人教版八年級初二數(shù)學(xué)第二學(xué)期平行四邊形單元測試綜合卷檢測試卷

人教版八年級初二數(shù)學(xué)第二學(xué)期平行四邊形單元測試綜合卷檢測試卷

一、選擇題

1.如圖，中，AB=8C=4,NA=60。，連接60,將BCD繞點(diǎn)、B旋轉(zhuǎn),當(dāng)

BD（即6。'）與AD交于一點(diǎn)E，BC（即8C）與CO交于一點(diǎn)尸時，給出以下結(jié)

論：①AE=D/；②NB￡E=60°；③ZDEB=ZDFB：④。石尸的周長的最小值是

4+2省.其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的頂點(diǎn)A落在y軸上，點(diǎn)C落在x軸上，

隨著頂點(diǎn)C由原點(diǎn)。向x軸正半軸方向運(yùn)動，頂點(diǎn)A沿y軸負(fù)半軸方向運(yùn)動到終點(diǎn)。，在

運(yùn)動過程中8的長度變化情況是（）

o|c-----------

A.一直增大B.一直減小C.先減小后增大D.先增大后減少

3.如圖，正方形ABC。的邊長為定值，E是邊CO上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)C,D重合）,AE

交對角線80于點(diǎn)F,FG_LA￡交BC于點(diǎn)G,6”_1_8。于點(diǎn)嘰連結(jié)AG交6。于點(diǎn)

N.現(xiàn)給出下列命題：①AF=EG；②DF=DE：③FH的長度為定值；

④GE=BG+DE；⑤BN?+DF2=NF?.真命題有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.如圖，菱形ABCD的周長為24,對角線AC、8。交于點(diǎn)O,ZDAB=60°,作于

點(diǎn)H,連接0H,則0H的長為（）

D.

A.2B.3C.26D.473

5.如圖所示，E為正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，且CE=AC,AE交CD于點(diǎn)F,那

6.如圖，在平行四邊形4BCD中，NC=120°,AD=4,AB=2,點(diǎn)E是折線

5C—CD—ZM上的一個動點(diǎn)（不與A、3重合）.則八鉆石的面積的最大值是（）

A.B.1C.3五D.26

7.如圖，在矩形A8CD中，AB=6,8c=8,E是8c邊上一點(diǎn)，將矩形沿AE折疊，點(diǎn)B落

在點(diǎn)9處，當(dāng)是直角三角形時，BE的長為（）

A.2B.6C.3或6D.2或3或6

8.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AO，BC

上，將紙片ABCO沿直線EE折疊，點(diǎn)C落在AO上的一點(diǎn)”處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，有

以下四個結(jié)論：

①四邊形CEWE是菱形；②EC平分NDCH；③線段的取值范圍為3WB戶W4；④

當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)A重合時，EF=2A/5.

以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（）個.

9.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點(diǎn)，將BCE沿BE翻折至BFE,連接

DF,則DF的長度是()

5555

10.如圖，將邊長為8cm的正方形A8CD折疊，使點(diǎn)。落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在

點(diǎn)F處，折痕為MN,則折痕MN的長是()

A.S&cmB.S亞cmC.cmD.4舊cm

二.填空題

11.在平行四邊形ABCD中，NA=30°,AO=2g,8O=2,則平行四邊形ABCD的面積

等于.

12.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,對角線長為1cm,過點(diǎn)。任作一條直線分

別交AD,BC于E,F,則陰影部分的面積是.

13.如圖，菱形ABC。的BC邊在X軸上，頂點(diǎn)。坐標(biāo)為(—3,0),頂點(diǎn)。坐標(biāo)為

(0,4),點(diǎn)E在y軸上，線段Eb//x軸，且點(diǎn)尸坐標(biāo)為(8,6),若菱形ABCO沿x軸左

右運(yùn)動，連接4E、DF,則運(yùn)動過程中，四邊形ADKE周長的最小值是.

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E為BC邊上一動點(diǎn)，作EF_LAE,且EF=

AE.連接DF,AF.當(dāng)DF_LEF時，Z\ADF的面積為.

15.如圖，正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上.將該紙片沿EF折疊，

使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)G落在邊0C上，折痕EF與AG交于點(diǎn)Q,點(diǎn)K為GH的中點(diǎn)，則隨著折

痕EF位置的變化，AGQK周長的最小值為.

