四邊形（共42題）-2021年中考數(shù)學真題模擬題分訓練（教師版含解析）【上海專版】

備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學真題模擬題分類匯編（上海專版）

專題15四邊形（共42題）

中考真題再現(xiàn)

一.選擇題（共2小題）

1.（2018?上海）已知平行四邊形下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BDD.AB1BC

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【解析ZA=ZB,NA+NB=180°,所以NA=NB=90°,可以判定這個平行四邊形為矩形，

正確；

B、NA=NC不能判定這個平行四邊形為矩形，錯誤；

C、AC=BD,對角線相等，可推出平行四邊形ABC。是矩形，故正確；

。、ABLBC,所以/B=90°,可以判定這個平行四邊形為矩形，正確；

故選:B.

2.（2017?上海）已知平行四邊形ABC。，AC、BD是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個平行四

邊形為矩形的是（）

A.NBAC=NDCAB.ZBAC=ZDACC.ZBAC=ZABDD.ZBAC=ZADB

【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案.

【解析】A、ZBAC=ZDCA,不能判斷四邊形A8CO是矩形；

B、ZBAC=ZDAC,能判定四邊形A8CD是菱形；不能判斷四邊形A8c。是矩形；

C、NBAC=NABD,能得出對角線相等，能判斷四邊形ABCO是矩形；

D、NBAC=NADB,不能判斷四邊形A3C0是矩形；

故選：C.

二.填空題（共2小題）

3.（2018?上海）對于一個位置確定的圖形，如果它的所有點都在一個水平放置的矩形內(nèi)部或邊上，且該圖

形與矩形的每條邊都至少有一個公共點（如圖1）.那么這個矩形水平方向的邊長稱為該圖形的寬，鉛錘

方向的邊長稱為該圖形的高.如圖2,菱形ABC。的邊長為1,邊48水平放置.如果該菱形的高是矩

218

形的寬的f那么矩形的寬的值是

3-13-

【分析】先根據(jù)要求畫圖，設矩形的寬AF=x，則CF=,x,根據(jù)勾股定理列方程可得結論.

【解析】在菱形上建立如圖所示的矩形EAFC,

設AF=x，則CF=1.r,

在RtZXCBF中，CB=\,BF=x-1,

由勾股定理得：BC2^BF2+CF2,

I2=(%—I)2+(1x)2,

解得：x=普或0(舍)，

即它的寬的值是不，

13

-1O

故答案為：—

圖2

4.(2018?上海)通過畫出多邊形的對角線，可以把多邊形內(nèi)角和問題轉化為三角形內(nèi)角和問題.如果從某

個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線共有2條，那么該多邊形的內(nèi)角和是540度.

【分析】根據(jù)題意得到2條對角線將多邊形分割為3個三角形，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計算出該多邊

形的內(nèi)角和.

【解析】從某個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線共有2條，則將多邊形分割為3個三角形.

所以該多邊形的內(nèi)角和是3X180°=540°.

故答案為540.

三.解答題(共3小題)

5.(2020?上海)如圖，在直角梯形A8C。中，AB//DC,NDAB=90°,AB=8,CD=5,BC=3岳.

(1)求梯形ABC。的面積；

(2)聯(lián)結80,求的正切值.

D

【分析】(1)過C作CELAB于E,推出四邊形AOCE是矩形，得到AQ=CE,AE=CD=5,根據(jù)勾股

定理得到CE=>/BC2-BE2=6,于是得到梯形ABCD的面積=1x(5+8)X6=39；

(2)過C作CH±BD于H,根據(jù)相似三角形的性質得到而=—,根據(jù)勾股定理得到BD==

V82+62=10,BH=VFC2-CH2=J(3>/5)2-32=6,于是得到結論.

【解析】(1)過C作CELA8于E,

'：AB//DC,NDAB=90°,

，/。=90°,

：.ZA=ZD=ZA￡C=90°,

.??四邊形4OCE是矩形，

：.AD=CE,AE=CD=5,

:.BE=AB-AE=3,

VBC=3V5,

CE=yjBC2-BE2=6,

二梯形ABCD的面積=ix(5+8)X6=39；

(2)過C作CH工BD于H,

'：CD//AB,

：.ZCDB^ZABD,

?.?/CHD=/A=90°,

：./\CDH^^DBA,

?_CHCD

??,

ADBD

VBD='A/+w=/+62=io,

.CH5

??=，

610

:?CH=3,

：.BH=VBC2-CH2=J(3A/5)2-32=6,

:.NDBC的正切值==|=i

D

6.（2017?上海）已知：如圖，四邊形A8CC中，AD//BC,AD=CD,E是對角線BO上一點，且E4=EC.

