P為圓心，以2為半徑的圓相外切,

...根據(jù)圖形得出有3次.

3.如圖，。。的半徑0C=5cm,直線1_LOC,垂足為H,且1交。。于A、B兩點(diǎn)，AB=8cm,

則1沿0C所在直線平移后與。O相切，則平移的距離是:

【答案】2cm或8cm

【解析】解：如圖，連接OB,

VAB±OC,/.AH=BH,

.?.BH」AB」X8=4,

22

在RtABOH中，OB=OC=5,

,'"OH=VOB2-BH2=3,

又?.?將直線1通過平移使直線1與。O相切，

直線1垂直過C點(diǎn)的直徑，垂足為直徑的兩端點(diǎn)，

.??當(dāng)向下平移時(shí)，直線1平移的距離=5-3=2(cm)；

當(dāng)向上平移時(shí)，直線1平移的距離=5+3=8(cm).

綜上：平移的距離是2cm或8cm。

【方法總結(jié)】

1、在遇有圓的切線問題時(shí)，經(jīng)常添加過切點(diǎn)的半徑作為輔助線。

2、遇有圓的直徑時(shí)，通常在圓周上另找一點(diǎn)，從這一點(diǎn)分別向直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連結(jié)線段，

來構(gòu)造一個(gè)直角三角形。

4.如圖，在AABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分/ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B、

M兩點(diǎn)的。。交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)EFB恰為。0的直徑.

判斷AE與。0的位置關(guān)系，并說明理由。

連接0M,則OM=OB,/.ZOMB=ZOBM.

；BM平分NABC,.\ZOBM=ZEBM.

.\ZOMB=ZEBM.；.OM〃BC.

ZAMO=ZAEB.

在AABC中，AB=AC,AE是角平分線，

AAEIBC..\ZAEB=90°.

.\ZAMO=90°.AOMIAE.

；.AE與。O相切；

5.如圖，在。O中，AB為直徑，AC為弦.過BC延長線上一點(diǎn)G,作GDLAO于點(diǎn)D,

交AC于點(diǎn)E,交。O于點(diǎn)F,M是GE的中點(diǎn)，連接CF,CM,判斷CM與。O的位置關(guān)系,

【解析】解：CM與。O相切.理由如下:

連接OC,如圖，

：GD_LAO于點(diǎn)D,AZG+ZGBD=90°,

；AB為直徑，ZACB=90°,

VM點(diǎn)為GE的中點(diǎn)，

；.MC=MG=ME,：.ZG=Z\,

VOB=OC,.\ZB=Z2,

AZ1+Z2=90°,，NOCM=90。，

.".OC1CM,ACM為。O的切線：

6.如圖所示，AB為。。的直徑，AD平分/CAB,AC1CD,垂足為C.

（1）判斷CD與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

【解析】證明：（1）CD是。。的切線,

VOA=OD,/./ODA=ZOAD,

；AD平分/CAB,ZOAD=ZCAD,

，NODA=NCAD,

VAC±CD,BPZCAD+ZCDA=90°,AZODA+ZCDA=90°,

??.OD±CD,即CD是。O的切線；

（2）連接BD,

：AB為直徑，.".ZADB=90°,

ZB+ZBAD=90°,ZB=ZAED,

/.ZAED+ZBAD=90o,

VZCDA+ZCAD=90°,ZCAD=ZBAD,

.\ZCDA=ZAED.

【方法總結(jié)】

在證明圓的切線問題中，主要有兩種題型：

1、知半徑，證垂直

2、知垂直，證半徑

解決切線相關(guān)問題的技巧

①注意利用切線長定理進(jìn)行線段轉(zhuǎn)換。

②注意利用切線長定理的推論進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換。

③見切線連半徑是處理切線問題的“通法

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知等邊內(nèi)接于OO，。為弧BC的中點(diǎn)，連接DB、DC,

過C作AB的平行線，交處的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：CE與OO相切；

（2）若45長為6,求CE長.