16.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=gx+l與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，以AB為

邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD,則D點(diǎn)坐標(biāo)是；在y軸上有一個動點(diǎn)M,當(dāng)

△MDC的周長值最小時，則這個最小值是.

17.如圖，QABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點(diǎn)，則2PB+PD

的最小值等于.

18.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E,若NCBF=20。，則

NAED等于_度.

19.己知：一組鄰邊分別為6。篦和10cm的平行四邊形ABC。，NZXB和NABC的平分

線分別交。。所在直線于點(diǎn)E，F(xiàn),則線段EF的長為cm.

20.如圖所示，己知AB=6,點(diǎn)C,。在線段AB上，AC=DB=1,P是線段CD上的動

點(diǎn)，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊連接EF,設(shè)EF的中

點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)D時，則點(diǎn)G移動路徑的長是.

21.如圖，AA8C是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊8c的中點(diǎn)，民產(chǎn)分別是

AB,AC邊上的點(diǎn)，且DE1DF，若BE=12,CF=5,求線段EF的長.

22.如圖，平行四邊形ABCO的對角線AC、BD交于點(diǎn)、0,分別過點(diǎn)C、。作

CF//BD,DF//AC,連接Bb交AC于點(diǎn)￡.

⑴求證：FCE^BOE；

⑵當(dāng)NAOC等于多少度時，四邊形。CFD為菱形?請說明理由.

23.如圖，平行四邊形ABC。中，AB=3cm,BC=5cm,N8=6O，G是CE）的中

點(diǎn)，E是邊上的動點(diǎn)，EG的延長線與8C的延長線交于點(diǎn)尸，連接CE,DF.

（1）求證：四邊形CEDR是平行四邊形；

（2）①當(dāng)AE的長為多少時，四邊形CEDR是矩形；

②當(dāng)AE=。機(jī)時，四邊形CEL正是菱形，（直接寫出答案，不需要說明理由）.

24.已知正方形ABCD.

（1）點(diǎn)P為正方形ABCD外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在AB的左側(cè)，ZAPB=45°.

①如圖（1）,若點(diǎn)P在DA的延長線上時，求證：四邊形APBC為平行四邊形.

②如圖（2）,若點(diǎn)P在直線AD和BC之間，以AP,AD為鄰邊作OAPQD,連結(jié)AQ.求

ZPAQ的度數(shù).

（2）如圖（3）,點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)且滿足BC=CF,連接BF并延長交AD邊于點(diǎn)E,過

AJ71

點(diǎn)E作EH_LAD交CF于點(diǎn)H,若EH=3,FH=1,當(dāng)==；時.請直接寫出HC的長

CF3

25.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB±AC,對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,將直線AC繞點(diǎn)

。順時針旋轉(zhuǎn)一個角度a（0。＜g90。），分別交線段BC,AD于點(diǎn)E,F,連接BF.

（1）如圖1,在旋轉(zhuǎn)的過程中，求證：0E=0F；

（2）如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至90。時，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論;

（3）若AB=1,BC=&\且BF=DF,求旋轉(zhuǎn)角度a的大小.

26.在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上任意一點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)3作3AE于

F,交AD于

（1）如圖1,過點(diǎn)。作他于G.求證￡）G=FG；

（2）如圖2,點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，連接試判斷存在什么數(shù)量關(guān)系并說

明理由；

（3）如圖3,AB=1，連接EH,點(diǎn)P為即的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)C的過程

中，點(diǎn)P隨之運(yùn)動，請直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長.

27.已知，如圖，在三角形ZVLBC中，AB^AC=20cm,于。，且

3￡>=16c7n.點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動，速度為4c，“/s；同時點(diǎn)P由3

點(diǎn)出發(fā)，沿84方向勻速運(yùn)動，速度為lcvn/s,過點(diǎn)P的動直線PQ//AC,交8c于點(diǎn)

Q,連結(jié)PM，設(shè)運(yùn)動時間為f(s)(0<t<5),解答下列問題：

備用圖

(1)線段AD=cm；

(2)求證：PB=PQ-

(3)當(dāng)f為何值時，以P、Q、D、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

28.(1)問題探究：如圖①，在四邊形ABCD中，AB//CD,E是BC的中點(diǎn)，AE是NBAD

的平分線，則線段AB,AD,DC之間的等量關(guān)系為；

(2)方法遷移：如圖②，在四邊形ABCD中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點(diǎn)F,E是

BC的中點(diǎn)，AE是/BAF的平分線，試探究線段A8,AF,CF之間的等量關(guān)系，并證明你的

結(jié)論;

(3)聯(lián)想拓展：如圖③，AB//CF,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段AE上，NEDF=NBAE,

試探究線段A8,DF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖①圖②圖③

29.如圖，四邊形A8C￡>為正方形.在邊上取一點(diǎn)E，連接8E,使NA￡B=60°.

