三角形及全等三角形（共40題）-2021年中考數學真題分項匯編（解析版）【全國通用】（第01期）

2021年中考數學真題分項匯編【全國通用】（第01期）

專題16三角形及全等三角形（共40題）

姓名：班級：得分：

一、單選題

1.（2021?湖南岳陽市?中考真題）下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的內角和是720。B.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

C.內錯角相等D.三角形的重心是這個三角形的三條角平分線的交點

【答案】B

【分析】

根據相關概念逐項分析即可.

【詳解】

A、五邊形的內角和是540°，故原命題為假命題，不符合題意；

B、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，原命題是真命題，符合題意：

C,兩直線平行，內錯角相等，故原命題為假命題，不符合題意；

D、三角形的重心是這個三角形的三條中線的交點，故原命題為假命題，不符合題意；

故選：B.

【點睛】

本題考查命題判斷，涉及多邊形的內角和，三角形的三邊關系，平行線的性質，以及三角形的重心等，熟

記基本性質和定理是解題關鍵.

2.（2021?山東臨沂市?中考真題）如圖，在AB//CD中，Z4EC=40°,CB平分NDCE,則NABC的度

數為（）

C.30°D.40°

【答案】B

【分析】

根據平行線的性質得到再根據角平分線的定義得到再利用三角形外角的性

質計算即可.

【詳解】

解：'JAB//CD,

；.NABC=NBCD,

平分/DCE,

二NBCE=NBCD,

：.NBCE=NABC,

,/ZAEC=ZBCE+ZABC=40°,

，NA8C=20°,

故選B.

【點睛】

本題考查了平行線的性質，角平分線的定義和外角的性質，掌握平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等

是解題的關鍵.

3.（2021?陜西中考真題）如圖，點O、E分別在線段BC、AC上，連接A。、3E.若NA=35°,4=25。，

NC=50。，則N1的大小為（）

【答案】B

【分析】

由題意易得NBEC=105°,然后根據三角形外角的性質可進行求解.

【詳解】

解：；NB=25°,NC=50°，

...在BEC中，由三角形內角和可得NBEC=105°,

：ZA=35°,

/.Nl=ZBEC—ZA=70。；

故選B.

【點睛】

本題主要考查三角形內角和及外角的性質，熟練掌握三角形內角和及外角的性質是解題的關鍵.

4.（2021?四川樂山市?中考真題）如圖，已知直線4、4、4兩兩相交，且《，人若a=50。，則力的度

數為（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】

111垂直的定義可得/2=90。；根據對頂角相等可得4=Na=50°，再根據三角形外角的性質即可求得

//?=140。.

【詳解】

；6-L4,

Z2=90°；

：Zl=Za=50°.

N,=N1+N2=50°+90°=140°.

故選C.

【點睛】

本題考查了垂直的定義、對頂角的性質、三角形外角的性質，熟練運用三角形外角的性質是解決問題的關

鍵.

5.（2021?安徽中考真題）兩個直角三角板如圖擺放，其中N8AC=NE￡）F=90°,NE=45°,ZC=30°,

AB與DF交于點M.若BC//EF，則的大小為（）

A.60°B.67.5°C.75°D.82.5°

【答案】C

【分析】

根據BC//EF,可得NFDB=NF=45°,再根據三角形內角和即可得出答案.

【詳解】

由圖可得NB=60°,ZF=45°,

BC//EF，

NFDB=NF=45。,

:.ZBMD=1800-ZFDB-ZB=180°-45°-60°=75°,

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行線的性質和三角形的內角和，掌握平行線的性質和三角形的內角和是解題的關鍵.

6.（2021?江蘇揚州市?中考真題）如圖，點A、8、C、E在同一平面內，連接AB、BC、CD、DE、

EA,若NBGD=100。，則Z4+ZB+ZD+ZE=（）

A.220°B.240°C.260°D.280°

【答案】D

【分析】

連接8。，根據三角形內角和求出NC3Q+NCQ8,再利用四邊形內角和減去/C8Q和/CQ8的和，即可得

到結果.

【詳解】

解：連接8D,VZfiCD=100°,

ZCBD+ZCDB=180°-100°=80°,

ZA+ZABC+ZE+ZCOE=360°-ZCBD-ZCDB=360°-80°=280°,

故選D.

A

E

BD

【點睛】

本題考查了三角形內角和，四邊形內角和，解題的關鍵是添加輔助線，構造三角形和四邊形.

