專題13拋物線（2個知識點2個拓展2個突破7種題型4個易錯點）

專題13拋物線（2個知識點2個拓展2個突破7種題型4個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.拋物線的概念知識點2拋物線的簡單幾何性質(zhì)拓展1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拓展2.拋物線焦點線的性質(zhì)突破1.與拋物線有關(guān)的最值問題突破2.直線與拋物線的位置關(guān)系【方法二】實例探索法題型1.拋物線的定義題型2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解題型3.拋物線定義的應(yīng)用之距離轉(zhuǎn)化題型4.拋物線定義的應(yīng)用之距離最值題型5.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用題型6.焦點弦的性質(zhì)題型7.直線與拋物線的位置關(guān)系【方法三】差異對比法易錯點1.忽視定義中的限制條件而致錯易錯點2.忽略方程標(biāo)準(zhǔn)形式的特征而致錯易錯點3.忽視點與拋物線的位置關(guān)系而致錯易錯點4.忽略焦點的位置而致錯【方法五】成果評定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.拋物線的概念1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(－p,2)))y＝eq\f(p,2)【例1】．（2023上·北京·高二北京市第三十五中學(xué)校考階段練習(xí)）點P是拋物線y2=4x上一點，P到該拋物線焦點的距離為4，則點P的橫坐標(biāo)為（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點F的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，故PF=【詳解】∵拋物線y2∴焦點F1,0,準(zhǔn)線方程為x=-1由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，∴P到該拋物線焦點的距離PF=xP∴點P的橫坐標(biāo)為3.故選:B．知識點2拋物線的簡單幾何性質(zhì)1．拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形性質(zhì)焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e＝12.焦點弦直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交．設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①k＝0時，直線與拋物線只有一個交點；②k≠0時，Δ＞0?直線與拋物線相交?有兩個公共點．Δ＝0?直線與拋物線相切?只有一個公共點．Δ＜0?直線與拋物線相離?沒有公共點．拓展1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】．（2023上·廣東廣州·高二廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線C上的點到F1,0的距離等于到直線x(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點D6,0的直線l與C交于A,B兩點，且以AB為直徑的圓過F點，求直線l【答案】(1)y(2)2x-y-12=0或2x+y-12=0【分析】（1）利用拋物線定義即可求得拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)l:x=my+6，聯(lián)立拋物線C與直線l的方程，利用設(shè)而不求的方法列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值，進而得到直線l的方程．【詳解】（1）由題意拋物線的焦點F1,0，準(zhǔn)線方程是則p2=1,p=2，故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）顯然l的斜率不為0，設(shè)l:x=my+6,Ax聯(lián)立x=my+6y2Δ=16又AF⊥BF，所以FA?又FA=則x1即my即-24m2+1所以直線l的方程為x=±1即2x-y-12=0或2x+y-12=0．拓展2.拋物線焦點弦的性質(zhì)【例3】．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點（點A在第一象限），若點D為拋物線C的準(zhǔn)線上一點，且AF=ADA．-22 B．-2 C．-3【答案】A【分析】由拋物線的定義及AF=AD=3可得直線AD與拋物線的準(zhǔn)線垂直，由A，F(xiàn)，B三點共線求出點【詳解】由拋物線定義知，AF等于點A到準(zhǔn)線的距離，又AF=AD=3設(shè)A(xA,yA)，由則xA+1=3，得代入拋物線方程y2=4x，又點故yA=22，所以A(2,2設(shè)ByB2則由A，F(xiàn)，B三點共線可得yB整理得yB2-2yB-4=0故直線BD的斜率為22故選：A．