（1）利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：分別以點(diǎn)3、。為圓心，BC長為半徑作弧交正

方形內(nèi)部于點(diǎn)T,連接BT并延長交邊AD于點(diǎn)E，則NA￡3=60°；

（2）在前面的條件下，取8E中點(diǎn)M，過點(diǎn)M的直線分別交邊A3、CD于點(diǎn)P、Q.

①當(dāng)PQL3E時，求證：BP=2AP；

②當(dāng)PQ=8E時，延長BE,CD交于N點(diǎn)、,猜想NQ與"Q的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

30.（問題情境）

在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD_LAB,PEJ.AC,垂足

分別為D、E,過點(diǎn)C作CFJ_AB,垂足為F.當(dāng)P在BC邊上時（如圖1）,求證：

PD+PE=CF.

圖①圖②圖③

證明思路是：如圖2,連接AP,由AABP與4ACP面積之和等于AABC的面積可以證得：

PD+PE=CF.（不要證明）

（變式探究）

當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并

說明理由.

請運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：

（結(jié)論運(yùn)用）

如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)U處，點(diǎn)P為折痕EF

上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG_1.BE、PHXBC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

（遷移拓展）

4

在直角坐標(biāo)系中.直線/i：y=--x+4與直線"：y=2x+4相交于點(diǎn)A,直線公匕與x軸分別

3

交于點(diǎn)B、點(diǎn)c.點(diǎn)P是直線12上一個動點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線h的距離為1.求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可證△48￡空△8DF,可判斷①②③，由△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+￡F=4+EF,

則當(dāng)EF最小時△OEF的周長最小，根據(jù)垂線段最短，可得8￡11,4。時?，8￡最小，即EF最

小，即可求此時ABDE周長最小值.

【詳解】

解：'：AB=BC=CD=AD=4,ZA=ZC=60°

:.△ABD,△BCD為等邊三角形，

ZA=ZBDC=60°,

?.?將△BCD繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到△BCD'位置,

：.ZABD'=ZDBC',且AB=BD,ZA=ZDBC,

：.AABE公ABFD,

，AE=DF,BE=BF,NAEB=NBFD,

；.NBED+NBFD=180°,

故①正確，③錯誤；

VZABD=60°,NABE=NDBF,

：.ZEBF=60°,

故②正確

,/ADEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF,

...當(dāng)EF最小時，;△DEF的周長最小.

VZEBF=60°,BE=BF,

...△BEF是等邊三角形，

，EF=BE,

.,.當(dāng)BE_LA。時，BE長度最小，即EF長度最小，

'：AB=4,ZA=60°,BEYAD,

，EB=25

ADEF的周長最小值為4+2后，

故④正確，

綜上所述：①②④說法正確，

故選:8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，最短路徑問題，關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題.

2.D

解析：D

【分析】

根據(jù)運(yùn)動開始，OD是正方形的邊長CO,運(yùn)動過程中8與。點(diǎn)重合時，是對角線，

在運(yùn)動A與。點(diǎn)重合，8是邊長A。，可得答案.

【詳解】

從。離開。點(diǎn)到5到。點(diǎn)，8由邊長到對角線在增大，由3離開。點(diǎn)到A到。點(diǎn)，

OD由正方形的對角線減少到正方形的邊長.

故選￡).

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，8由正方形的邊長到正方形的對角線，再由正方形的對角線

到正方形的邊長.

3.C

解析：c

【分析】

根據(jù)題意，連接CF,由正方形的性質(zhì)，可以得到4ABF絲aCBF,則AF=CF,ZBAF=ZBCF,

由NBAF=/FGC=/BCF,得到AF=CF=FG,故①正確；連接AC,與BD相交于點(diǎn)0,由正方

形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)，證明△AOFgZVHG,即可得到EH=A。，則③正確；把

△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到ZkABM,則證明AMAG絲Z\EAG,得至!|MG=EG,即可得到

EG=DE+BG,故④正確；②無法證明成立，即可得到答案.