（1）求證：四邊形A8C。是菱形；

（2）如果BE=BC,且NCBE：/BCE=2：3,求證：四邊形A8CZ）是正方形.

【分析】（1）首先證得△AOE也△COE,由全等三角形的性質可得/AOE=NCZ）E,由A￡>〃8c可得N

ADE=NCBD,易得NCDB=NCBD,可得8C=C￡>,易得AO=8C,利用平行線的判定定理可得四邊

形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；

⑵由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得NBCE=NBEC,利用三角形的內(nèi)角和定理可得NCBE

=180x；=45°,易得NABE=45°,可得/4BC=90°,由正方形的判定定理可得四邊形ABC。是正

方形.

【解答】證明：（1）在△4OE與△COE中，

AD=CD

DE=DE,

EA=EC

△ADE絲△CDE,

，NADE=NCDE,

?：AD//BC,

：.NADE=NCBD,

：./CDE=/CBD,

：.BC=CD,

,:AD=CD,

：.BC=AD,

：.四邊形ABCD為平行四邊形,

'：AD=CD,

二四邊形ABC。是菱形；

(2)'：BE=BC

:.NBCE=NBEC,

VZCBE：NBCE=2：3,

2

AZCBE^180x2+^=45°,

?.?四邊形ABC。是菱形，

AZAB￡=45",

.../A2C=90°,

四邊形ABC。是正方形.

7.(2016?上海)如圖所示，梯形ABC。中，AB//DC,NB=90°,AD=\5,AB=\6,BC=12,點E是邊

AB上的動點，點F是射線CZ)上一點，射線ED和射線4尸交于點G,且/AGE=/D4B.

(1)求線段CD的長；

(2)如果aAEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長；

(3)如果點F在邊C。上(不與點C、。重合)，設AE=x,DF=y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x

【分析】(1)作。了”，如圖1,易得四邊形8CD”為矩形，則?！?BC=12,CD=8H,再利用

勾股定理計算出AH,從而得到BH和CD的長；

(2)分類討論：當EA=EG時，則/AGE=NGAE,則判斷G點與￡)點重合，即ED=EA,作

于M,如圖1,則AM=%￡>=苧，通過證明RtZ\4MEsRtA4H￡),利用相似比可計算出此時的AE長；

當GA=GE時，則/AGE=/AEG,可證明AE=4￡)=15,

(3)作于"，如圖2,則A”=9,HE=\x-9|,先利用勾股定理表示出DE=g2+(x-9產(chǎn),

再證明△EAGS/\ED4,則利用相似比可表示出EG=(，=,則可表示出OG,然后證明△OGf1

J122+(X-9)2

s/SEGA,于是利用相似比可表示出x和y的關系.

【解析】(1)作于〃，如圖1,

易得四邊形5CQ〃為矩形，

：.DH=BC=\2,CD=BH,

在為△AOH中，AH=yjAD2-DH2=V152-122=9,

：.BH=AB-A”=16-9=7,

：.CD=7；

⑵①EA=EG時，則ZAGE=ZGAE,

,：ZAGE=ZDABf

:,NGAE=NDAB,

??.G點與。點重合，即EQ=￡A,

作EM_LAD于M,如圖1,則AM=*AD=學

*.*/MAE=/HAD,

：.Rt/\AME^Rt/\AHD,

1q9q

：.AE：AD=AM：AH,B|JAE：15=號：9,解得AE=^；

②GA=GE時，則NGAE=NAEG,

ZAGE=ZDAB,

而/AGE=NA￡>G+ND4G,ZDAB=ZGAE+ZDAG,

：.ZGAE=ZADG,

：./AEG=ZADG,

：.AE=AD=15.

綜上所述，△4EC是以EG為腰的等腰三角形時，線段AE的長為烏或15；

(3)作O4_L4B于”，如圖2,則A”=9,HE=\x-9\,

在Rt/\HDE中，DE=>/DH2+HE2=7122+(x-9)2,

VZAGE^ZDAB,ZAEG^ZDEA,

：./\EAG^>/\EDA,

：.EG-AE=AE：ED,即EG：x=x：J122+(x-9)2,

%2

AEG=-^=

J122+(X-9)2

DG=DE-EG=y/122+(%-9)2-1/:,

'J122+(X-9)2

"."DF//AE,

：./\DGF^/\EGA,

2

________________r2%

：.DF：AE=DGzEG,即y：x=(J122+(x—9尸一〒人)：..=,

“J122+(Z-9)2J122o+(X-9)2

2020模擬匯編

1.（2020?楊浦區(qū)二模）已知在四邊形A3CQ中，AB//CD,對角線AC與。。相交于點。，那么下列條件中

能判定這個四邊形是矩形的是（）

A.AD=BCfAC=BDB.AC=BD9NBAD=NBCD

C.AO=CO,AB=BCD.AO=OB,AC=BD

【分析】根據(jù)矩形的判定方法，一?判斷即可解決問題.

