三電阻電路一般分析

重點：

1)支路電流法

2)回路電流法

3)結(jié)點電壓法第3章

電阻電路的一般分析方法電路的“圖”：是指把電路中每一條支路畫成抽象的線段形成的一個結(jié)點和支路的集合。注意：1）結(jié)點和支路各自為一個整體，但任意一條支路必須終止在結(jié)點上。2）移去一條支路并不等于同時把它連接的結(jié)點也移去，所以允許有孤立結(jié)點存在。3）若移去一個結(jié)點，則應(yīng)當(dāng)把與該結(jié)點連接的全部支路都同時移去。3.1電路的圖線段例:有向圖：賦予支路方向的圖。電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向。無向圖：未賦予支路方向的圖。3.2KCL和KVL的獨立方程數(shù)1234561243結(jié)點1：i1=i4+i6(1)

結(jié)點2：i3=i1+i2

(2)

結(jié)點3：i2+i5+i6

=0(3)結(jié)點4：i4=i3+i5

(4)

一KCL的獨立方程數(shù)結(jié)論:對于具有n個結(jié)點的電路，任意選取(n-1)個結(jié)點，可以得出(n-1)個獨立的KCL方程。相應(yīng)的(n-1)個結(jié)點稱為獨立結(jié)點。1234561243結(jié)點1：i1=i4+i6(1)

結(jié)點2：i3=i1+i2

(2)

結(jié)點3：i2+i5+i6

=0(3)

結(jié)點4：i4=i3+i5

(4)

(2)+(3)+(4)可推出(1)(1)+(3)+(4)可推出(2)(1)+(2)+(4)可推出(3)(1)+(2)-(3)可推出(4)1231:R1i1+R2i2-us=0(1)i3i1i22:-R2i2+R3i3=0(2)3:-us+R1i1+R3i3=0(3)(3)-(2)可推出(1)(3)-(1)可推出(2)(1)+(2)可推出(3)可見，有2條KVL方程是獨立的，1條是多余的。簡單的圖很快可確定獨立的KVL方程，復(fù)雜的圖怎么辦？回路個數(shù)：3個二KVL獨立方程數(shù)回路個數(shù)?uSR1R2R3+–例：

引入“樹”的概念，“樹”的概念有助于尋找一個獨立回路。

12345867有多少個不同的回路？哪些是獨立的回路？13個不同的回路連通圖G：當(dāng)G的任意兩個結(jié)點之間至少存在一條支路時，G為連通圖。樹：一個連通圖(G)的樹(T)包含G的全部結(jié)點和部分支路，且本身是連通的又不包含回路。

12731665412111098141513例:是樹嗎？樹支樹支：樹中包含的支路為樹支。連支連支：其它支路為對應(yīng)于該樹的連支。樹支與連支共同構(gòu)成圖G的全部的支路。支路數(shù)=樹支+連支樹支數(shù)：對于一個具有n個結(jié)點的連通圖，它的任何一個樹的樹支數(shù)必為（n-1）個。

連支數(shù)：對于一個具有n個結(jié)點b條支路的連通圖，它的任何一個樹的連支數(shù)必為

(b-n+1)個。

對于圖G的任意一個樹，加入一個連支后，形成一個回路，并且此回路除所加的連支外均由樹支組成，這種回路稱為單連支回路或基本回路。

例:

每一個基本回路僅含一個連支，且這一連支并不出現(xiàn)在其他基本回路中。單連支回路：

對于一個結(jié)點數(shù)為n，支路數(shù)為b的連通圖，其獨立回路數(shù)為（b-n+1）?；净芈方M：由全部單連支形成的基本回路構(gòu)成基本回路組?；净芈方M是獨立回路組。根據(jù)基本回路列出的KVL方程組是獨立方程。連支數(shù)獨立回路數(shù)：平面圖：如果把一個圖畫在平面上，能使它的各條支路除連接的結(jié)點外不再交叉，這樣的圖為平面圖。否則為非平面圖。例：能畫出平面圖？能畫出平面圖？不能展成平面而無支路的交疊平面圖非平面圖平面圖的全部網(wǎng)孔是一組獨立回路，故平面圖的網(wǎng)孔數(shù)為其獨立回路數(shù)。根據(jù)網(wǎng)孔列出的KVL方程組是獨立方程。