【詳解】

解：連接CF,

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,

在AABF和ACBF中，

AB=BC

<ZABF=ZCBF=45°,

BF=BF

.,.△ABF^ACBF(SAS),

；.AF=CF,NBAF=/BCF,

VFG±AE,

.?.在四邊形ABGF中，ZBAF+ZBGF=360o-90o-90o=180o,

XVZBGF+ZCGF=180",

/.ZBAF=ZCGF,

AZCGF=ZBCF

，CF=FG,

，AF=FG；①正確；

連接AC交BD于O.

?.,四邊形ABCD是正方形，HGXBD,

；./AOF=NFHG=90°,

VZOAF+ZAFO=90°,ZGFH+ZAFO=90",

.".ZOAF=ZGFH,

VFA=FG,

.?.△AOF之△FHG,

FH=OA=定值，③正確；

如圖，把4ADE順時針旋轉(zhuǎn)90。,得至ijMBM,

；.AM=AE,BM=DE,NBAM=NDAE,

：AF=FG,AF_LFG,

???△AFG是等腰直角三角形，

.".ZFAG=45",

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45",

ZMAG=ZFAG,

在AAMG和AAEG中，

AM=AE

<ZEAG=ZMAG=45°,

AG=AG

.".△AMG^AAEG,

；.MG=EG,

VMG=MB+BG=DE+BG,

.\GE=DE+BG,故④正確；

如圖，AADE順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到AABM,記F的對應(yīng)點(diǎn)為P,連接BP、PN,

則有BP=DF,ZABP=NADB=45°,

,/ZABD=45°,

，NPBN=90°,

；.BP2+BN2=PN2,

由上可知AAFG是等腰直角三角形，NFAG=45°,

，ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

AZMAG=ZFAG,

在AANP和AANF中，

AP=AF

-ZEAG=ZMAG=45°,

AN=AN

.?.△ANP彩△ANF,

；.PN=NF,

.?.BP2+BN2=NF2,

即DF2+BN2=NF2,

故⑤正確；

根據(jù)題意，無法證明②正確，

二真命題有四個，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造

出等腰三角形和全等三角形.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

由菱形四邊形相等、OD=OB,且每邊長為6,再有NDAB=60。，說明△DAB為等邊三角

形，由?？傻肁H=HB（等腰三角形三線合一），可得0H就是AD的一半，即可完

成解答。

【詳解】

解：?.?菱形A8C。的周長為24

.?.AD=BD=24+4=6,OB=OD

由YNDAB=60°

.?.△DAB為等邊三角形

又?:DH^AB

.：AH=HB

I

：.OH=-AD=3

2

故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形、三角形中位線的知識，考查知識點(diǎn)較多，提升了試

題難度，但抓住雙基，本題便不難。

5.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得/E=/CAE,然后根據(jù)正方形的對角線平分一組對角以及三角

形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出/E=22.5。，再根據(jù)三角形的一個

外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：VCE=AC,

，NE=NCAE,

VAC是正方形ABCD的對角線，

ZACB=45°,

二/E+/CAE=45°,

：.ZE=-X450=22.5°,

2

在4CEF中，NAFC=NE+NECF=22.5°+90°=112.5°.

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對角線平分一組對

角，等邊對等角，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

6.D

解析：D

【分析】

分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，高一定，底邊BE最大時面積最大；②當(dāng)E在CD

上時，4ABE的面積不變；③當(dāng)E在AD上時，E與D重合時，^ABE的面積最大，根據(jù)三

角形的面積公式可得結(jié)論.

【詳解】

解：分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，E與C重合時，4ABE的面積最大，如圖1,

過A作AF_LBC于F,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AB〃CD,

ZC+ZB=180°,

VZC=120°,

，/B=60°,

RtZ\ABF中，NBAF=30°,

.\BF=yAB=l,AF=6,

此時AABE的最大面積為：,X4XG=2G；

2

②當(dāng)E在CD上時，如圖2,此時，4ABE的面積=LSSBCD=LX4XJ5=26；

22

③當(dāng)E在AD上時，E與D重合時，4ABE的面積最大，此時，4ABE的面積=26,

綜上，AABE的面積的最大值是26；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，并運(yùn)用分類討論的思想解決問題.

