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未知驅(qū)動探索,專注成就專業(yè)吉林大學(xué)計算方法第七章課后習(xí)題答案7.1課后習(xí)題答案1.試用追趕法求解3×3三對角線方程組給定方程組為:a1*x1+b1*x2+0*x3=d1
c1*x1+a2*x2+b2*x3=d2
0*x1+c2*x2+a3*x3=d3其中,a1,a2,a3分別為三對角線上的主對角元素,b1,b2為上對角元素,c1,c2為下對角元素,d1,d2,d3為各個方程的右端常數(shù)項。追趕法的基本思想是將原始方程組轉(zhuǎn)化為追梯形方程組,然后通過回代求解。以下是使用追趕法求解的計算過程:矩陣求解:首先通過追趕法將原始方程組轉(zhuǎn)化為追梯形方程組,計算過程如下:p1=-b1/a1
q1=d1/a1
c1'=c1
q1'=d1
a2'=a2+p1*c1'
p2=-b2/a2'
q2=(d2-p1*q1')/a2'
c2'=c2
q2'=d3-p1*q2'
a3'=a3+p2*c2'
此時的追梯形方程組為:
a1*x1+b1*x2+0*x3=d1(1)
0*x1+a2'*x2+b2*x3=d2'(2)
0*x1+c2'*x2+a3'*x3=d3'(3)回代求解:通過回代求解追梯形方程組,即從最后一行開始依次求解x3,x2,x1的值。x3=(d3'-c2'*x2)/a3'
將x3的值代入方程(2)中,可以得到x2的值:
x2=(d2'-b2*x3)/a2'
最后,將x2和x3的值帶入方程(1)中,可以得到x1的值:
x1=(d1-b1*x2)/a1這樣,就可以得到方程組的解。2.列主元消去法和高斯消去法有什么區(qū)別?列主元消去法和高斯消去法都是求解線性方程組的常用方法,但它們在選取主元的方式上有所不同。高斯消去法是通過選取矩陣中的第一個非零元作為主元,然后利用矩陣的行變換將主元所在的列的其他元素消去,使得矩陣轉(zhuǎn)化為上三角矩陣。然后通過回代求解上三角矩陣得到方程組的解。而列主元消去法則是在每一列中選取絕對值最大的元素作為主元,并通過行變換將主元所在的行和列的其他元素消去,使得矩陣轉(zhuǎn)化為對角矩陣。與高斯消去法相比,列主元消去法選取主元的方式更加合理,可以減小誤差的傳播。然而,列主元消去法的計算量較高,需要對矩陣進(jìn)行全局搜索以找到絕對值最大的元素作為主元。因此,列主元消去法相對于高斯消去法來說,求解效率較低,但得到的結(jié)果更為準(zhǔn)確。7.2課后習(xí)題答案1.編寫一個Python函數(shù),使用追趕法求解三對角矩陣方程組。以下是使用Python編寫的求解三對角矩陣方程組的追趕法函數(shù):deftridiagonal_matrix_algorithm(a,b,c,d):
n=len(d)
#利用追趕法消元
foriinrange(1,n):
m=a[i]/b[i-1]
b[i]=b[i]-m*c[i-1]
d[i]=d[i]-m*d[i-1]
#回代求解方程組的解
x=[0]*n
x[n-1]=d[n-1]/b[n-1]
foriinrange(n-2,-1,-1):
x[i]=(d[i]-c[i]*x[i+1])/b[i]
returnx使用該函數(shù)可以方便地求解任意大小的三對角矩陣方程組。2.寫一個Python函數(shù),使用列主元消去法求解線性方程組,并輸出方程組的解。以下是使用Python編寫的求解線性方程組的列主元消去法函數(shù):importnumpyasnp
defgaussian_elimination(A,b):
n=len(b)
x=np.zeros(n)
#消元過程
foriinrange(n):
pivot=np.abs(A[i:,i]).argmax()+i
A[[i,pivot]]=A[[pivot,i]]
b[[i,pivot]]=b[[pivot,i]]
forjinrange(i+1,n):
ratio=A[j,i]/A[i,i]
A[j,i:]=A[j,i:]-ratio*A[i,i:]
b[j]=b[j]-ratio*b[i]
#回代求解
x[n-1]=b[n-1]/A[n-1,n-1]
foriinrange(n-2,-1,-1):
x[i]=(b[i]-np.dot(A[i,i+1:],x[i+1:]))/A[i,i]
returnx使用該函數(shù)可以
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