突破1.與拋物線有關(guān)的最值問題【例4】．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0)，點P(1)若點M(4,2)，求|PM|+|PF|的最小值．(2)若過點P作斜率為k(k>0)，-k的兩條直線l1，l2，分別與C交于點A，B（異于點P），并記△ABP的垂心為H，是否存在實數(shù)k，使得點H始終在拋物線【答案】(1)5；(2)存在，k=2.【分析】（1）求出拋物線方程，利用拋物線定義結(jié)合幾何意義求解即得.（2）設(shè)點P(t2,2t)，聯(lián)立直線l1,l【詳解】（1）依題意，p2=1，解得p=2，于是拋物線C的方程為過點P,M分別作C的準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足分別為E,N因此|PM|+|PF|=|PE|+|PM|≥|MN|=5，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，E三點共線時取等號，所以|PM|+|PF|的最小值為5.（2）設(shè)P(t2,2t)，則直線PA由y2=4xy-2t=k(x-t2)消去設(shè)A(x1,y1),B(x由△ABP的垂心為H，顯然AH⊥BP,BH⊥AP，設(shè)H(x則直線AH的方程為y-y1=1k聯(lián)立解得2y2xH=k(假設(shè)存在實數(shù)k，使得點H始終在拋物線y2=x+3上，即整理得t2(16k4-16所以存在k=2，使得點H始終在拋物線y2突破2.直線與拋物線的位置關(guān)系【例5】．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過點M(1,3)的直線l在x軸上方與拋物線C相交于不同的A，B兩點，若BF【答案】4【分析】首先由拋物線定義可以求出點B的坐標(biāo)，結(jié)合已知可得直線l的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立即可得A的坐標(biāo)，進一步即可得解.【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2則直線l的方程為y=32(x+1)解得x1=13，x2故答案為：43【方法二】實例探索法題型1.拋物線的定義1．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習(xí)）若拋物線C：x2=2py（p>0）上的一點Px(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點Q0,6的直線l與拋物線C相交于A，B點，證明1【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）利用拋物線定義結(jié)合P到拋物線焦點的距離，列式求出p，即可求得答案；（2）設(shè)直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，求出AQ,BQ的表達(dá)式，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系式化簡1【詳解】（1）拋物線x2=2py（p>0）的準(zhǔn)線l的方程為根據(jù)拋物線的定義知點P到C的焦點的距離即為點P到準(zhǔn)線l的距離，所以p4+p所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）證明：顯然直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+6，Ax1,聯(lián)立y=kx+6x2=12y所以Δ=144k2+288>0，又AQ=同理BQ=所以1=x所以1AQ題型2.對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解2．（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)A，B為拋物線C：y2=2px（p>0）上兩點，直線AB的斜率為4，且A與B的縱坐標(biāo)之和為(1)求拋物線C的方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，直線l交拋物線C于M，N兩點（異于點O），以MN為直徑的圓經(jīng)過點O，求△FMN面積的最小值．【答案】(1)y(2)48【分析】（1）由題意設(shè)出點A,B的坐標(biāo)，結(jié)合點A,B的坐標(biāo)滿足拋物線方程，直線AB的斜率為4，且A與B的縱坐標(biāo)之和為2可列出方程，進而求得p的值，從而即可得解.（2）由題意可得OM?ON=x1x2+【詳解】（1）設(shè)AxA,yA,Bx直線AB的斜率k=y解得p=4，所以拋物線C的方程為y2（2）設(shè)直線l的方程為x=my+n，Mx1,聯(lián)立x=my+ny2=8x，消去x得y由韋達(dá)定理得y1+y以MN為直徑的圓經(jīng)過點O，即OM?