圓錐曲線練習(xí)題

未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)圓錐曲線練習(xí)題題目1給定橢圓的方程$x^2+\\dfrac{y^2}{4}=1$（1）請(qǐng)畫出橢圓的圖像。（2）求出橢圓的離心率。（3）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。（4）求出橢圓的直徑。解答（1）根據(jù)方程$x^2+\\dfrac{y^2}{4}=1$，我們可以得知橢圓的長軸在x軸上，短軸在y軸上。我們先來確定橢圓的長軸和短軸的長度。橢圓的方程可以改寫為$\\dfrac{x^2}{1^2}+\\dfrac{y^2}{2^2}=1$，從中可以看出長軸的長度是$2\\times1=2$，短軸的長度是$2\\times2=4$。知道了長軸和短軸的長度，我們可以畫出圖像，如下所示：pythonimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt橢圓方程defellipse(x,a,b):returnnp.sqrt(1-x2/a2)*bx=np.linspace(-2,2,400)y=ellipse(x,1,2)plt.plot(x,y,‘b’,label=’Ellipse’)plt.plot(x,-y,‘b’)設(shè)置坐標(biāo)軸范圍和標(biāo)簽plt.xlim(-2,2)plt.ylim(-2.5,2.5)plt.xlabel(’x’)plt.ylabel(’y’)顯示標(biāo)題和網(wǎng)格plt.title(’Ellipse’)plt.grid(True)顯示圖像plt.show()（2）離心率是衡量橢圓軌跡扁長程度的一個(gè)參數(shù)，定義為離心距與長軸長度之比。對(duì)于橢圓來說，離心率的值介于0和1之間。我們可以根據(jù)公式$e=\\sqrt{1-\\dfrac{b^2}{a^2}}$來求出離心率。代入長軸的長度a=2，短軸的長度b=4根據(jù)計(jì)算結(jié)果，我們可以得知此橢圓的離心率為虛數(shù)，表示它是一個(gè)非實(shí)的橢圓。（3）焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)重要特點(diǎn)，它是橢圓曲線上的兩點(diǎn)，與橢圓上的任意一點(diǎn)的距離和常數(shù)c之比保持不變。根據(jù)橢圓方程$x^2+\\dfrac{y^2}{4}=1$可以得到$c=\\sqrt{a^2-b^2}$。代入長軸的長度a=2，短軸的長度b=4（4）直徑是通過圓心同時(shí)與兩個(gè)最遠(yuǎn)的點(diǎn)相連的線段，直徑的長度等于兩個(gè)點(diǎn)的距離，即長軸的長度。由于已知長軸的長度為2，所以直徑的長度為2。題目2給定雙曲線的方程$x^2-\\dfrac{y^2}{9}=1$（1）請(qǐng)畫出雙曲線的圖像。（2）求出雙曲線的離心率。（3）求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)。（4）求出雙曲線的漸近線方程。解答（1）與求橢圓圖像類似，我們可以根據(jù)雙曲線的方程$x^2-\\dfrac{y^2}{9}=1$來確定雙曲線的圖像。雙曲線的方程可以改寫為$\\dfrac{x^2}{1^2}-\\dfrac{y^2}{3^2}=1$，從中可以看出雙曲線的中心在原點(diǎn)，橫軸長度為2，縱軸長度為6?，F(xiàn)在讓我們來畫出雙曲線的圖像：pythonimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt雙曲線方程defhyperbola(x,a,b):returnnp.sqrt(x2/a2-1)*bx=np.linspace(-4,4,400)y=hyperbola(x,1,3)plt.plot(x,y,‘b’,label=’Hyperbola’)plt.plot(x,-y,‘b’)設(shè)置坐標(biāo)軸范圍和標(biāo)簽plt.xlim(-4,4)plt.ylim(-6,6)plt.xlabel(’x’)plt.ylabel(’y’)顯示標(biāo)題和網(wǎng)格plt.title(’Hyperbola’)plt.grid(True)顯示圖像plt.show()（2）雙曲線的離心率是一個(gè)大于1的實(shí)數(shù)，定義為離心距與焦點(diǎn)到中心距離之比。我們可以根據(jù)公式$e=\\sqrt{1+\\dfrac{b^2}{a^2}}$來求出離心率。代入橫軸的長度a=2，縱軸的長度b=6所以此雙曲線的離心率為$\\sqrt{10}$。（3）與橢圓不同，雙曲線存在兩個(gè)焦點(diǎn)，我們可以求解焦點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)雙曲線方程$x^2-\\dfrac{y^2}{9}=1$可以得到$c=\\sqrt{a^2+b^2}$。代入橫軸的長度a=2，縱軸的長度b=6所以此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(\\sqrt{40},0)$和$(-\\sqrt{40},0)$。（4）雙曲線的漸近線是雙曲線的兩個(gè)分支在無窮遠(yuǎn)處的極限位置。雙曲線的漸近線方程可以通過觀察雙曲線的圖像來推導(dǎo)。從圖像上可以看出，雙曲線的漸近線是兩條直線$y=\\pm\\dfrac{a}x$，即$y=\\pm\\dfrac{3}{2}x$?；仡櫼幌?，橫軸長度為2，縱軸長度為6，所以$\\dfrac{a}=\\dfrac{3}{2}$。綜上所述，此雙曲線的漸近線方程是$y=\\pm\