【解析】人AB//DC,AD=BC,無法得出四邊形A8CO是平行四邊形，故無法判斷四邊形48CO是矩

形.故錯誤；

B、'：AB//CD,

???N84O+NAOC=NA8C+N3CD=180°,

?：NBAD=/BCD,

：.ZABC=NADC,

工得出四邊形ABC。是平行四邊形，

?:AC=BD,

???四邊形A8CO是矩形.故正確；

C、YAO=CO,AB=BC,

：.BD±AC,NABD=NCBD,

,:AB〃CD,

/.NABD=/CDB,

:.NCBD=NCDB,

：.BC=CD,

：.AB=CD,

四邊形ABC。是菱形，無法判斷四邊形ABC。是矩形.故錯誤;

D、AO=OB,AC=8。可無法判斷四邊形ABC。是矩形，故錯誤;

2.（2020?普陀區(qū)二模）如圖，矩形ABC。中，對角線AC、8。交于點O,如果08=4,/AOB=60°,那

么矩形ABCO的面積等于（）

A.8B.16C.8V3D.16痘

【分析】由矩形的性質得出OA=BO,證△AOB是等邊三角形，得出48=08=4,由勾股定理求出AD,

即可求出矩形的面積.

【解析】???四邊形ABC。是矩形

AZBAD=90°,AO=CO=14C,80=00=聶。，AC=BD^2OB=S,

：.OA=BO,

?.?/AO8=60°,

ZVIOB是等邊三角形，

：.AB=0B=4,

：.AD=<BD2-AB2=V82-42=4后

二矩形ABC。的面積=ABXAO=4X4V5=16V3；

故選：D.

3.（2020?奉賢區(qū)二模）四邊形ABC。的兩條對角線AC、8。互相平分.添加下列條件，一定能判定四邊形

ABCD為菱形的是（）

A.NABD=NBDCB.ZABD^ABACC.NABD=NCBDD.ZABD^ZBCA

【分析】先由對角線AC、BO互相平分得出四邊形48CD是平行四邊形，再按照平行四邊形基礎上菱

形的判定方法：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，逐個

選項分析即可.

【解析】如圖所示，設四邊形A8CO的兩條對角線AC、8。交于點0,

"：AC,8。互相平分，

...四邊形A8CO是平行四邊形.

選項A,由平行四邊形的性質可知A5〃QC,則從而A不符合題意；

選項8,NABD=NBAC,則A0=B0,再結合對角線AC、8D互相平分，可知4C=8O,從而平行四

邊形A8CD是矩形，故8不符合題意；

選項C,由平行四邊形的性質可知A￡>〃BC,從而NADB=NCBD,

當時，ZADB^ZABD,故AB=A￡>,

由一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形可知，C符合題意；

選項D,NABD=NBCA,得不出可以判定四邊形ABC。為菱形的條件，故。不符合題意.

綜上，只有選項C一定能判定四邊形A8CD為菱形.

故選：C.

4.（2020?靜安區(qū)二模）如圖，團ABC。的對角線AC、BO相交于點O,那么下列條件中，能判斷m48CD是

菱形的為（）

A.AO=COB.AO=BOC.ZAOB=ZBOCD.NBAD=NABC

【分析】在平行四邊形基礎上，菱形的判定方法有：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②時角線

互相垂直的平行四邊形是菱形.據(jù)此逐個選項分析即可.

【解析】選項A,由平行四邊形的性質可知，對角線互相平分，故A不符合題意；

選項8,由團A8CO中A0=8?？赏频肁C=B￡>,可以證明團ABC。為矩形，但不能判定因A8CQ為菱形，

故8不符合題意；

選項C,當/AOB=/BOC時，由于NAOB+/80c=180°,故/4OB=N3OC=90°,而對角線互相

垂直的平行四邊形是菱形，故C符合題意；

選項。，由平行四邊形的性質可知，NBAO+/ABC=180°,故當/BAO=NABC時，ZBAD=ZABC

=90°,從而可判定回A2CO為矩形，故。不符合題意.

綜上，只有選項C可以判定12ABe。是菱形.