網(wǎng)孔是最簡單的回路小結(jié)：1）獨立的KCL方程個數(shù)：n-1條。2）獨立的KVL方程個數(shù)：b-n+1條。3）列獨立的KCL方程：選取任意n-1個結(jié)點列

KCL方程。4）列獨立的KVL方程：

a.據(jù)基本回路列KVL方程；

b.據(jù)網(wǎng)孔列KVL方程。3.3支路電流法支路電流法列電路方程的步驟：以各支路電流為未知量列寫n-1條KCL方程，b-n+1條KVL方程。(1)標(biāo)定各支路電流的參考方向和大??；(2)選定(n–1)個結(jié)點，列寫其KCL方程；(3)選定b–(n–1)個獨立回路，指定回路的繞行方向，列出用支路電流表示的KVL方程；(4)

求解上述方程，得到b個支路電流；(5)進(jìn)一步計算支路電壓和進(jìn)行其它分析。R6uS1R1R2R3R4R5+–iS5ｎ＝４ｂ＝7則：KCL：ｎ－１＝３

KVL:ｂ－ｎ＋１＝459頁例:ｎ＝？ｂ＝？R6uS1R1R2R3R4R5+–iS5R5+–把電流源和電阻的并聯(lián)等效為電壓源和電阻的串聯(lián)解:abci1=i2+i6(a)

i2=i3+i4(b)

i5=i4+i6(c)

KCL213-uS1+i1R1+i2R2+i3R3=0(1)-i3R3+i4R4+i5R5+iS5R5=0(2)i6R6-i4R4-i2R2=0(3)KVLR6uS1R1R2R3R4R5+–iS5R5+–i1i3i4i5i2i6ｎ＝４ｂ＝６則：KCL：ｎ－１＝３

KVL:ｂ－ｎ＋１＝３例1：ｎ＝？ｂ＝？R6uSR1R2R3R4R5+–R6uSR1R2R3R4R5+–i6i2i3i4i1i5123解：

i1+i2=i61

i2=i3+i4

2

i4+i5=i6

3123KCL1–R1i1+R2i2+R3i3=02–R3i3+R4i4–R5i5=03R1i1+R5i5–uS+R6i6=0KVL解方程可求得:

i1

i2

i3

i4

i5

i6

支路電流法是最基本的方法，在方程數(shù)目不多的情況下可以使用。由于支路法要同時列寫KCL和KVL方程，所以方程數(shù)較多，且規(guī)律性不強(相對于后面的方法)，手工求解比較繁瑣，也不便于計算機編程求解。因此較少采用。支路電流法的特點：3.4網(wǎng)孔電流法1）設(shè)網(wǎng)孔電流的方向（也是回路繞行方向）和大小；2）列網(wǎng)孔KVL方程；（兩種方法）3）解方程求網(wǎng)孔電流；4）求某支路的電流(用網(wǎng)孔電流表示)

。

是以網(wǎng)孔電流作為電路的獨立變量，列KVL方程。只適用于平面電路。網(wǎng)孔電流法列方程步驟：求KVL方程的第一種方法：1）用KVL的表述一列方程；2）注意支路電流與網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系。R2iim2im1i

i

=im1

–

im2

i=im2

–

im1

網(wǎng)孔電流網(wǎng)孔電流支路電流61頁例：im2im1-us1+R1

im1

+R2(

im1

–

im2)+uS2=0-uS2+R2(im2-im1)+R2

im3

+us3=0

求i1，i2，i3i1=im1i2=im1-im2i3=im2-uS2R2+–iim2im1

i=im1

–

im2

uS2R1R2R3+–+–uS3+uS1–i2i1i3-uS1+R1

im1

+R2(

im1

–

im2)+uS2=0-uS2+R2(im2-im1)+R3

im2

+uS3=0

整理得:(R1+R2)

im1

–R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)im2

=uS2-uS3

即:

R11im1+R12im2=uS11R21im1+R22im2

=uS22下面講書本的方法：求KVL方程的第二種方法uS11=uS1-uS2

為網(wǎng)孔1的總電壓源電壓，各電壓源電壓與網(wǎng)孔電流一致時，前取負(fù)號，反之取正號。uS22=uS2-uS3

為網(wǎng)孔2的總電壓源電壓。R11im1+R12im2=uS11R21im1+R22im2

=uS22R11=R1+R2

代表網(wǎng)孔1的自阻，為網(wǎng)孔1所有電阻之和。R22=R2+R3

代表網(wǎng)孔2的自阻，為網(wǎng)孔2所有電阻之和自阻總是正的R12=R21=R2

代表網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2的互阻，為網(wǎng)孔1、2的公共電阻。當(dāng)兩網(wǎng)孔電流通過公共電阻的參考方向相同時，互阻為正；當(dāng)兩網(wǎng)孔電流通過公共電阻的參考方向相反時，互阻為負(fù)；當(dāng)兩網(wǎng)孔電流間沒有公共電阻時，互阻為零。如果網(wǎng)孔電流的方向均為順時針，則互阻總為負(fù)。推廣:R11im1+R12im2+R13im3+---+R1mimm=us11R21im1+R22im2+R23im3+---+R2mimm=uS22

------------------------Rm1im1+Rm2im2+Rm3im3+---+Rmmimm=uSmm1）按通式寫出回路電流方程。2）注意通式方程中的正負(fù)號。

a)自阻為正，互阻可正可負(fù)，當(dāng)兩網(wǎng)孔電流通過公共電阻的參考方向相同時，互阻為正；當(dāng)兩網(wǎng)孔電流通過公共電阻的參考方向相反時，互阻為負(fù)；

b)各電壓源電壓與網(wǎng)孔電流一致時，前取負(fù)號，反之取正號。R11il1+R12il2+…+R1lill=uSl1

…R21il1+R22il2+…+R2l

ill=uSl2Rl1il1+Rl2il2+…+Rll

ill=uSll列寫網(wǎng)孔電流方程的KVL方程方法二：+_US2+_US1R1R2R3+_US4R463頁例3-1:用網(wǎng)孔法求各支路電流。解：書本解法解：(1)設(shè)選網(wǎng)孔電流；(2)列網(wǎng)孔電流方程；(R1+R2)I1-R2I2=US1-US2

-R2I1+(R2+R3)I2-

R3I3=US2-R3I2+(R3+R4)I3=-US4(3)求解回路電流方程；(4)求各支路電流：

Ia=I1

,Ib=I2-I1,Ic=I2-I3,Id=-I3I1I3I2+_US2+_US1R1R2R3+_US4R4IaIbIcId用網(wǎng)孔電流法求含有受控電壓源電路的各支路電流。+_2V

3

U2++3U2–1

2

1

2

I1I2I3I4I5IaIbIc練習(xí)3.5回路電流法

是以回路電流作為電路的獨立變量，列KVL方程。適用于平面電路和非平面電路。網(wǎng)孔電流法是回路電流法的特例，因此方法類同。1）選獨立的回路，設(shè)回路電流的方向（其又是繞行方向）和大?。?）列回路KVL方程；（兩種方法）3）解方程求回路電流；4）求某支路的電流(用回路電流表示)或其它分析

?；芈冯娏鞣蟹匠滩襟E：65頁例3－2已知R1=R2=R3=1，R4=R5=R6=2，uS1=4V，uS5=2V。求各支路電流。_+_uS1uS5R4R5R3R1R6+R2i1i3i2i4i5i6解法一：用網(wǎng)孔電流法I1I2I3

R1I1+uS1

+

R6(I1-I3)

+R2(I1-I2)=0

R4I2+

R2(I2-I1)+R5(I2-

I3)-uS5

=0i1=I1uS5+R5(I3-I2)+R6(I3-

I1)+R3I3=0i2=I2

-I1i3=I3i4=-I2i5=I2

-I3i6=I3

-I1解法二：用回路電流法i1=Il1i2=Il2i3=Il3i4=-(Il1+Il2)

i5=Il1

+Il2-Il3i6=Il3

-Il1

R1Il1+uS1

+

R6(Il1-Il3)

+R5(Il1+Il2-Il3)-us5+R4(Il1+Il2)=0Il2Il3Il1R4(Il1+Il2)

