（教學(xué)思想典型題專講）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 方法論1

【教學(xué)思想典型題專講】2014屆高三一輪復(fù)習(xí)如何學(xué)習(xí)：方法論1一、選擇題1．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1x≤1，,lgxx>1，))則f(f(10))＝()A．10 B．2C．1 D．0解析：選Bf(10)＝lg10＝1，f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.2．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有()A．3項 B．4項C．5項 D．6項解析：選CTr＋1＝Ceq\o\al(r,24)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)))24－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r＝Ceq\o\al(r,24)·x12－eq\f(5,6)r，且0≤r≤24，r∈N，所以當(dāng)r＝0,6,12,18,24時，x的冪指數(shù)是整數(shù)．3．已知實數(shù)a>1，命題p：函數(shù)y＝log(x2＋2x＋a)的定義域為R，命題q：x2<1是x<a的充分不必要條件，則()A．“p或q”為真命題 B．“p且q”為假命題C．“非p且q”為真命題 D．“非p或非q”為真命題解析：選A當(dāng)a>1時，y＝log(x2＋2x＋a)的真數(shù)恒大于零，故定義域是R，p是真命題；當(dāng)a>1時，x2<1的解集是x<a的解集的真子集，故x2<1是x<a的充分不必要條件，q是真命題．所以“p或q”為真命題．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則()A．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點B．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極小值點C．x＝2為f(x)的極大值點D．x＝2為f(x)的極小值點解析：選Df′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)，所以f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，所以x＝2為函數(shù)f(x)的極小值點．5．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6成等比數(shù)列，則其公比為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d.因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，化簡得d2＝－2a1d，因為d≠0，所以d＝－2a1，a2＝－a1，a3＝－3a1，公比q＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(－3a1,－a1)＝3.6．函數(shù)f(x)＝sinxcosx－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),2)的一個對稱中心的坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))C．(π，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))解析：選B∵f(x)＝sinxcosx－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，∴f(x)的圖像的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,6)，0))(k∈Z)．7．已知雙曲線x2＋my2＝－1的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)m的值是()A．4 B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4) D．－4解析：選D由題意知m<0,2×1＝2×2×eq\r(－\f(1,m))?－eq\f(1,m)＝eq\f(1,4)?m＝－4.8．若兩個函數(shù)的圖像經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出如下四個函數(shù)：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，則“同形”函數(shù)是()A．f2(x)與f4(x) B．f1(x)與f3(x)C．f1(x)與f4(x) D．f3(x)與f4(x)解析：選A∵f2(x)＝log2(x＋2)的圖像可由f(x)＝log2x向左平移2個單位得到，f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，它的圖像可由f(x)＝log2x向上平移1個單位得到，故f2(x)與f4(x)為“同形”函數(shù)．二、填空題9．已知eq\f(2,x－4)＋1<0，則函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x－1)的最小值是________．解析：由eq\f(2,x－4)＋1<0得2<x<4，則f(x)＝x＋eq\f(4,x－1)＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)＋1≥5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時等號成立)，故函數(shù)f(x)的最小值是5.答案：510．觀察下列不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜想第n個不等式為________．解析：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)>eq\f(2,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,23－1)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,24－1)>eq\f(4,2)，…，可猜想第n個不等式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).答案：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)11．直線l1與l2相交于點A，動點B，C分別在直線l1與l2上且異于點A，若與的夾角為60°，||＝2eq\r(3)，則△ABC的外接圓的面積為________．解析：由題意，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2eq\r(3)，由正弦定理可知eq\f(BC,sinA)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝2R，其中R為△ABC外接圓的半徑，由此得R＝2，故所求面積S＝πR2＝4π.答案：4π三、解答題12．設(shè)A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗．每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的只數(shù)多，就稱該試驗組為甲類組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為eq\f(2,3)，服用B有效的概率為eq\f(1,2).(1)求一個試驗組為甲類組的概率；(2)觀察三個試驗組，用X表示這三個試驗組中甲類組的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2；Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.依題意，有P(A1)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(B0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(B1)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故所求的概率為P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＝eq\f(4,9).(2)由題意知X的可能值為0,1,2,3，故有P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3＝eq\f(125,729)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))2＝eq\f(100,243)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2×eq\f(5,9)＝eq\f(80,243)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))3＝eq\f(64,729).從而，X的分布列為X0123Peq\f(125,729)eq\f(100,243)eq\f(80,243)eq\f(64,729)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(125,729)＋1×eq\f(100,243)＋2×eq\f(80,243)＋3×eq\f(64,729)＝eq\f(4,3).13．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC(1)證明：A1O⊥平面ABC；(2)求直線A1C與平面A1AB(3)在BC1上是否存在一點E，使得OE∥平面A1AB？若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由．解：(1)證明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O為AC的中點，∴A1O⊥AC∵側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，交線為AC，A1O?平面A1AC，∴A1O(2)連接OB，如圖，以O(shè)為原點，分別以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則由題可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0，0，eq\r(3))，A(0，－1,0)．∴＝(0,1，－eq\r(3))．令平面A1AB的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝n·＝0，而＝(0,1，eq\r(3))，＝(1,1,0)，可求得一個法向量n＝(3，－3，eq\r(3))，∴|cos〈，n〉|＝eq\f(|n·|,|n|·||)＝eq\f(6,2×\r(21))＝eq\f(\r(21),7)，故直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值為eq\f(\r(21),7).(3)存在點E，且E為線段BC1的中點．連接B1C交BC1于點M，連接AB1、OM，則M為B1C的中點，從而OM是△CAB1的一條中位線，即OM∥AB1，又AB1?平面A1AB，OM?平面A1AB，∴OM∥平面A1AB，故BC1的中點M即為所求的14．橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，滿足PF1⊥F1F2，|PF1|＝eq\f(4,3)，|PF2|＝eq\f(14,3).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過圓M：x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心，交橢圓C于A，B兩點，且點A，B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程．解：(1)因為點P在橢圓C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝eq\r(|PF2|2－|PF1|2)＝2eq\r(5)，故橢圓的半焦距c＝eq\r(5)，從而b2＝a2－c2＝4，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)點A，B的坐標分別