故選：C.

5.（2020?閔行區(qū)二模）順次聯(lián)結四邊形A8C。各邊中點所形成的四邊形是矩形，那么四邊形48。。是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【分析】此題要根據(jù)矩形的性質和三角形中位線定理求解；首先根據(jù)三角形中位線定理知：所得四邊形

的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形

的對角線必互相垂直，由此得解.

【解析】已知：如右圖，四邊形EFGH是矩形，且E、F、G、H分別是42、BC、CD、4。的中點，求

證：四邊形A8C。是對角線垂直的四邊形.

證明：由于E、尸、G、H分別是A8、BC、CD、AO的中點，

根據(jù)三角形中位線定理得：EH//FG//BD,EF//AC//HG；

'：四邊形EFGH是矩形，即EFVFG,

：.AC1.BD,

觀察選項，只有菱形的對角線互相垂直.

故選：C.

6.（2020?浦東新區(qū)二模）在梯形A8CZ）中，AD//BC,那么下列條件中，不能判斷它是等腰梯形的是（）

A.AB^DCB.ZDAB=ZABCC.NABC=NDCBD.AC^DB

【分析】等腰梯形的判定定理有：①有兩腰相等的梯形是等腰梯形，②對角線相等的梯形是等腰梯形，

③在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可.

【解析】A、AB=DC,

.??梯形ABCQ是等腰梯形，故本選項錯誤；

8、根據(jù)ND48=NA8C,不能推出四邊形A8CD是等腰梯形，故本選項正確；

C、'：ZABC=ZDCB,

：.BD=BC,

，四邊形ABC。是等腰梯形，故本選項錯誤;

D、"：AC^BD,

'：AD//BC,

，四邊形A8CD是等腰梯形，故本選項錯誤.

7.（2020?閔行區(qū)一模）要判斷一個四邊形門框是否為矩形，在下面四個擬定方案中，正確的方案是（）

A.測量對角線是否相互平分

B.測量兩組對邊是否分別相等

C.測量對角線是否互相垂直

D.測量其中三個角是否是直角

【分析】由矩形的判定即可得出結論.

【解析】?.?三個角是直角的四邊形是矩形，

...在下面四個擬定方案中，正確的方案是Q,

故選：D.

8.（2020?松江區(qū)一模）如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，它們的夾角為銳角a,它們重

疊部分（圖中陰影部分）的面積是1.5.那么sina的值為（）

3

D.-

2

【分析】如圖，過點A作AFLCD,由菱形的判定可證四邊形A8CZ）是菱形，可得AO=CD

由面積公式可求40=8=會即可求解.

【解析】如圖，過點A作AELBC,AFLCD,

■:AD//B3AB//CD,

，四邊形A3CO是平行四邊形,

???四邊形ABCD的面積是1.5,

BCXAE=CDXAFf且AE=Ab=1,

:.BC=CD,

???四邊形A5CD是菱形,

:?AD=CD,

V1.5=CDXAF,

3

：.CD=^

3

：.AD=CD=^

.?.sina=^

故選：C.

9.（2020?虹口區(qū)二模）如圖，在矩形48CC中，對角線AC,BD交于點O,以下說法錯誤的是（）

C.OA=OBD.OA=AB

【分析】利用排除法解決問題即可，只要證明A、B、。正確即可.

【解析】,??四邊形A8CO是矩形,

AZABC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：?OA=OB,

故A、B、。正確,

故錯誤的是D,

故選：D.

10.（2020?松江區(qū)二模）如果一個多邊形的每一個內(nèi)角都是135°,那么這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.5B.6C.8D.10

【分析】已知每一個內(nèi)角都等于135。，就可以知道每個外角是45度，根據(jù)多邊形的外角和是360度

就可以求出多邊形的邊數(shù).

【解析】多邊形的邊數(shù)是：〃=鋪潛?=8,即該多邊形是八邊形.

1OU-1OD

故選：C.

二.填空題（共10小題）

11.（2020?浦東新區(qū)三模）如圖，在矩形ABC。中，A8=3,8c=4,將矩形A8CZ）繞點C旋轉，點A、B、

。的對應點分別為A'、8'、。'，當A'落在邊CD的延長線上時，邊A'D'與邊40的延長線交

3-75

于點尸，聯(lián)結CF,那么線段CF的長度為工.

【分析】由旋轉的性質得CD=C￡>'=3,A'D'=AD=4,NAOC=N4￡>'C=90°,由勾股定理得出4c

=5,則AO=A'C-C￡>=5-3=2,證RtZXCOF絲Rt^C￡>'F（"L）,得出。F=O'F,設￡>F=O'F=x,則

A'F=4-x,在RdA。尸中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=j,由勾股定理即可得出b的長度.