+R2Il2+R5(Il1+Il2-Il3)-us5=0us5

+R5(Il3-Il2-Il1)+R6(Il3–Il1)

+R3Il3=0_+_uS1uS5R4R5R3R1R6+R2i1i3i2i4i5i6特殊情況一的處理：電路中含有無伴電流源+_US1R4R5R3R1R2IS2+_US3Il2Il3Il1+_U無伴電流源解：設(shè)無伴電流源兩端電壓為U。

R1Il1

+

R3(Il1-Il3)

+R2(I12-Il2)=0-Us1＋R2(Il2－Il1)

+U

+R4Il2=0-U+R3(Il3-Il1)+

US3+R5

Il3=0方法一：設(shè)無伴電流源兩端電壓為未知量，列多一條與無伴電流源電流有關(guān)的方程。IS2=Il3-

Il2

67頁例3－3方法二：適當(dāng)選取回路（一般不一定是網(wǎng)孔），讓無伴電流源(連支)只有一個回路電流流過，該回路電流的大小即為無伴電流源的電流大小。Il2Il3Il1解：設(shè)回路電流的大小和方向。

R1Il1

+

R3(Il1-Il3)

+R2(I11-Il2

-Il3)=0-Us1＋R2(Il2+Il3-Il1)

+R3(Il3-Il1)+

US3+R5Il3+R4(Il2+Il3)=0IS2=

-

Il2

顯然方法二比方法一的方程個數(shù)要少。+_US1R4R5R3R1R2IS2+_US3特殊情況二的處理：電路中含有受控源+_uS3R4R3R1R2iS1+_uC=au2iC=βi2+_uS2i2+_u2方法：把受控源看作是獨立電源，處理方法與獨立電源一樣，同時把控制量用回路電流表示。67頁例3－4+_uS3R4R3R1R2iS1+_uC=au2iC=βi2+_uS2i2+_u2Il4Il1Il2Il3

Il1=iS1

R2(Il2-Il1)

–

us2+R3(Il2-Il3-Il4)+uS3

=0-uS3

+R3(Il3+

Il4–Il2)+R4

Il4+

uC=0Il3=-iC

iC=

βi2=βIl2

uC

=au2=aR2(Il1–Il2)以結(jié)點電壓為未知變量列寫KCL方程。3.6結(jié)點電壓法結(jié)點電壓：在電路中任意選擇某一結(jié)點為參考結(jié)點，其它結(jié)點與此參考結(jié)點之間的電壓稱為結(jié)點電壓。結(jié)點電壓法的獨立方程數(shù)為(n-1)個。與支路電流法相比，方程數(shù)可減少b-(n-1)個。列寫結(jié)點電壓方程的方法一:1、指定參考結(jié)點，然后選取余下n-1個結(jié)點，設(shè)這n-1個結(jié)點的電壓為unx；并任意假設(shè)與這n-1個結(jié)點有關(guān)支路的電流參考方向；2、據(jù)i=u/R或i=uG及,列（n-1）條KCL方程；3、解方程；4、找待求量與結(jié)點電壓之間的關(guān)系。0un11un22un33iS1iS6R1R2R5R3R4+-us3R669頁圖3-16：i1i2i4i3i5iS1iS2iS3R1R2R5R3R40un11un22例:整理，得G11G12G21G22iSn1iSn2下面講書本的方法:上式簡記為G11un1+G12un2=iSn1G21un1+G22un2=iSn2標(biāo)準(zhǔn)形式的節(jié)點電壓方程。其中G11=G1+G2+G3+G4—結(jié)點1的自電導(dǎo)，等于接在結(jié)點1上所有支路的電導(dǎo)之和。G22=G3+G4+G5—結(jié)點2的自電導(dǎo)，等于接在結(jié)點2上所有支路的電導(dǎo)之和。G12=G21=-(G3+G4)—結(jié)點1與結(jié)點2之間的互電導(dǎo)，等于接在結(jié)點1與結(jié)點2之間的所有支路的電導(dǎo)之和，并冠以負(fù)號。iSn1=iS1-iS2+iS3—流入結(jié)點1的電流源電流的代數(shù)和。iSn2=-iS3—流入結(jié)點2的電流源電流的代數(shù)和。*自電導(dǎo)總為正，互電導(dǎo)總為負(fù)。*電流源支路電導(dǎo)為零。*流入結(jié)點取正號，流出取負(fù)號。一般情況：G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2

Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中Gii—自電導(dǎo)，等于接在結(jié)點i上所有支路的電導(dǎo)之和(包括電壓源與電阻串聯(lián)支路)?？倿檎?。iSni

—流入結(jié)點i的所有電流源電流的代數(shù)和(包括由電壓源與電阻串聯(lián)支路等效的電流源)。Gij

=Gji—互電導(dǎo)，等于接在結(jié)點i與結(jié)點j之間的所支路的電導(dǎo)之和，并冠以負(fù)號。1、指定參考結(jié)點，其余結(jié)點對參考結(jié)點之間的電壓就是結(jié)點電壓。G11un1+G12un2+…+G1nunn=iSn1G21un1+G22un2+…+G2nunn=iSn2…

…

…Gn1un1+Gn2un2+…+Gnnunn=iSnn2、按通式寫出結(jié)點電壓方程。注意：自導(dǎo)為正，互導(dǎo)總為負(fù)的，并注意注入各結(jié)點電流的符號。3、解方程；列寫結(jié)點電壓方程的步驟：方法二4、找待求量與結(jié)點電壓之間的關(guān)系。P71頁例3-5：uS3R1R2R3R4R5+–R8R7R6iS13uS7iS4+–un4un3un2un143210例3-6:uSiS2UOR1R5R3R4iS1R2+_+_電路如圖所示，用結(jié)點電壓法求各支路電流及輸出電壓UO。0321un3un2un1un1=5Vun2=20Vun3=15VUo=un3=15V特殊情況的處理:電路中含有無伴電壓源P73頁例3-7:如圖所示電路中，us1為無伴電壓源的電壓。試列出此電路的結(jié)點電壓方程。解法一：引入無伴電壓源支路的電流i021un1un2這種方法引入了新的變量，方程個數(shù)增多。電路中含有1個無伴電壓源：方法1：無伴電壓源支路引入電流作為新變量，列多一條與無伴電壓源有關(guān)的方程。G3uS1G1G2iS2+_i解法二：uS1G1G2G3iS2+_021un1un2電路中含有1個無伴電壓源：方法2：選取無伴電壓源的“-”端或“+”端所接的結(jié)點為參考結(jié)點。列寫下圖含VCCS電路的結(jié)點電壓方程。解:iS1R1R3R2gu2+u2

-P74頁例3-8:電路中含有受控源01un12un2電路中含有受控源：方法：受控源當(dāng)作獨立源處理，然后將它的控制量轉(zhuǎn)化成結(jié)點電壓表示。(2)對于非平面電路，選獨立回路不容易，而獨立結(jié)點較容易。(3)回路法、結(jié)點法易于編程。目前用計算機分析網(wǎng)絡(luò)(電網(wǎng)，集成電路設(shè)計等)采用結(jié)點法較多。支路法回路法結(jié)點法KCL方程KVL方程n-1b-n+100n-1方程總數(shù)b-n+1n-1b-n+1b(1)方程數(shù)的比較支路法、回路法和結(jié)點法的比較：1、獨立的KCL方程數(shù)（n–1）個2、獨立的KVL方程數(shù)（b–n+1）個3、獨立回路組樹支數(shù)（n–1）個連支數(shù)（b–n+1）個單連支回路：一個連支和幾個樹支構(gòu)成的回路獨立回路組：由所有單連支回路組成的回路組。本章小結(jié)4、支路電流法

以各支路的電流為求解變量。各支路電壓用支路電流來表示。KVL方程數(shù)（b–n+1）個KCL方程數(shù)（n–1）個（b）個列出支路電流法的電路方程的步驟：(1)標(biāo)定各支路電流的參考方向；(2)選定(n–1)個節(jié)點，列寫其KCL方程；(3)選定b–(n–1)個獨立回路，指定回路的繞行方向，列出用支路電流表示的KVL方程。(4)求解上述方程，得到b個支路電流；(5)進(jìn)一步計算支路電壓和進(jìn)