7.C

解析：C

【分析】

分以下兩種情況求解：①當(dāng)點(diǎn)8,落在矩形內(nèi)部時，連接AC,先利用勾股定理計(jì)算出AC

=10,根據(jù)折疊的性質(zhì)得/A8'E=/8=90°,而當(dāng)EC為直角三角形時，只能得到

ZEB'C=90°,所以點(diǎn)A、、C共線，即NB沿AE折疊，使點(diǎn)8落在對角線AC上的

點(diǎn)B'處，則EB=EB',AB=AB'=6,可計(jì)算出CB'=4,設(shè)BE=X,則EB'=X,CE=

8-x,然后在RtaCEB'中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x.

②當(dāng)點(diǎn)夕落在AD邊上時.此時四邊形ABEB，為正方形，求出BE的長即可.

【詳解】

解：當(dāng)aB'EC為直角三角形時，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)夕落在矩形內(nèi)部時，如圖1所示.連結(jié)AC,

在Rt"8C中，AB=6,BC=8,

???AC=78WT6r=10，

沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)8,處，

AZAB'E=NB=90",

當(dāng)AB'EC為直角三角形時，得到/EB'C=90°,

...點(diǎn)A、B'、C共線，即NB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)夕處，如圖,

：.EB=EB',AB=AB'=6,

CB'=10-6=4,

設(shè)BE=x,則EB'=x,CE=8-x,

在RtZXB'EC中，

'：EB'2+CB'2=c。，

；.X2+42=(8-x)2,

解得x—3,

：.BE=3；

②當(dāng)點(diǎn)B'落在A。邊上時，如圖2所示.

圖2

此時A8EB'為正方形，

：.BE=AB^6.

綜上所述，8E的長為3或6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，正方形的判定等知識；熟

練掌握折疊變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

8.C

解析：C

【分析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH,然后根據(jù)鄰邊相等

的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；

②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得NBCH=/ECH,然后求出只有NDCE=30°時EC平

分NDCH,判斷出②錯誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時，設(shè)BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時，CF=CD,求出最大值BF=4,然后寫出BF的取值范圍，判斷

出③正確；

④過點(diǎn)F作FM_LAD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判斷出④正確.

【詳解】

解：

①：FH與CG,EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分,

；.FH〃CG,EH〃CF,

.??四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得，CF=FH,

二四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；

②，NBCH=NECH,

，只有NDCE=30°時EC平分NDCH,（故②錯誤）；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時，此時BF最小,設(shè)BF=x,則AF=FC=8-x,

在RtZ\ABF中，AB2+BF2=AF2,

gp42+X2=（8-X）2,

解得x=3,

點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時，此時BF最大，CF=CD=4,

；.BF=4,

...線段BF的取值范圍為3WBFW4,（故③正確）；

過點(diǎn)F作FM1AD于M,

則ME=（8-3）-3=2,

由勾股定理得，

EF=4MF?+ME^=J42+2?=2#），（故④正確）：

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于靈活運(yùn)用菱

形的判定與性質(zhì)與勾股定理等其它知識有機(jī)結(jié)合.

9.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的長，由折疊的性質(zhì)可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面積法可求

CH=3I,由勾股定理可求EH的長，由三角形中位線定理可求DF=2EH=±四.

55

【詳解】

解：如圖，連接CF,交BE于H,

;在正方形ABCD中,AB=4,E是CD的中點(diǎn),

ABC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

BE=y/BC2+CE2=716+4=275，

:將"CE沿BE翻折至ABFE,

???CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

11

VSABCE=—xBExCH=—xBCxCE,

_46

----，

5

VCE=DE,FH=CH,

.?.DF=2EH=^^,

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題

的關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

連接。E,因?yàn)辄c(diǎn)D是中點(diǎn)，所以CE等于4,根據(jù)勾股定理可以求出。E的長，過點(diǎn)M作

/MG_LCD于點(diǎn)G,則由題意可知MG=8C=CD,證明△/WNG絲可以得到。E=/MN,

即可解決本題.

【詳解】

由題意，在RtZ\OCE中，CE=4cm,CD—8cm,

由勾股定理得：DE=y]cE2+CD2=A/42+82=4A/5cm.

過點(diǎn)M作MGLCD于點(diǎn)G,則由題意可知MG=BC=CD.

連接DE,交MG于點(diǎn)/.