【解析】???四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=3,AD=BC=4,NAOC=90°,

AZA'DF=ZCDF=90°,

由旋轉的性質得：CD=CD'=3,A'D'=AD=4,ZADC=ZA'D'C=90°,

：.A'C=V32+42=5,

：.A'D=A'C-CD=5-3=2,

在RtACDF和RtACD'F中，t,,

yCD=CD

：.RtACDF^RtACD'F(HL),

：.DF=DF,

設OF=C'F=尤，則AF=4-x,

在RtaAD尸中，由勾股定理得：22+/=（4-X）2,

解得：x=|,

故答案為：—.

12.（2020?浦東新區(qū)三模）如果直角梯形的兩腰長分別為8厘米和10厘米，較長的底邊長為7厘米，那么

這個梯形的面積是32平方厘米.

【分析】如圖，作OEL8C,根據(jù)勾股定理得到CE="D2-DE2=6,根據(jù)梯形的面積公式即可得到

結論.

【解析】如圖，作力從L8C,已知A8=8,CD=\Q,BC=7,

CE=>JCD2-DE2=6,

：.AD^=BC-EC^\,

11

梯形的面積是：-(AC+3C)?DE=掾x(7+1)X8=32(c〃?2),

答：這個梯形的面積是32平方厘米.

故答案為：32.

13.(2020?楊浦區(qū)二模)如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=\0,BC=15,tan/A=小點P是邊4。

上一點，聯(lián)結PB,將線段PB繞著點P逆時針旋轉90°得到線段PQ,如果點。恰好落在平行四邊形

【分析】如圖1中，當點Q落在C。上時，作BE_LAO于E,QF_LAD交AD的延長線于F.設PE=x.如

圖2,當點。落在AD上時，如圖3中，當點。落在直線8c上時，作8ELAO于E,PF工BC于F.則

四邊形BEPF是矩形，根據(jù)旋轉的性質和平行四邊形的性質以及三角函數(shù)的定義即可得到結論.

【解析】如圖1中，當點。落在CO上時，作于￡,Q凡LA。交AO的延長線于F.設PE=x.

RF4

在RtZ\4E8中，?.?6必=養(yǎng)=&A8=10,

：.BE=S,AE=6,

???將線段P8繞著點尸逆時針旋轉90°得到線段PQ,

ZBPQ=90°,

EBP+/BPE=NBPE+/FPQ=90°,

：.ZEBP=ZFPQf

?；PB=PQ,NPEB=NPFQ=90°,

：./\PBE^/\QPF{AAS^

:?PE=QF=x,EB=PF=8,

?DF=AE+PE+PF-AD=x-1,

YCD〃AB,

：.ZFDQ=ZA,

4FO

/.tanZFDQ=tanA=可=淼,

.x4

??=一,

x-13

Ax=4,

，PE=4,

???AP=6+4=10；

如圖2,當點。落在A。上時，

??,將線段PB繞著點P逆時針旋轉90°得到線段PQ,

BPQ=90°,

AZAPB=ZBPQ=90°,

AD4

在RtZ\AP8中，；tanA=^=w，AB=10,

：.AP=6；

如圖3中，當點。落在直線BC上時，作BE±AD于E,PFVBC于F.則四邊形BEPF是矩形.

DCA

在中，：3必=器=1,AB=10,

.,.￡?￡=8,AE=6,

；.PF=BE=8,

；△BP。是等腰直角三角形，PF1.BQ,

：.PF=BF=FQ=8,

:.PB=PQ=3&BQ=V^PB=16>15（不合題意舍去），

綜上所述，4P的值是6或10,

故答案為：6或10.

14.(2020?徐匯區(qū)二模)如圖，在平行四邊形ABC。中，AO=3,AB=5,sinA=將平行四邊形48。繞

著點8順時針旋轉9(0°＜。＜90°)后，點A的對應是點4,聯(lián)結4C,如果4CLBC,那么cos。的值

【分析】連接8。，連接A'C,過點8作BH_LAO于H,過點4作AEJ_4B于E,先證點〃與點。重合，

再證四邊形4C8Q是矩形，可得NA,Q8=90°,可得點A,點。，點4共線，由面積法可求4七=餐,

由勾股定理可求解.