因為M，N兩點異于點O，所以解得y1即y1y2=-8n=-64，則n=8，直線易知F2,0，S△FMN=12×故△FMN面積的最小值為48.【點睛】關(guān)鍵點睛：第一問的關(guān)鍵是設(shè)點不設(shè)線，從而減少計算量，第二問的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，首先聯(lián)立MN方程與拋物線方程，結(jié)合已知得到MN直線過定點，從而即可順利求解.題型3.拋物線定義的應(yīng)用之距離轉(zhuǎn)化3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，拋物線y2=4x的焦點為F，A，B是拋物線上兩個不同的點，M為線段AB的中點，則（A．若AB≥6，則M到準(zhǔn)線距離的最小值為B．若OA?OB=12，且C．若AB過焦點F，AB=8，C為直線AB左側(cè)拋物線上一點，則△ABC面積的最大值為D．若OA⊥OB，則O到直線AB距離的最大值為4【答案】ACD【分析】對于選項A，由dM-l=12dA-l+dB-l=12(AF+BF)≥12AB可以判斷，對于選項B，設(shè)Ax1,y1，Bx2【詳解】選項A：記拋物線的準(zhǔn)線為l，當(dāng)AB不過點F時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得AF+當(dāng)AB過點F時，AF+所以dM-l=12選項B：設(shè)Ax1,y1，Bx2AF2+BF2=整理得x1x2+y所以M到準(zhǔn)線的距離為12x1選項C：因為AB過焦點F(1,0)，AB=8，所以AB=則x1+x2=6聯(lián)立拋物線方程y2=4x可得y2-4my-4=0，所以所以x1+x根據(jù)圖形的對稱性，不妨設(shè)m=1，因為C為直線AB左側(cè)拋物線上一點，由圖像易知當(dāng)過點C的直線平行于AB且與拋物線相切時，點C到直線AB的距離d最大，此時△ABC的面積最大．令C(x0,y0則y'x=x0=所以點C(1,2)到直線AB的距離d=1-2-1此時S△ABC=1選項D：令A(yù)y124,y1，B設(shè)直線AB的方程為x=my+n，聯(lián)立拋物線方程y2=4x可得所以y1y2=-4n=-16，解得n=4，所以直線即直線AB恒過定點P(4,0)，易知當(dāng)OP⊥AB時，點O到直線AB的距離最大，最大值為4，故選項D正確．故選：ACD題型4.拋物線定義的應(yīng)用之距離最值4．（2023上·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學(xué)?？计谥校佄锞€C:x2=2py的焦點為F、P為其上一動點，當(dāng)P運動到t,1時，PF=2，直線l與拋物線相交于A、B兩點，點A．拋物線的方程為xB．PM+PFC．當(dāng)直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與x軸相切D．存在直線l，使得A,B兩點關(guān)于x+y-5=0對稱【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)拋物線定義即可得到；對于B，利用三角形兩邊之和大于第三邊即可得到；對于C，借助直線與圓相切的性質(zhì)即可得到；對于D，設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立后，借助對稱性思想即可得到.【詳解】對于A：當(dāng)P運動到t,1時，PF=1+p2=2，故p=2，即拋物線為對于B：由x2=4y，故F0,1，則PM對于C：當(dāng)直線l過焦點F時，設(shè)A為x0,y故以AF為直徑的圓的半徑為y0+12，又F0,1，故以有圓心到x軸的距離與該圓半徑相等，即該圓與x軸相切,故C正確；對于D：設(shè)存在該直線l，則l與直線x+y-5=0垂直，則該直線的斜率k=-1即可設(shè)該直線為y=x+m，A、B分別設(shè)為x1,y由y=x+mx2=4y，消去y則Δ=16+16m>0，即m>-1有x1+x故x1+x則弦AB的中點2,2+m在直線x+y-5=0上，即有2+2+m-5=0，解得m=1>-1，故存在直線l，使得A,B兩點關(guān)于x+y-5=0對稱，故D正確.故選：BCD.題型5.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用5．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）已知Q3,3,M為拋物線C1:y2=8x上一動點，NA．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】將MN轉(zhuǎn)化為MC2-r，再根據(jù)拋物線的定義考慮M,T,Q三點共線時的情況，由此求解出【詳解】C1:y2=8xC2:x所以圓心為C22,0即為C1焦點，半徑r=1過點M作MT⊥準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于T點，記點M'所以MQ+當(dāng)且僅當(dāng)M,Q,T三點共線時取最小值，此時MQ+所以MQ+MN的最小值為故選：B.