【解答】（1）證明：連接OC,OB,

???AABC是等邊三角形,

/.ZA=ZABC=60°,

-AB/ICE,

:"BCE=ZABC=60。,

??OB=OC,

ZOBC=ZOCB=30°f

??.NOCE=NOCB+ZBCE=30。+60。=90°,

;.CE與OO相切；

（2）「四邊形4的是圓的內(nèi)接四邊形，

/.ZA+ZBr）C=180o,

：.ZBDC=12（T,

???。為弧8c的中點(diǎn)，

二ADBC=ZBCD=30°，

二ZBEC=180。-ZEBC-ZBCE=90。,

???AB=3C=6,

?,.CE=-BC=3.

2

2.（2019?長春模擬）如圖，在半圓中，點(diǎn)O是圓心，43是直徑，點(diǎn)C是4）的中點(diǎn)，過點(diǎn)

C作8。的垂線，交3。的延長線于點(diǎn)￡.

（1）求證：CE是半圓的切線.

（2）若NABC=30。，AB=4,則AC的長為

【解答】證明：（1）如圖，連接OC,

E

D

A0B

???點(diǎn)。是4)中點(diǎn)

AC=CD

.\ZABC=ZCBD

?：OB=OC

NOCB=NOBC,

:.ZOCB=ZCBD

：.OC//BD,且CE上BE

:.CE±OC,且OC是半徑，

.?.CE是半圓O的切線.

(2)?.?NABC=30。，且NOCB=NABC,

:.ZOCB=ZABC=30°

/.ZAOC=60°

??AB=4

:.OA=2

AC工60°X^X22

18003

故答案為：—7T

3

3.(2019?金水區(qū)校級(jí)模擬)如圖所示，AABC內(nèi)接于OO,AC是直徑，。在上，且AC

平分N8CO,AE//BC,交CD于E,尸在CD的延長線上，且AE=￡F.連接Ab.

(1)求證：AF是OO的切線；

(2)連接成交AE于G,若4?=12,AE=13,求AG的長.

B

【解答】證明：(1)?.?AC平分N8C。

:.ZACB=ZACD,

???AE//BC

??.ZACB=ZCAE=ZACD

..AE=CE,RAE=EF

.?.AE=CE=EF

「.△C4F是直角三角形

:.ZCAF=90°

.?.AF是OO的切線

(2)連接AD,

,：AC是直徑

/.ZABC=90°=ZADC

???ZAC0=ZACD,AC=ACfZABC=ZADC=90°

:.AABC=AADC(AAS)

,\AB=AD=n,BC=CD

在RtAAED中，DE=\lAE2-AD2=5

\AE=CE=EF=13

:.CF=2EF,CD=BC=CE+DE=18,

???AE//BC

.EGEF_1

:.EG=9

.\AG=AE-EG=13-9=4

4.（2019?蘭州模擬）如圖，AB是OO的直徑，AC平分交。。于點(diǎn)C,過點(diǎn)C分

別作CELAD,CF±AB9垂足分別為E,產(chǎn).

（1）求證：直線CE是OO的切線；

【解答】證明：（1）?.?AB是OO的直徑，。在OO上,

/.OA=OC,

:.ZCAO=ZACO

?.?AC平分N&4Z),

:.ZEAC=ZOAC,

.?.NOC4=NE4C,

ZE4C+Z￡C4=90°,

.?.ZACO+ZEC4=900,

/.ZOCE=90°,

即csoc,

.?.c石是oo的切線;

知識(shí)點(diǎn)4弧長和扇形面積

1.相關(guān)名詞

弧長：在圓上過兩點(diǎn)的一段弧的長度叫做弧長。

扇形：一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形(半圓與直徑的組合也是扇

形)。

圓錐：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的

兒何體叫做圓錐。

圓錐的高：圓錐的頂點(diǎn)到圓錐的底面圓心之間的距離叫做圓錐的高；

圓錐母線：圓錐的側(cè)面展開形成的扇形的半徑、底面圓周上任意一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。

圓錐的側(cè)面積：將圓錐的側(cè)面沿母線展開，是一個(gè)扇形,這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周

長，而扇形的半徑等于圓錐的母線的長.圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面的周長x母線+2；

沒展開時(shí)是一個(gè)曲面。

圓錐有一個(gè)底面、一個(gè)側(cè)面、一個(gè)頂點(diǎn)、一條高、無數(shù)條母線，且底面展開圖為一圓形，側(cè)

面展開圖是扇形。

2.圓中有關(guān)計(jì)算：

(1)圓的面積公式：S=nR2,周長C=2兀R.

