高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（選修4-4）-人教版高三選修4-4數(shù)學(xué)試題

選修4－4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系[考情展望]1.理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化特點(diǎn).2.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程．1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換．2．極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系：如圖33所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O(極點(diǎn))，自極點(diǎn)O引一條射線Ox(極軸)；再選定一個(gè)長度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．(2)極坐標(biāo)：平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫，這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．其中ρ稱為點(diǎn)M的極徑，θ稱為點(diǎn)M的極角．圖333．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(ρ，θ)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))ρ2＝x2＋y2tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)4．圓的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ<2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)5.直線的極坐標(biāo)方程(1)直線l過極點(diǎn)，且極軸到此直線的角為α，則直線l的極坐標(biāo)方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直線l過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝a.(3)直線過Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝b.考向一平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換(2014·遼寧高考改編)將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．【解】(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝2y1.))由xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝1，故曲線C的方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所求直線斜率為k＝eq\f(1,2)，于是所求直線方程為y－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(3,4sinθ－2cosθ).規(guī)律方法11.解答該類問題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的P(x，y)與變換后的點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解．2．求交點(diǎn)坐標(biāo)，得直線方程，最后化為極坐標(biāo)方程，其實(shí)質(zhì)是將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入轉(zhuǎn)化．對點(diǎn)訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5X′＝x，,4Y′＝y(tǒng)，))曲線C變?yōu)榍€X′2＋Y′2＝1，求曲線C的方程．【解】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)(x，y)，經(jīng)過變換后對應(yīng)的點(diǎn)為(X′，Y′)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5X′＝x，,4Y′＝y(tǒng)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X′＝\f(x,5)，,Y′＝\f(y,4).))代入曲線X′2＋Y′2＝1.得曲線C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.考向二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的互化在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，圓心為直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)與極軸的交點(diǎn)，求圓C的直角坐標(biāo)方程．圖34【解】在ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)．因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，所以圓C的半徑PC＝eq\r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cos\f(π,4))＝1，于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.則ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x，故圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1.規(guī)律方法21.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，注意ρ，θ的取值范圍及其影響；善于對方程進(jìn)行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧．對點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2014·湖北高考改編)已知曲線C1的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，求C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．(2)(2015·鄭州調(diào)研)已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))，求C、P兩點(diǎn)間的距離．【解】(1)將曲線C2：ρ＝2化為直角坐標(biāo)方程x2＋y2＝4.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)xx≥0，,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(eq\r(3)，1)．(2)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，∴圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.所以圓心C的直角坐標(biāo)為(2,0)．又點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))的直角坐標(biāo)為(2,2eq\r(3))，因此|CP|＝eq\r(2－22＋2\r(3)－02)＝2eq\r(3).考向三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，圓的半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長．【解】(1)設(shè)O為極點(diǎn)，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個(gè)動點(diǎn)，則∠AOD＝eq\f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，OA＝ODcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))或OA＝ODcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).(2)由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，得eq\f(\r(2),2)ρ(sinθ＋cosθ)＝1，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－eq\r(2)＝0，又圓心C的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))滿足直線l的方程，∴直線l過圓C的圓心，故直線被圓所截得的弦長為直徑2.規(guī)律方法31.本題中圓C的圓心過極點(diǎn)，從而得到∠AOD＝eq\f(π,4)－θ，或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，當(dāng)然如果建系不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會不同，因此建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，可簡化運(yùn)算過程．2．由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解．對點(diǎn)訓(xùn)練(2014·陜西高考改編)在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距離．【解】點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化為直角坐標(biāo)為(eq\r(3)，1)，直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1化為ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))＝1，得eq\f(\r(3),2)y－eq\f(1,2)x＝1，即直線的方程為x－eq\r(3)y＋2＝0，故點(diǎn)(eq\r(3)，1)到直線x－eq\r(3)y＋2＝0的距離d＝eq\f(|\r(3)×1－\r(3)×1＋2|,\r(12＋－\r(3)2))＝1.課時(shí)檢測坐標(biāo)系(建議用時(shí)：45分鐘)1．(2015·石家莊調(diào)研)已知圓C的方程為x2＋y2＝2，圓C在點(diǎn)P(1,1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．