7.（2021?河北中考真題）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

己知：如圖，NACD是△人與。的外角.

求證：ZACD=ZA+ZB.

證法1：如圖，

?：ZA+ZB+ZACB=180°（三角形內角和定理），

又+4408=180。（平角定義），

ZACD+ZACB=ZA+NB+ZACB（等量代換）.

：.ZACD=ZA+ZB（等式性質）.

y

A

證法2：如圖，

,?,44=76。，4=59。，

且乙4。。二135。（量角器測量所得）,

XV135°=76°+59°（計算所得），

；?ZACD=/A+/B（等量代換）.

_____________________7

下列說法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整

B.證法1用嚴謹的推理證明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理

D.證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理

【答案】B

【分析】

根據三角形的內角和定理與平角的定義可判斷A與B,利用理論與實踐相結合可判斷C與。.

【詳解】

解：A.證法1給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故4不符合題意；

8.證法1給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故選項8符合題意；

C.證法2用量角器度量兩個內角和外角，只能驗證該定理的正確性，用特殊到一般法證明了該定理缺少理

論證明過程，故選項C不符合題意：

D.證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，驗證的正確性更高，就能證明該定理還需用理論證明，故選

項3不符合題意.

故選擇：B.

【點睛】

本題考查三角形外角的證明問題，命題的正確性需要嚴密推理證明，三角形外角分三種情形，銳角、直角、

和鈍角，證明中應分類才嚴謹.

8.（2021?四川瀘州市?中考真題）在銳角“ABC中，NA,NB,NC所對的邊分別為a,b,c,有以下結論：

-------=--------=-------=2R（其中K為AABC的外接圓半徑）成立.在AA8C中，若NA=75。，NB=45。,

sinAsinBsinC

c=4,則△A8c的外接圓面積為（）

16乃64%.,

A.------B.------C-16乃D.64%

33

【答案】A

【分析】

c167c

方法一：先求出/C,根據題目所給的定理，——=27?.利川圓的面積公式S,.=——.

sinC3

方法二：設△4BC的外心為0,連結04,0B,過。作OO_L4B于。，由三角形內角和可求NC=60。，由

圓周角定理可求NAO8=2NC=120。，由等腰三角形性質，NQ48=NO8A=30。，由垂徑定理可求AO=BZ）=2，

利用三角函數可求。4=述，利用圓的面積公式St,F-.

33

【詳解】

解:方法一：：NA=75°,ZB=45°,

：.ZC=180°-ZA-ZB=180o-75°-45o=60°,

2R_c=4=4=8—

有題意可知一sinC-sin60°一百一亍，

V

4百

二R亍

方法二：設△ABC的外心為0,連結04,0B,過。作于。,

VZ/4=75°,ZB=45°,

；?ZC=180°-ZA-ZB=\80o-75°-45o=60°,

???ZAOB=2ZC=2x60°=120°,

04=08,

Z048=N08A=；(180°-120°)=30°,

?：0D±AB,A8為弦,

/?AD=BD=—AB=2,

2

AAD=Oi4cos30°,

，0A=AO+COS300=2+3=^^

23

46Y16%

SM=7rR2-7lOA2-71

故答案為A.

Dy7B

【點睛】

本題考查三角形的外接圓，三角形內角和，圓周角定理，等腰三角形性質，垂徑定理，銳角三角函數，圓

的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內角和，圓周角定理，等腰三角形性質，垂徑定理，銳角二角

函數，圓的面積公式是解題關鍵.

9.（2021?重慶中考真題）如圖，在△ABC和ADCB中，ZACB^ZDBC，添加一個條件，不熊證明AMC

和AOCB全等的是（）

A.ZABC=ZDCBB.AB=DC

C.AC=DBD.zS4=ZT>

【答案】B

【分析】

根據已知條件和添加條件，結合全等三角形的判斷方法即可解答.

【詳解】

選項A,添加NABC=NZ)C3,

在△A5C和AOCB中，

ZABC=NDCB

<BC=CB

NACB=NDBC

，△ABC-ADCB(ASA),

選項B,添加AB=DC，

在△ABC和GCB中，AB=DC,BC=CB,ZACB=ZDBC,無法證明△ABC^^DCB：

選項C,添加AC=DB,

在△ABC和ADCB11'>

BC=CB

<NACB=NDBC,

AC=DB

：.^ABC^^DCB(SAS)；

選項D,添加NA=N￡),

在AABC1和ADCB中，

NA=ND

<ZACB=ZDBC,

BC=CB

△ABCgADCB(AAS)；

綜上，只有選項B符合題意.