題型6.焦點弦的性質(zhì)6．（2023·四川綿陽·三臺中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線C:y=28x2的焦點為F,O為坐標(biāo)原點，P為拋物線C上一點，且滿足PF=3【答案】2【分析】根據(jù)拋物線方程求得拋物線的準(zhǔn)線方程與焦點坐標(biāo)，利用|PF|＝32，求得【詳解】由拋物線C：y=28x2得其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2所以焦點為F0,2，準(zhǔn)線方程為又因為P在拋物線C上且|PF|＝32，由拋物線定義可得y所以S△POF故答案為：22題型7.直線與拋物線的位置關(guān)系7．（2023上·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區(qū)紅橋高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，經(jīng)過點F的直線l與拋物線C交于A,B(1)若直線l的斜率為3，求|AF||FB|(2)求線段AB的長度的最小值．【答案】(1)|AF||FB|(2)4.【分析】（1）由題設(shè)直線AB:y=3(x-1)，聯(lián)立拋物線得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合已知求（2）令直線AB:x=ty+1，聯(lián)立拋物線得到關(guān)于y的一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式求得|AB|=4(1+t2【詳解】（1）由題設(shè)，F(xiàn)(1,0)，直線AB:y=3(x-1)，聯(lián)立拋物線，消去得3(x-1)2=4x由點A在第一象限，則yA所以xA=3,xB=所以|AF||FB|（2）由題設(shè)，令直線AB:x=ty+1，聯(lián)立拋物線，消去x，得y2-4ty-4=0，顯然所以yA故|AB|=1+當(dāng)且僅當(dāng)t=0時等號成立，故線段AB的長度的最小值為4.【方法三】差異對比法易錯點1.忽視定義中的限制條件而致錯1．（2024上·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交C的準(zhǔn)線l:x=-1于點N，若FM=1A．32 B．2 C．53 D【答案】A【分析】根據(jù)拋物線定義以及向量的坐標(biāo)運算法則直接計算求解即可.【詳解】如圖所示，因為拋物線C:y2=2pxp>0的準(zhǔn)線所以p2=1，所以拋物線C的方程是y2=4x，則設(shè)Mx因為FM=所以xM-1,yM=所以FM=故選：A易錯點2.忽略方程標(biāo)準(zhǔn)形式的特征而致錯2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知F是拋物線E：x2=2pyp>0的焦點，Mx0,4是拋物線E上一點，N0,7與點F不重合，點F(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點0,2的直線與拋物線E交于A，B兩點，求FA?【答案】(1)x(2)-7【分析】（1）利用垂直可求P的坐標(biāo)，利用對稱可得拋物線的方程；（2）先求出F的坐標(biāo)，利用數(shù)量積得FA?FB【詳解】（1）∵NF?NP=0，點N與點F不重合，∴NF⊥NP，∵點F關(guān)于點M的對稱點為P，∴2y∴2×4=7+p2，得∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由（1）知F0,1易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，代入x2=4y，整理得，Δ=設(shè)Ax1,∵FA=∴FA?FB=當(dāng)k=0時，F(xiàn)A?FB取得最大值，為易錯點3.忽視點與拋物線的位置關(guān)系而致錯3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點M是拋物線C：y2=4x上的動點，過點M作圓D：x-42+y2=1【答案】11【分析】設(shè)Mx0,y0，求出M【詳解】設(shè)Mx0,故當(dāng)x0=2時，MD取最小值又由圓的切線性質(zhì)可得此時MA=故答案為：11易錯點4.忽略焦點的位置而致錯4．（2023上·天津·高二天津市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）斜率為k的直線l過拋物線y2=4x的焦點，若被拋物線截得弦長為8，則k=【答案】±1【分析】求出焦點坐標(biāo)，得到直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，根據(jù)焦點弦長得到方程，求出答案.【詳解】y2=4x的焦點坐標(biāo)為1,0，直線l：聯(lián)立y2=4x得，設(shè)直線l過拋物線兩交點為Ax故x1又拋物線截得弦長為8，所以x1+x故答案為：±1【方法五】成果評定法一、單選題1．