由折疊可知，OE_L/WN,：.ZNMG+MIE=90°,

VZD/G+ZEDC=90°,NMIE=/DIG(對頂角相等)，

：.NNMG=NEDC.

在/XMNG與△￡)氐：中，

NNMG=NEDC

<MG=CD

NMGN=NDCE=90°

:.AMNGm/XDEC(.ASA).

MN=DE=4后cm.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、折疊以及全等三角形，能夠合理的作出輔助線并找出全等

的條件是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.4百或2百

【分析】

分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據(jù)平行四邊

形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過。作于E,

在RtAADE中，ZA=30°.AD=26，

:.DE=-AD=yii,AE=￡AD=3,

22

在中，BD=2,

：.BE=y/BD2-DE2=422-電丫=1)

：.AB=4,

二平行四邊形ABC。的面積=4?￡>E=4xa=46，

如圖2,

D

AB=2,

，平行四邊形ABC。的面積=A8DE=2x6=2/，

在RtAABE中，設(shè)AE=尤，貝IJOE=26-X，

ZA=30°,B￡=—x.

3

在RtZ\5DE中，BD=2,

22=(y-x)2+(2^-x)2,

x=V3.x=26(不合題意舍去)，

；.BE=1,

■.平行四邊形ABC。的面積=AOBE=1x26=26，

如圖4,

當(dāng)ADL8O時，平行四邊形ABC。的面積=A￡>80=46，

故答案為：4G或.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運(yùn)用、30度角的直角三角形的性

質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

12.-cm"

8

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可以證明△AEO&CFO,就可以得出SAAEO=SACFO，就可以求出AAOD面積

等于正方形面積的L,根據(jù)正方形的面積就可以求出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖:

???正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)。，

/.△AEO與△CFO關(guān)于0點(diǎn)成中心對稱，

.'.△AEO^CFO,

SAAEO—SACFO,

SAAOD—SADEO+SACFO,

???對角線長為lcm,

?1-1,

-?S正方形ABCD=-x1x1=—cm2,

22

2

.*.SAAOD=-cm,

8

...陰影部分的面積為:cm?.

o

故答案為：1cm2.

o

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用正方形的面積及三角形

的面積公式的運(yùn)用，在解答時證明△AEOgCF。是關(guān)鍵.

13.18

【分析】

由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形ADFE周長的最小，AE+DF的和應(yīng)是最小的，運(yùn)

用"將軍飲馬"模型作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)Ei,同時作DF〃AFi,此時AE+DF的和即為

EiFi,再求四邊形4DEE周長的最小值.

【詳解】

在Rt/XCOD中，0C=3,0D=4,

CD=7OC2+OD2=5'

ABC。是菱形，

.".AD=CD=5,

,/F坐標(biāo)為(8,6),點(diǎn)E在軸上，

；.EF=8,

作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)Ei,同時作DF〃AFi,

貝ljEi(0,2),Fi(3,6),

則EiFi即為所求線段和的最小值，

在RtAAEiFi中，E1F1=jEE：+EFj2=J(6-2)2+(8-5)2=5，

四邊形ADFE周長的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiFi=5+8+5=18.

本題考查菱形的性質(zhì)、"將軍飲馬”作對稱點(diǎn)求線段和的最小值，比較綜合，難度較大.

14.3一逑

2

【分析】

作輔助線，構(gòu)建全等三角形和矩形，利用面積法可得AE的長，根據(jù)勾股定理可得BE的

長，設(shè)AE=x,證明△ABEW^EQF(AAS),得FQ=BE=0,最后根據(jù)三角形面積公式

可得結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，過D作DHJ_AE于H,過E作EM_LAD于M,連接DE,

VEF±AE,DF1EF,

NDHE=/HEF=NDFE=90°,

四邊形DHEF是矩形，

；.DH=EF=AE,

?..四邊形ABCD是矩形，

NB=NBAD=90°,

VZAME=90",

，四邊形ABEM是矩形，

，EM=AB=2,

設(shè)AE=x,

則SAADE=-ADEM=-AEDH,

22

.?.3X2=X2,

.*.X=±y/6，

Vx>0,

**-X—，

即AE=娓,

由勾股定理得：BE=J(遙)2—2?=丘,

過F作PQ〃CD,交AD的延長線于P,交BC的延長線于Q,

AZQ=ZECD=ZB=90°,ZP=ZADC=90°,

,/ZBAE+ZAEB=NAEF=NAEB+NFEQ=90°,

NFEQ=NBAE,

；AE=EF,/B=NQ=90°,

.二△ABE空ZXEQF(AAS),

-,.FQ=BE=V2>

；.PF=2-72，

.,.SAADF=-ADPF=-X3X(2->/2)=3-逑.