(2)弧長：圓心角為n。、半徑為R,：:言.

\,___,二

(3)扇形的面積：圓心角為n。，半徑為R,弧長為1,S/"|——■

(4)弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

(5)圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R,母線長為1的圓柱的體積為三，側(cè)面積

為2兀R1,全面積為一:I~=.

(6)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,底面半徑為R,母線長為1,高為h的圓錐的側(cè)面積為TTRI,

全面積為一=：，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有：＞

【典例】

1.如圖，從一塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90。的扇形，則此扇形的面積為

B

【解析】解：如圖，連接AC,

??,從-■塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90。的扇形，即NABC=90。，

；.AC為直徑，即AC=2m,AB=BC,

VAB2+BC2=22,

AB=BC=V^m,

...陰影部分的面積是9°兀XW)2=1兀(m2)

3602

【題干】如圖是一個(gè)餐盤，它的外圍是由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長為半

徑的三段等弧組成，已知正三角形的邊長為10,則該餐盤的面積是

【答案】50K-5073

【解析】由扇形面積減去三角形面積求出弓形面積，三個(gè)弓形與一個(gè)等邊三角形面積之和即

為餐盤面積.

解：該餐盤的面積為3(.60KX1°-.-2ZlxlO2)+1x102=50兀-50?

36044

2.如圖，蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面圓面積為257tm2,

圓柱高為3m,圓錐高為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是

劍■同

【答案】（30兀+5如獲）m2

【解析】解：設(shè)底面圓的半徑為R,

則兀1<2=25兀，解得R=5,

圓錐的母線長=疹百=后，

所以圓錐的側(cè)面積=之?2兀?5?;

圓柱的側(cè)面積=2兀?5?3=30兀，

所以需要毛氈的面積=（30兀+5^^）n?

【方法總結(jié)】

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

需根據(jù)不同的情況作出不同的處理：

①當(dāng)弓形所含弧為劣弧時(shí)，Sq=S用-SA

②當(dāng)弓形所含弧為優(yōu)弧時(shí)，S尸S城+SA

③當(dāng)弓形所含弧為半圓時(shí)，$弓=-S

2H

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?萊蕪區(qū)）如圖，點(diǎn)A、B,C,。在OO上，AB=AC,Z4=4O°,BD//AC,

若。。的半徑為2.則圖中陰影部分的面積是（）

A

Di

b

D.”

vZA=40°,AB-AC.

?,.ZACB=70。，

?;BD//AC,

/.ZABD=ZA=40°,

/.ZACD=ZABD=40°,

:.ZBCD=30°,

則ZBOD=2ZBCD=60。，

又OD=OB,

「.MOD是等邊三角形，

則圖中陰影部分的面積是S扇形8“-SAB加

60?乃373?

=-----------------x2

3604

=—7T—y/3，

3

故選：B.

2.（2019春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，每個(gè)圓的半徑都是la”,則圖中的三個(gè)扇形（即陰

影部分）的面積之和為（）

B

A.—71B.—冗C.7TD.71

42

【解答】解：?.?NA+ZB+NC=180。，

.?.陰影部分的面積=&四I=_17.

3602

故選：B.

3.（2019?鞍山二模）如果圓錐的母線長為6cm,底面半徑為2a”，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積

為（）

A.\2crn2B.\2jrcm2C.24c7〃3D.24兀cm2

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=27rx2x6+2=12i.

故選：B.

4.（2019?覃塘區(qū)三模）如圖，在OO的內(nèi)接四邊形ABCZ）中，ZB=135。，?0的半徑為4,

則弧ABC的長為（）

【解答】解：連接。4、OC,

?.?四邊形458是的內(nèi)接四邊形，

.?.Z￡>=180°-ZB=45°,

由圓周角定理得，ZAOC=2ZD=90°,

.?.弧ABC的長=9°》x4=2,

180

故選：B.

B.