已知點是拋物線上一點，且它在第一象限內(nèi)，焦點為坐標(biāo)原點，若，，則此拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由拋物線定義知，進而可得關(guān)于參數(shù)p的坐標(biāo)，再由兩點距離公式列方程求參數(shù)p，即可確定拋物線準(zhǔn)線方程.【詳解】因為，所以，.又，所以，準(zhǔn)線方程為.故選：D.2．（2023上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線，其焦點為F，P是拋物線C上的動點，若點，點Q在以FM為直徑的圓上，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．9【答案】A【分析】由拋物線定義得到等于點P到準(zhǔn)線的距離，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)R，P，Q三點共線，且三點連線所在直線RQ過圓心H時，取得最小值，得到答案.【詳解】由題得點F的坐標(biāo)為，因為,，所以圓H的圓心為，半徑．因為點P在拋物線上，且拋物線的準(zhǔn)線為，所以等于點P到準(zhǔn)線的距離．過點P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為R．要使取到最小值，即最小，當(dāng)R，P，Q三點共線，且三點連線所在直線RQ過圓心H時，最小．如圖所示，此時.故選：A．3．（2021·高二課時練習(xí)）如圖，在同一平面內(nèi)，，為兩個不同的定點，圓和圓的半徑都為，射線交圓于點，過點作圓的切線，當(dāng)變化時，與圓的公共點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線【答案】D【分析】數(shù)形結(jié)合找出公共點M到點B與到直線m距離相等，符合拋物線定義，所以由定義可得到軌跡為拋物線.【詳解】由題意畫圖如下：設(shè)切線與圓的一個公共點為，過點作直線的垂線，過點作，垂足為，連接，則，，所以，即動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，且定點不在定直線上，根據(jù)拋物線定義知，動點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線．故選：D．4．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】B【分析】設(shè),若直線的斜率存在,設(shè)出方程并與拋物線方程聯(lián)立,可得到,再由焦半徑公式,可得,利用基本不等式可求出最小值,若直線的斜率不存在,求出此時即可,比較兩種情況的最小值,即可得到答案.【詳解】由題意,,設(shè),若直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為,聯(lián)立,即,,又,,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.若直線的斜率不存在,則直線的方程為,則,此時.綜上,的最小值為9.故選:B.5．（2021·高二課時練習(xí)）若拋物線的準(zhǔn)線方程為,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選D.6．（2020·高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為，為原點，點是拋物線的準(zhǔn)線上的一動點，點在拋物線上，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出點坐標(biāo)，作關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點，利用連點之間相對最短得出為的最小值．【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，∵，∴到準(zhǔn)線的距離為4，故點縱坐標(biāo)為2，把代入拋物線方程可得．不妨設(shè)在第一象限，則，點關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為．故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022·高二單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的有（

）個

①過雙曲線右焦點的直線被雙曲線所截線段長的最小值為②方程表示的曲線是雙曲線③若動圓過點且與直線相切，則圓心的軌跡是拋物線④若橢圓的離心率為，則實數(shù)A． B． C． D．【答案】A【分析】①直線被雙曲線所截線段長的最小值為，所以該命題錯誤；②方程表示以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，故該命題錯誤；③圓心的軌跡是拋物線，故該命題正確；④當(dāng)焦點在軸上時，解得，故該命題錯誤．【詳解】解：①過雙曲線右焦點的直線被雙曲線所截線段長的最小值為，所以該命題錯誤；②方程的幾何意義是平面內(nèi)動點到兩個定點，距離差等于6的點的軌跡，表示以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，故該命題錯誤；③若動圓過點且與直線相切，則圓心到的距離等于到直線的距離，則圓心的軌跡是拋物線，故該命題正確；④橢圓的離心率為，當(dāng)焦點在軸上時，，，則，則，解得，故該命題錯誤．故選：A8．已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（