222

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，有難度，正確作輔助

線構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵，并用方程的思想解決問題.

15.3+3石.

【分析】

取AB的中點(diǎn)M,連接DQ,QM,DM.證明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解決問題.

【詳解】

取AB的中點(diǎn)M,連接DQ,QM,DM.

,四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB=6,NOAM=NADG=90",

；A/W=8M=3,

DM=>JAB2+AM2-46?+3?=3逐，

,:GK=HK,AB,GH關(guān)于EF對稱，

AQM=QK,

VZADG=90°,AQ=QG,

：.DQ=AQ=QG,

；△QGK的周長=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.

又：DQ+QMNDM,

：.DQ+QM^3y/5，

△QGK的周長的最小值為3+3亞，

故答案為3+34.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、最值問題，解題的關(guān)鍵是取AB的中

點(diǎn)M,確定QG+QK=QD+QM,屬于中考?？碱}型.

16.(-3,2)75+V17

【分析】

如圖(見解析)，先根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而可得OA、OB、AB

的長，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得44￡>=90。，DA=AB，然后根據(jù)三角形全等的判定定

理與性質(zhì)可得AE=OB,DE=OA,由此即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；同樣的方法可求出點(diǎn)C的

坐標(biāo)，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短

得出△MDC的周長值最小時，點(diǎn)M的位置，最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形的周

長公式即可得.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)D作OEJ_x軸于點(diǎn)E,作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)F,連接

C'D,交y軸于點(diǎn)M'，連接C'M，則軸

對于y=gx+1

當(dāng)y=0時，gx+i=o,解得％=一2,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(—2,0)

當(dāng)x=0時，y=l,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為8(0,1)

OA=2,OB=1,AB=yJO^+OB2=逐

四邊形ABCD是正方形

.-.ZS4D=90°,CD=DA=AB=y/5

：.ZDAE+ZOAB=ZABO+ZOAB=90°

ZDAE=ZABO

ZAED=NBOA=90°

在ADE和BAO中，,=

DA=AB

ADE=BAO(AAS)

，AE=Q8=1,OE=OA=2

：.OE=OA+AE=2+i=3

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為。(—3,2)

同理可證：CBF=BAO

.-.CF=OB=\,BF=OA=2

;.OF=OB+BF=l+2=3

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(—1,3)

由軸對稱的性質(zhì)得：點(diǎn)C'的坐標(biāo)為C'(l,3),且。0=C'N

：./\MDC的周長為CO+OM+CM=6+OM+C'M

由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)M'重合時，DM+CM取得最小值DC

0(-3,2),C(1,3)

DC=7(-3-1)2+(2-3)2=V17

則^MDC的周長的最小值為75+0^=75+717

本題是一道較難的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對稱

的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確找出的周長最小時，點(diǎn)M的位置是解題關(guān)鍵.

17.6

【分析】

過點(diǎn)P作PELAD交AD的延長線于點(diǎn)E,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得至ljAB〃CD,

推出PE=^PD,由此得到當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點(diǎn)在同一條

2

直線上，利用NDAB=30°,/AEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=工AB=3,得到2PB+

2

PD的最小值等于6.

【詳解】

過點(diǎn)P作PE±AD交AD的延長線于點(diǎn)E,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,

AZEDC=ZDAB=30°,

1

，PE=—PD,

2

V2PB+PD=2(PB+JPD)=2(PB+PE),

.?.當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上,

VZDAB=30°,/AEP=90°,AB=6,

.".PB+PE的最小值=工人8=3,

2

.?.2PB+PD的最小值等于6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30。角的問題，動點(diǎn)問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化

為三點(diǎn)共線的形式是解題的關(guān)鍵.

18.65

【分析】

先由正方形的性質(zhì)得到NABF的角度，從而得到/AEB的大小，再證△AEBgZ\AED,得到

ZAED的大小

【詳解】

?四邊形ABCD是正方形

ZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90°,AB=AD

VZFBC=200,.\ABF=70o

.,.在△ABE中，ZAEB=65°

在aABE與AADE中

AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE^AE

.".△ABE^AADE

.,.ZAED=ZAEB=65°

故答案為:65°

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)出

ZAEB的大小.