【解】由l與圓C：x2＋y2＝2相切，∴l(xiāng)的斜率k＝－1，則l的方程y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ(cosθ＋sinθ)＝2，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2).2．在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求實(shí)數(shù)a的值．【解】ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1，即eq\r(2)ρcosθ＋ρsinθ＝1，∴曲線C1的普通方程為eq\r(2)x＋y－1＝0，在曲線C1方程中，令y＝0，得x＝eq\f(\r(2),2).又曲線C2：ρ＝a(a>0)的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝a2，將點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))代入曲線C2的方程x2＋y2＝a2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋02＝a2，則a＝eq\f(\r(2),2).3．(2014·安徽高考改編)在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程是ρ(cosθ－sinθ)＝4，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，求直線l被圓C截得的弦長．【解】直線l：ρ(cosθ－sinθ)＝4的直角坐標(biāo)方程為x－y－4＝0.將圓C：ρ＝4cosθ化為直角坐標(biāo)方程x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，∴圓C的圓心C(2,0)，半徑r＝2.則圓心(2,0)到直線l：x－y－4＝0的距離d＝eq\f(|2－0－4|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，因此直線l被圓截得弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).4．在極坐標(biāo)系中定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，點(diǎn)B在直線l：ρcosθ＋ρsinθ＝0(0≤θ<2π)上運(yùn)動，當(dāng)線段AB最短時(shí)，求點(diǎn)B的極坐標(biāo)．【解】∵ρcosθ＋ρsinθ＝0，∴cosθ＝－sinθ，tanθ＝－1.∴直線的極坐標(biāo)方程化為θ＝eq\f(3π,4)(直線如圖)．過A作直線垂直于l，垂足為B，此時(shí)AB最短．易得|OB|＝eq\f(\r(2),2).∴B點(diǎn)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3π,4))).5．在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．【解】(1)圓O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，即ρsinθ－ρcosθ＝1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).6．(2015·南京模擬)在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，半徑r＝3.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動，點(diǎn)P在OQ的延長線上，且eq\o(OQ,\s\up12(→))＝2eq\o(QP,\s\up12(→))，求動點(diǎn)P的軌跡方程．【解】(1)設(shè)M(ρ，θ)是圓C上任意一點(diǎn)．在△OCM中，∠COM＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，化簡得ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).(2)設(shè)點(diǎn)Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，由eq\o(OQ,\s\up12(→))＝2eq\o(QP,\s\up12(→))，得eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OP,\s\up12(→))，∴ρ1＝eq\f(2,3)ρ，θ1＝θ，代入圓C的方程，得eq\f(2,3)ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，即ρ＝9coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).7．已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcosθ－eq\f(π,4)＝2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．【解】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4，因?yàn)棣?－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2，所以ρ2－2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x＋y＝1.化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).8．(2014·天津高考改編)在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點(diǎn)．若△AOB是等邊三角形，求實(shí)數(shù)a的值．【解】由ρ＝4sinθ，得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，由直線ρsinθ＝a，得直線的直角坐標(biāo)方程為y＝a.設(shè)圓的圓心為O′，y＝a與x2＋(y－2)2＝4的兩交點(diǎn)A，B與O構(gòu)成等邊三角形，如圖所示．由對稱性知∠O′OB＝30°，OD＝a.在Rt△DOB中，易求DB＝eq\f(\r(3),3)a，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a，a)).又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋a2－4a＝0，解得a＝3(a＝0舍)．9．(2013·課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】(1)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).10．從極點(diǎn)O作直線與另一直線l：ρcosθ＝4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使OM·OP＝12.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)R為l上的任意一點(diǎn)，求|RP|的最小值．【解】(1)設(shè)動點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，M的極坐標(biāo)為(ρ0，θ)，則ρρ0＝12.∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ，即為所求的軌跡方程．(2)將ρ＝3cosθ化為直角坐標(biāo)方程，得x2＋y2＝3x，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2，知P的軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))為圓心，半徑為eq\f(3,2)的圓．直線l的直角坐標(biāo)方程是x＝4.結(jié)合圖形易得|RP|的最小值為1.第二節(jié)參數(shù)方程[考情展望]1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程．1．曲線的參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))并且對于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．2．參數(shù)方程與普通方程的互化通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))就是曲線的參數(shù)方程．在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致．3．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))圓x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))考向一參數(shù)方程與普通方程的互化(2015·鄭州質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ，,y＝2tanθ))(θ為參數(shù))．試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【解】因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t為參數(shù))，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直線l的普通方程為2x－y－2＝0.同理得到曲線C的普通方程為y2＝2x.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y2＝2x，))解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1)).規(guī)律方法11.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換法．2．把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響．對點(diǎn)訓(xùn)練(2014·福建高考)已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))．(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解】(1)直線l的普通方程為2x－y－2a圓C的普通方程為x2＋y2＝16.(2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)，故圓C的圓心到直線l的距離d＝eq\f(|－2a|,\r(5))≤4，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5).考向二參數(shù)方程及應(yīng)用已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，傾斜角為eq\f(π,3)，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．(1)求直線l的參數(shù)方程；(2)若直線l與圓C交于兩點(diǎn)B、C，求|AB|·|AC|的值．【解】(1)∵直線l的傾斜角α＝eq\f(π,3)，∴cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，又直線l過點(diǎn)A(1,2)，因此l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))．