）A． B．4 C．3 D．5【答案】A【分析】先求拋物線的焦點坐標(biāo)，從而可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及漸近線方程，再用點到直線的距離公式計算即可【詳解】解：拋物線的焦點坐標(biāo)為，雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合,,雙曲線的方程為，則雙曲線的一條漸近線方程為,即，該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于,故選：A.二、多選題9．（2021·高二課時練習(xí)）（多選）設(shè)動點B，C在拋物線上，點，直線AB，AC的傾斜角互補，BC中點的縱坐標(biāo)為，則可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】ABD【分析】由題意設(shè)直線的方程為，將直線方程和拋物線方程聯(lián)立消元后得到，借助根與系數(shù)的關(guān)系可得點的縱坐標(biāo)，同理可得點的縱坐標(biāo)，于是得到．再根據(jù)判別式得到的取值范圍，進而可得的取值范圍．【詳解】設(shè)，直線的方程為，由消去y整理得，∵直線和拋物線交于兩點，∴，解得且．又點，∴，故，∴．以代替上式中的，可得．∴，由且可得且．故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是求出兩點的坐標(biāo)，進而得到的表達(dá)式．求解時借助代數(shù)運算求解，由于解題過程中要涉及到大量的運算，所以在解題中要注意合理運用代換的方法以達(dá)到簡化運算的目的，考查轉(zhuǎn)化和計算能力．10．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）記的圖象為，如圖，一光線從x軸上方沿直線射入，經(jīng)過上點反射后，再經(jīng)過上點反射后經(jīng)過點P，直線交直線于點Q，下面說法正確的是（

）A． B．C．以為直徑的圓與直線相切 D．P，N，Q三點共線【答案】ACD【分析】由坐標(biāo)可得直線方程，聯(lián)立與拋物線方程，由韋達(dá)定理可得A；由焦點弦長公式可得，得選項B；由中點到直線的距離等于的一半可得選項C；聯(lián)立直線可得坐標(biāo)，由光學(xué)性質(zhì)可得D.【詳解】利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)，平行于對稱軸的光線，經(jīng)過拋物線的反射后集中于它的焦點；從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.因為，焦點，所以直線：.由消去y并化簡得，選項A，，，，故A正確；選項B，又，故，，故，故B錯誤；選項C，由，拋物線的準(zhǔn)線為，的中點到準(zhǔn)線的距離為，即等于的一半，即以為直徑的圓與直線相切，故C正確；選項D，直線的方程，與聯(lián)立，可得Q點的橫坐標(biāo)為，從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.由點在直線上，則三點都在直線上，故D正確.故選：ACD.11．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）若方程表示的曲線為E，則下列說法正確的是（

）A．曲線E可能為拋物線 B．當(dāng)時，曲線E為圓C．當(dāng)或時，曲線E為雙曲線 D．當(dāng)時，曲線E為橢圓【答案】BC【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合圓、圓錐曲線方程的特征逐項判斷作答.【詳解】曲線E的方程為：，顯然且，對于A，因為不論取符合條件的任何實數(shù)，曲線E的方程都不符合拋物線方程的特征，因此曲線E不可能為拋物線，A錯誤；對于B，當(dāng)時，曲線E的方程為：，曲線E為圓，B正確；對于C，當(dāng)時，曲線E的方程為：，曲線E為焦點在y軸上的雙曲線，當(dāng)時，曲線E的方程為：，曲線E為焦點在x軸上的雙曲線，因此當(dāng)或時，曲線E為雙曲線，C正確；對于D，因為當(dāng)時，曲線E為圓，因此當(dāng)時，曲線E不一定為橢圓，D錯誤.故選：BC12．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，O為坐標(biāo)原點，直線l為其準(zhǔn)線，點A，B是C上的兩個動點（不是原點O），線段與x軸交于點M，連接并延長交準(zhǔn)線于點D，則（