19.2或14

【分析】

利用當(dāng)AB=10cm,AD=6cm,由于平行四邊形的兩組對邊互相平行，又AE平分NBAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,則DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF長：同理可得：當(dāng)AD=10cm,AB=6cm時，可以求出EF長

【詳解】

解：如圖如當(dāng)AB=10cm,AD=6cm

1.,AE平分NBAD

ZBAE=ZDAE,

又ADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=ZAED,則AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

?/EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如圖2,當(dāng)AD=10cm,AB=6cm,

AE平分nBAD,

ZBAE=ZDAE

XVADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=ZAED貝AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案為：2或14.

圖1圖2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是平行

四邊形的不同可能性進(jìn)行分類討論.

20.2

【分析】

分別延長AE,BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，則

G的運(yùn)動軌跡為aHCD的中位線MN,再求出CD的長度，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長

度即可.

【詳解】

解：如圖，分別延長AE,BF交于點(diǎn)H,

：NA=NFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=600,

ABHIIPE

，四邊形EPFH為平行四邊形，

，EF與HP互相平分，

；點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，

...點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，即在P運(yùn)動的過程中，G始終為PH的中點(diǎn)，

：.G的運(yùn)動軌跡為△?口的中位線MN,

VCD=6-1-1=4,

.?.MN=-CD=2,

2

，點(diǎn)G移動路徑的長是2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形及中位線的性質(zhì)，以及動點(diǎn)的問題，是中考熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得

出G的運(yùn)動軌跡為aHCD的中位線MN.

三、解答題

21.EF=13.

【分析】

首先連接AD,由aABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn)，可得：AD=DC,

ZEAD=ZC=45°,AD±BC,g|JZCDF+ZADF=90°,又DE_LDF,可得：ZEDA+ZADF=90°,故

ZEDA=ZCDF,從而可證：AAED絲Z\CFD；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF=5,進(jìn)而得

出BE=AF=12.然后在RtZ\AEF中，運(yùn)用勾股定理可將EF的值求出；

【詳解】

解：連接4。

B

?「△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊8c的中點(diǎn)，

/.AD=DC=DB,AD±BCf

/.ZBAD=NC=45°,

ZEDA+NADF=90°,

又:ZCDF+NADF=90°,

ZEDA=Z.CDF.

在小AED與4CFD中，

NEDA=ZFDC

<AD=CD,

NEAD=ZC

△AED^△CFD(ASA).

AE=CF=5.

AB=AC,

：.BE=AF=12.

在RtAAEF中，

ZEAF=90°,

EF2=AE2+AF2=52+122=169-

EF=13.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，掌握等腰三角形“三線合一”的性

質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)為解題關(guān)鍵.

22.(1)見解析；(2)當(dāng)ADC滿足NADC=90°時，四邊形OCED為菱形，證明詳

見解析

【分析】

(1)證明四邊形OCFD是平行四邊形，得出OD=CF,證出OB=CF,再證明全等即可(2)

證出四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)得出OC=OD,即可得出四邊形OCFD為菱形.

【詳解】

(1)證明:CFHBD,DFIIAC,

四邊形OCFD是平行四邊形，NOBE=ZCFE,

OD=CF,

?Z四邊形ABC。是平行四邊形，

/.OB=OD,

OB=CF,

ZOBE=ZCFE

在△/CE和ABQE中，＜NBEO=ZFEC,

OB=CF

：.FCE^BOE(AAS).

⑵當(dāng)AOC滿足NA￡)C=90°時，四邊形OCRD為菱形.理由如下：

???NAOC=90°,四邊形ABC。是平行四邊形，

...四邊形ABCO是矩形

/.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

...OC=OD,

四邊形OCED為菱形

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行四邊形和菱形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行

四邊形的判定和性質(zhì)和菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

23.(1)證明見解析；(2)①當(dāng)AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形；②2

【分析】

(1)證明△FCGWz^EDG(ASA),得到FG=EG即可得到結(jié)論；

(2)①當(dāng)AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形.過A作AM_LBC于M,求出BM=1.5,根據(jù)

平行四邊形的性質(zhì)得到N