【解析】如圖，連接B/),連接A7),過點8作于，，過點A作4EJ_A8于E,

；.BH=4,

：.AH=7AB2_BH2=V25-16=3,

：.AD=AH=3,

二點。與點”重合，

AZADB=90°,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

:?AD=BC=3,AD//BC,

：.ZADB=ZDBC=90°,

又TA'CLBC,

：.BD〃KC,

???將平行四邊形ABC。繞著點3順時針旋轉8（00<0<90°）,

：.A'B=AB=5,

VA'CIBC,

：.AfC=>JAfB2-BC2=-25-9=4,

：.A!C=BD,

???四邊形A:CBD是平行四邊形，

VZDBC=90°,8C=A7）=3,

???四邊形HCBO是矩形，

AZA,DB=90Q,

/.ZA,DB+ZADB=1SO°,

???點4,點。，點W共線，

1,i

VSAA'BA=*xABXAE=今xAA'XBD,

74

：.AfE=會

BE=>JA'B2-A'E2=15-黎=看,

\255

7

?aBE57

..COS0=^=5=25，

7

故答案為：—.

25

15.（2020?嘉定區(qū)二模）七巧板由五個等腰直角三角形與兩個平行四邊形（其中的一個平行四邊形是正方形）

組成.用七巧板可以拼出豐富多彩的圖形，圖中的正方形ABC。就是由七巧板拼成的，那么正方形EFG”

1

的面積與正方形A8CZ）的面積的比值為二.

-8-

【分析】四邊形￡尸G”是正方形，ZVIEH是等腰直角三角形，即可得出44=”E="G,設A”="G=

1,則AG=2,即可得到正方形EFG”的面積為1,正方形ABCO的面積為8,進而得出結論.

【解析】???四邊形EFG”是正方形，△AE”是等腰直角三角形,

:.AH=HE=HG,

設AH=HG=1,則4G=2,正方形EFG”的面積為1,

???△AOG是等腰直角三角形，

：.AD=V2AG=2V2,

/.正方形ABCD的面積為8,

...正方形EFGH的面積與正方形ABCD的面積的比值為

故答案為：，

16.（2020?靜安區(qū)二模）如果一條直線把一個四邊形分成兩部分，這兩部分圖形的周長相等，那么這條直線

稱為這個四邊形的“等分周長線”.在直角梯形ABCQ中，AB//CD,NA=90°,DC=AD,是銳

角，cotB=/,AB=17.如果點E在梯形的邊上，CE是梯形A8CD的“等分周長線”，那么△8CE的

周長為42.

【分析】作SLAB于，，設8H=5”，證明四邊形AOC”為矩形，得到AO=C"=12m根據(jù)題意求

出。，根據(jù)勾股定理求出8C,根據(jù)“等分周長線”計算，得到答案.

【解析】作于H,

設BH=5a,

cotB=g,

eBH5

一CH-12'

:,CH=12a,

U：AB//CD,

/.ZD=ZA=90°,又

，四邊形AOC〃為矩形，

：.AD=CH=12a,CD=AH,

,:DC=AD,

：.AH=CD=l2a,

由題意得，12a+5a=17,

解得，a=\,

:,AD=CD=AH=\2,BH=5,

在RlZ\CH8中，BC=y/CH2+BH2=13,

???四邊形ABCD的周長=12+12+17+13=54,

?：CE是梯形ABCD的“等分周長線”，

.?.點E■在A8上，

.-17+13-27=3,

.?.￡?=12-3=9,

由勾股定理得，EC=>JCH2+EH2=15,

.?.△8CE的周長=14+13+15=42,

故答案為：42.

17.（2020?黃浦區(qū)二模）如果一個梯形的上底與下底之比等于1：2,那么這個梯形的中位線把梯形分成兩

部分的面積之比是5：7.

【分析】設梯形的上底為“，用。表示出下底，根據(jù)梯形中位線的概念用a表示出梯形中位線的長，根

據(jù)梯形的面積公式計算，得到答案.

【解析】設梯形的上底為〃，則下底為2〃，

梯形的中位線=警=|。，

???梯形的中位線把梯形分成的兩個梯形的高h是相等的，

13

這個梯形的中位線把梯形分成兩部分的面積之比==5

^x（^a+2a）xh7

故答案為：5：7.

18.（2020?虹口區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=BD=BC,如果NC=50°,那么/ABO

的度數(shù)是20°.

【分析】根據(jù)題意可得三角形BDC和三角形是等腰三角形，再根據(jù)4O〃BC,可得NO8C,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出N484的度數(shù).

【解析】???BQnBC,

AZBDC=ZC=50°,

A180°-2ZC=80°,

,:AD〃BC,

：.ZBDA=ZDBC=SOC,

■:AB=BD,

：.ZA=ZBDA=^0°,

???NA5Q=1800-2ZA=20°.