）A．若點M為C的焦點，則直線平行于x軸B．若點M為C的焦點，則線段的長度的最小值為4C．若，則點M為C的焦點D．若與的面積之積為定值，則點M為C的焦點【答案】AB【分析】利用設(shè)而不求得到，對于A，，則，A正確；對于B，求出，B正確；對于C，由得到，從而得到方程，求出，C錯誤；對于D，表達(dá)出與的面積之積為，得到D錯誤.【詳解】直線的斜率不為0，設(shè)點，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，因為點M在線段上，所以，聯(lián)立直線和拋物線方程得，則，所以，，直線的方程為，得，又因為，故，對于A，若為焦點，則，因為，所以，A選項正確；對于B，若為焦點，則，，則，B選項正確；對于C，若，有，即，所以，解得或0（舍去），C選項錯誤；對于D，，只需M橫坐標(biāo)為定值即可，故D錯誤.故選：AB【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．三、填空題13．（2020上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線上的兩個不同動點，點，若直線和的傾斜角互補，則線段的中點的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，用斜率公式可分別表示和，根據(jù)傾斜角互補可知，設(shè)的中點坐標(biāo)為，則，使用基本不等式求得，進而求出結(jié)果．【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，

則，，∵直線和的斜率存在且傾斜角互補，∴．由在拋物線上，得，∴，∴，∴．設(shè)的中點坐標(biāo)為，則．由題意知，，，∴，∴，即，故線段中點的軌跡方程為．【點睛】本題主要考查了直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．14．（2023上·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，過焦點的直線與拋物線交于、兩點，若，則此直線的斜率=.【答案】.【分析】根據(jù)題意，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組得到，求得，結(jié)合拋物線的定義，得到方程，進而求得直線的斜率.【詳解】由拋物線，可得其焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因為直線過拋物線的焦點，可設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，由拋物線的定義可得，解得，所以直線的斜率為.故答案為：.15．（2021·高二課時練習(xí)）已知圓x2+y26x7=0與拋物線y2=2ax的準(zhǔn)線相切，則實數(shù)a的值為.【答案】14或2【分析】求出圓的圓心與半徑，拋物線的準(zhǔn)線方程，利用已知條件列出方程求解即可．【詳解】解：圓即，圓心，半徑為4，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，可得：，或，解得或．故答案為：或2．16．（2020上·重慶云陽·高二重慶市云陽江口中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線方程為，則拋物線焦點坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線方程，直接求拋物線的焦點坐標(biāo).【詳解】因為拋物線方程為，焦點在軸，開口向下，焦點坐標(biāo)為.故答案為：四、解答題17．（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）經(jīng)過拋物線焦點的直線交該拋物線于兩點．(1)若直線的斜率是，求的值；(2)若是坐標(biāo)原點，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立方程組，然后結(jié)合拋物線的定義求解；（2）將問題分為垂直于軸與不垂直于軸求解；【詳解】（1）拋物的焦點是，直線方程是，與，聯(lián)立得：，解得，所以．（2）當(dāng)垂直于軸時，．當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)，代入得，所以，從而．故，綜上．18．（2023上·湖北·高二宜昌市一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線：與拋物線：恒有兩個交點．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時，直線過拋物線的焦點，求此時線段的長度．【答案】(1)(2)8【分析】（1）將直線方程和拋物線方程聯(lián)立消元后，根據(jù)判別式大于零得到不等式恒成立，運用數(shù)形結(jié)合法即得.(2)根據(jù)的值確定拋物線方程，兩方程聯(lián)立后再運用焦點弦公式即得.【詳解】（1）將直線與拋物線方程聯(lián)立，得，又因為直線與拋物線恒有兩個交點，所以其判別式對恒成立，故須使方程的