(2)由x＝3cosθ，且y＝3sinθ，消去θ.得圓C的直角坐標(biāo)方程x2＋y2＝9.將直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2＝9，得t2＋(1＋2eq\r(3))t－4＝0，∴t1t2＝－4.由參數(shù)t的幾何意義得直線l和圓x2＋y2＝9的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)A的距離之積為|t1t2|＝4.因此|AB|·|AC|＝4.規(guī)律方法21.對于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))的參數(shù)方程，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題．2．已知圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題時(shí)，一般把參數(shù)方程化為普通方程，通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等．對點(diǎn)訓(xùn)練(2014·課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．【解】(1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).考向三參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題(2014·課標(biāo)全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝eq\r(3)x＋2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．【解】(1)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cost，,y＝sint))(t為參數(shù)，0≤t≤π)．(2)設(shè)D(1＋cost，sint)，由(1)知，曲線C是以G(1,0)為圓心，以1為半徑的上半圓．又曲線C在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tant＝eq\r(3)，t＝eq\f(π,3).故D的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,3)，sin\f(π,3)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).規(guī)律方法31.(1)第(1)問將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而化為參數(shù)方程，但注意極角θ的范圍對t的限制，常錯(cuò)為t∈[0,2π]．(2)理解參數(shù)t的意義，正確求得點(diǎn)D的直角坐標(biāo)．2．本題將極坐標(biāo)與參數(shù)方程交織在一起，考查邏輯思維能力及運(yùn)算求解能力．善于將各類方程相互轉(zhuǎn)化是求解該類問題的前提．對點(diǎn)訓(xùn)練在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))(α為參數(shù))，M是C1上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up12(→))＝2eq\o(OM,\s\up12(→))，點(diǎn)P的軌跡為曲線C2.(1)求C2的參數(shù)方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝eq\f(π,3)與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|.【解】(1)由eq\o(OP,\s\up12(→))＝2eq\o(OM,\s\up12(→))知，點(diǎn)M是線段OP的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，∵點(diǎn)M在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2cosα，,\f(y,2)＝2＋2sinα，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))從而曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα))(α為參數(shù))．(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ.∴射線θ＝eq\f(π,3)與C1的交點(diǎn)A的極徑ρ1＝4sineq\f(π,3)，射線θ＝eq\f(π,3)與C2的交點(diǎn)B的極徑ρ2＝8sineq\f(π,3).故|AB|＝|ρ2－ρ1|＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).課時(shí)檢測參數(shù)方程(建議用時(shí)：45分鐘)1．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．【解】將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))化為普通方程為y＝x2，由于ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，所以化為極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sinθ＝0.2．(2014·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．【解】將直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))代入拋物線方程y2＝4x，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)t))2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)t))，解得t1＝0，t2＝－8eq\r(2).所以AB＝|t1－t2|＝8eq\r(2).3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝2sint))(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0＜α＜2π)，M為PQ的中點(diǎn)．(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)．【解】(1)依題意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋cos2α，,y＝sinα＋sin2α))(α為參數(shù)，0＜α＜2π)．(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2＋2cosα)(0＜α＜2π)．當(dāng)α＝π時(shí)，d＝0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．4．(2015·福州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝a，且點(diǎn)A在直線l上．(1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．【解】(1)由點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))在直線ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝a上，可得a＝eq\r(2)，所以直線l的方程可化為ρcosθ＋ρsinθ＝2，從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0.(2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r＝1.因?yàn)閳A心C到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)＜1，所以直線l與圓C相交．5．已知P為半圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧eq\x\to(AP)的長度均為eq\f(π,3).(1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；(2)求直線AM的參數(shù)方程．【解】(1)∵M(jìn)點(diǎn)的極角為eq\f(π,3)，且M點(diǎn)的極徑等于eq\f(π,3)，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,3))).(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)，故直線AM的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t為參數(shù))．6．(2014·湖南高考改編)在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為eq\f(π,4)的直線l與曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線l的極坐標(biāo)方程．【解】消去曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))中的參數(shù)α，得(x－2)2＋(y－1)2＝1.由于|AB|＝2，因此|AB|為圓的直徑．∴直線l過曲線C的圓心C(2,1)．又直線l的傾斜角為eq\f(π,4)，則k＝taneq\f(π,4)＝1.所以直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得ρcosθ－ρsinθ＝1.因此直線l的極坐標(biāo)方程ρ(cosθ－sinθ)＝1.7．(2015·沈陽質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4sinθ，ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn).已知直線PQ的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t3＋a，,y＝\f(b,2)t3＋1))(t∈R為參數(shù))，求a，b的值．【解】(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝4，直線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－22＝4，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝2.))所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4))).注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一．(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2)，(1,3)．故