故答案為：20°.

19.（2020?金山區(qū)二模）四邊形ABC。中，對角線AC、8。相互垂直，AC=4,80=6,順次聯(lián)結這個四邊

形中點所得的四邊形的面積等于

【分析】由E、F、G、H分別為各邊的中點，根據(jù)三角形的中位線定理可得EF//AC,GH//AC,EH

//BD,FG//BD,EF=*AC=2,EH=抑）=3,從而可得四邊形EFG”是平行四邊形，再由對角線AC、

8。相互垂直，可證得四邊形EMON是矩形，然后證明四邊形E尸G”是矩形，利用矩形的面積計算公式

可得答案.

【解析】如圖，

VE,F、G、，分別為各邊的中點，

11

：.EF//AC,GH//AC,EH//BD,FG//BD,EF=^AC=2,EH=^BD=3,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

???對角線AC、8。相互垂直，

；.NEMO=NENO=90°,

，四邊形EMON是矩形，

；.NMEN=90°,

...四邊形EFGH是矩形，

四邊形EFG”的面積為：2X3=6.

故答案為：6.

20.（2020?虹口區(qū)一模）如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=1,8c=2,點。為邊AB上一動點，正

1

方形OEFG的頂點￡、F都在邊5c上，聯(lián)結3G,tanZDGB=-.

npACi

【分析】設OE與3G交于點O,根據(jù)題意可得可得==二=-，由正方形的性質

BEBC2

GF1DOEOGF1

可得GF=DE=EF,進而得出一=再證明可得一=—=—=

BF3DGEBBF3

【解析】如圖，DE與BG交于點O,

?:正方形DEFG,

:?NDEB=NEDG=NGFB=90°,GF=DE=EF,

：?4BDES/\ABC,

tDEAC1

??BE-BC-2’

.GF1

-3，

■:/DOG=/EOB,

：.ADOGsAEOBsAFGB,

,DOEOGF1

DG~EB~BF~3

tanZDGB=1.

故答案為：!

三.解答題（共15小題）

21.（2020?楊浦區(qū)二模）如圖，已知在正方形ABC。中，對角線4c與BO交于點。，點M在線段。力上，

聯(lián)結AM并延長交邊。C于點E,點N在線段OC上，且ON=OM,聯(lián)結。N與線段AE交于點H,聯(lián)

結EMMN.

⑴如果EN〃BD,求證：四邊形OMNE是菱形；

（2）如果EN_LQC,求證：AN?=NOAC.

【分析】（1）由四邊形48c。是正方形，推出宏=萬萬，所以MN〃CO,再根據(jù)EN〃8。，推出四邊形

QA/NE是平行四邊形，再證明△AOM慫△OOM推出NOMA=NONQ,由NO4M+NOMA=90°,Z

OAM+NOND=90°得出/AHN=90°,EPDNLME,所以四邊形DWNE是菱形；

ANAM

（2）由MN〃CD,推出一=—,由四邊形A8CO是正方形，推出A8〃OC,AB=DC,ZADC=90°,

NCME

4cDCAMABANAC

即4OJ_OC,根據(jù)EMLDC,得出EV〃A￡>,所以一=—，根據(jù)A6〃OC,推出一=—，所以一=—,

ANDEMEDENCAN

最后得出結論.

【解答】證明：（1）如圖1,

???四邊形ABCO是正方形,

：.OA=OB=OC=OD,ACA.BD,

ON=OM,

.ONOM

?.=,

OCOD

:.MN〃CD,

又,：EN〃BD,

四邊形DMNE是平行四邊形，

在△AOM和△DON中，

VZAOM=ZDON=90°,OA=OD,OM=ON,

：.△AOMgZkOOMSAS),

：.NOMA=NOND,

VZOAM+ZOMA^90°,

ZOAM+ZOND=90a

；.NAHN=90°.

C.DNLME,

.??平行四邊形。WNE是菱形；

(2)如圖2,

'：MN//CD,

eANAM

"/VC一ME9

???四邊形ABCD是正方形，

：.AB//DC,AB=DC,乙4DC=90°,

：.AD±DC,

又?：E心DC,

：.EN//AD,

tACDC

,*AN~DE

,:AB〃DC,

,AMAB

“ME~DE"

eANAC

"/VC一ANf

:.AN2=NCMC.

22.(2020?浦東新區(qū)三模)已知：如圖，點E為團ABC。對角線AC上的一點，點尸在線段BE的延長線上,

且EF=BE,線段EF與邊CQ相交于點G.