5.（2019?鉛山縣二模）如圖，菱形ASCD中，NB=60。，AB=4,以A￡＞為直徑的交8

于點(diǎn)E,則。E的長為（）

^71

TD-T

【解答】解：連接。E,如圖所示:

?.?四邊形43CD是菱形，

.-.ZD=Zfi=60°,AD=AB=4,

OA=OD=2，

?.OD=OE,

NQ￡D=ZD=600,

??.ZDOE=180?！?*60。=60。，

.?.班的長=也心=空；

1803

故選：B.

6.（2019?云南模擬）如圖，邊長為1的正方形。48c的頂點(diǎn)5在OO上，頂點(diǎn)A、C在O。

內(nèi)，。4的延長線交。。于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為（）

A.叵一1B.工一1C.工」D.叵」

424282

【解答】解：連接。8,

?.?四邊形/WCO是正方形，

:.ZDOB=45°,

:.OB=>/2AB=>j2,

.??圖中陰影部分的面積諭腕⑺兇必

=5nf'UliD—5ts/\UD=45-^-X2_2GX1X1=^A_1O,

7.（2019?山西）如圖，在RtAABC中，ZABC=9Q0,48=2力，BC=2,以43的中點(diǎn)O

為圓心，的長為半徑作半圓交AC于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為（）

567t

D,----------1-----C.2百-乃D.4上場(chǎng)

42

【解答】解:?.?在RtAABC中，ZABC=90°,AB=2也,BC=2,

tanA*2_百

AB2相一3

/.ZA=30°,

.?.ZDOB=60°,

???OD=-AB=y/3f

2

3

:.DE=~,

C3

???陰影部分的面積是：嚕-T-g產(chǎn)=乎與

8.（2019?豐潤區(qū)二模）如圖，將半徑為2,圓心角為90。的扇形BAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

點(diǎn)3,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。，E,則陰影部分的面積為（）

A.y/3+-B.V3--C.-D.乃

333

【解答】解：連接30,

由題意得，AB=AD,442)=60。，

.?.A4E)為等邊三角形，

.-.ZABD=60°,

.?.陰影部分的面積=90%X2260"

36036022

=—乃+6,

3

故選：A.

9.（2019?南充模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=O,BC=2,以8為圓心，8C為半徑

畫弧，交4）于E,則圖中陰影部分的周長是（）

BC

A.2+-B.V2+-C.2十1D.\+7t

22

【解答】解：?.?矩形4J8中，AB=-j2,BC=2,

:.AD=BC=2,CD=AB==90°,

-.BE=BC=2,

在RtAABE中，?:AB=0,BE=2,

:.ZAEB=ZABE=45°,AE=AB=應(yīng),

;.DE=AD-AE=2-6,

vZABC=90°,

:.ZCBE=45°,

CE的長度=45吻義2=生,

1802

，圖中陰影部分的周長=夜+2—夜+'萬=2+'萬，

22

故選：A.

10.（2019?涼山州）如圖，在AAOC中，OA=3cm,OC=\cm,將AAOC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。后得到ABOD,則AC邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形的面積為（）cnt2.

A〃1/19

A?—B.24C?—7TD?—TC

288

【解答】解：?.2OC合MOD,

.??陰影部分的面積=扇形04?的面積-扇形OCD的面積=9°皿3-_9。吻xl-=2兀,

360360

故選：B.

11.（2019?廣安）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,44=30°,BC=4,以8C為直徑

的半圓O交斜邊4B于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）

A4r~R25/31\/3D.11一6

A.一九一73B.-7i----C.-7C---------

332323

【解答】解：???在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

.\ZB=60°,

ZCOD=120°,

vBC=4,3。為半圓O的直徑，

.\ZCDB=90°,

：.OC=OD=2,

:.CD=—BC=2y/3,

2

圖中陰影部分的面積=S扇3-53=型4-底2島1=”-收

故選：A.

綜合運(yùn)用：與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算

1.爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm,點(diǎn)導(dǎo)火索的人員需要跑到離爆破點(diǎn)120m以外

的完全區(qū)域，已知這個(gè)導(dǎo)火索的長度為18cm,那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？