⑴求證：DF//AC；

(2)如果A8=BE,DG=CG,聯(lián)結。E、CF,求證：四邊形OECF是矩形.

（2）根據(jù)平行四邊形的性質得到AB//CD,由平行線的性質得到NA4E=NGCE,求得NGEC=NGCE,

得至|JGE=CG,推出四邊形OEC廠是平行四邊形，得到。G=CG=FG=G￡：,于是得到結論.

【解答】（1）證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，

：.BO=DO,

,:EF=BE,

????！晔恰?。尸的中位線，

JOE//DF,

即DF//AC；

⑵解:':AB=BE,

:?NBAE=NBEA,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,

：.ZBAE=ZGCE,

?:/BEA=/GEC,

:?NGEC=NGCE,

:?GE=CG,

U：DF//AC,

.DGFG

??=,

CGGE

?；DG=CG,

:?FG=GE,

???四邊形OECF是平行四邊形，

?；DG=CG,FG=GE,GE=CG,

；.DG=CG=FG=GE,

：.DC=EF,

???四邊形OECF是矩形.

23.（2020?徐匯區(qū)二模）已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，點石、F、G、H分別在邊A3、BC、CD、

DA±,BE=DG,BF=DH.

⑴求證：四邊形E/G”是平行四邊形;

（2）當AB=8C,且BE=8/時，求證：四邊形EFGH是矩形.

H

B

備用圖

【分析】（1）利用全等三角形的性質可得E/="G,EH=FG,可得結論;

180。一4力

⑵由等腰三角形的性質可得N3￡F=N3PE=,ZAEH=NAHE=里可求/尸￡；//=90°,

23：

可得結論.

【解答】證明：（1）??,四邊形A8CO是平行四邊形,

:?AB=CD,AD=BC,NB=ND,N4=NC,

■:BE=DG,BF=DHf且N8=ND,

???/\BEF冬/XDGH(SAS),

：.EF=HG,

同理可得E”=FG,

???四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)VAB=BC,BE=BF

：?AB=BC=CD=AD,BE=BF=DH=DG,

：.AE=AH,

U：AD//BC,

.,.ZB+ZA=180°,

?：BE=BF,AE=AH,

180。一乙4180°-z5

/.NBEF=NBFE=,NAEH=NAHE=

22

/.ZAEH+ZBEF=90°,

：.ZFEH=90°,

工平行四邊形EFG”是矩形.

24.（2020?奉賢區(qū)二模）如圖1,由于四邊形具有不穩(wěn)定性，因此在同一平面推矩形的邊可以改變它的形狀

（推移過程中邊的長度保持不變）.已知矩形ABC。，AB=4cm,AD=3cmf固定邊A8,推邊A。，使得

點。落在點E處，點C落在點尸處.

(1)如圖2,如果/D4E=30°,求點E到邊AB的距離；

(2)如圖3,如果點A、E、C三點在同一直線上，求四邊形ABFE的面積.

【分析】(1)過點E作軸，垂足為H,根據(jù)矩形的性質得到/D48=90°,AD//EH,根據(jù)平行

線的性質得到N￡>AE=N4E"，求得NAE”=30°,解直角三角形即可得到結論；

(2)過點E作垂足為從根據(jù)矩形的性質得到A￡)=8C.得到BC=3a〃.根據(jù)勾股定理得到

AC=W1B2+8C2=5cm,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到EH=根據(jù)四邊形的性質得到AD

—AE=BF,AB=DC=EF.求得四邊形48C￡)是平行四邊形，于是得到結論.

【解析】(1)如圖2,過點E作軸，垂足為“，

?.?四邊形ABC。是矩形，

AZDAB=90°,

：.AD//EH,

:.NDAE=NAEH,

'：ZDAE=30a,AZAEW=30°.

在直角△AEH中，ZAHE=90°,

；.EH=AE?cosNAEH,

AD=AE=3cm,

.r.Qy耳373

..EHu=3X萬-=,

373

即點E到邊4B的距離是:切；

(2汝U圖3,過點E作垂足為從

?.?四邊形ABCC是矩形，

：.AD=BC,

AD=3cm,

BC—,icm,

在直角△A8C中，ZABC=90°,AB=4cm,

：.AC=y/AB2+BC2=5cm,

：EH//BC,

.AEEH

*AC-BC

AE=AD=3cm,

.3EH

54

9

EH—百

.?推移過程中邊的長度保持不變,

\AD=AE=BF,AB=DC=EF,

四邊形ABCD是平行四邊形，