故選B.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵.

10.（2021?重慶中考真題）如圖，點B,F,C,E共線，NB=NE,BF=EC,添加一個條件，不等判斷

△ABCHOEF的是()

C.AC=DFD.AC//FD

【答案】C

【分析】

根據全等三角形的判定與性質逐一分析即可解題.

【詳解】

解：；BF=EC,

:.BC=EF

A.添加一個條件

又BC=EF,ZB=ZE

：.AABC公ADEF(SAS)

故A不符合題意；

B.添加一個條件乙4=/￡)

又BC=EF,NB=NE

:.^ABC^^DEF(AAS)

故B不符合題意；

C.添加一個條件4C=Q/，不能判斷，故C符合題意；

D.添加一個條件AC〃尸。

:.ZACB=NEFD

又BC=EF,4B=4E

:.AABCaDEF(ASA)

故D不符合題意，

故選：C.

【點睛】

本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關

鍵.

11.(2021?浙江嘉興市?中考真題)將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中

的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是()

①②

A,等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

【答案】D

【分析】

此題是有關剪紙的問題，此類問題應親自動手折一折，剪一剪.

【詳解】

解：由題可知，AO平分N84C,折疊后△AEO與WLFO重合，故全等，所以EO=OP;

又作了的垂直平分線，即E0垂直平分A￡>,所以40=00,且ECU4。；

由平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以4EOF為平行四邊形:

又所以平行四邊形AEQF為菱形.

故選：D.

【點睛】

本題主要考察學生對于立體圖形與平面展開圖形之間的轉換能力，與課程標準中”能以實物的形狀想象出兒

何圖形，有幾何圖形想象出實物的圖形''的要求相一致，充分體現(xiàn)了實踐操作性原則.

12.（2021?四川遂寧市?中考真題）下列說法正確的是（）

A.角平分線上的點到角兩邊的距離相等

B.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.在代數式,，2x,—,9859—+2Z?,：+y中，—,一,是分式

a冗a3aa

D.若一組數據2、3、x、1、5的平均數是3,則這組數據的中位數是4

【答案】A

【分析】

根據角平分線的性質，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數，中位數的性質分別進行判斷即可.

【詳解】

解：A.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，故選項正確；

B.平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項錯誤；

C.在代數式2x,985,-+2b,中，3+26是分式，故選項錯誤；

a兀a3aa

D.若組數據2、3、x、1、5的平均數是3,則這組數據的中位數是3,故選項錯誤；

故選：A.

【點睛】

本題綜合考查了角平分線的性質，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數，中位數等知識點，熟悉相

關性質是解題的關鍵.

13.（2021?湖南婁底市?中考真題）2,5,加是某三角形三邊的長，則J（加-3）2+J（加一7）2等于（）

A.2772-10B.10-2mC.10D.4

【答案】D

【分析】

先根據三角形三邊的關系求出，〃的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結論.

【詳解】

解：???2,3,加是三角形的三邊，

5-2</〃<5+2,

解得：3cx<7,

"（4-3）~+J（加-7）~=nt—3+7-—4,

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次根式的性質及化簡，解題的關鍵是：先根據題意求出”的范圍，再對二次根式化簡.

14.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖，直線加〃〃，三角尺的直角頂點在直線機上，且三角尺的直角被

直線m平分，若N1=60°,則下列結論錯誤的是（）

1

m

A.Z2=75°B.N3=45。C.Z4=105°D.N5=130。

【答案】D

【分析】

根據角平分線的定義求出N6和/7的度數，再利用平行線的性質以及三角形內角和求出/3,Z8,N2的

度數，最后利用鄰補角互補求出N4和N5的度數.

【詳解】

首先根據三角尺的直角被直線m平分，

N6=N7=45。；

A、VZ1=6O°,N6=45°,AZ8=180°-Z1-Z6=180-60°-45°=75°,m/7n,N2=N8=75°結論正確，選項不

合題意;

>.*Z7=45°,m//n,Z3=Z7=45°,結論正確，選項不合題意；

C、；N8=75°,.../4=180-/8=180-75°=105°,結論正確，選項不合題意；

D.VZ7=45°,AZ5=180-Z7=180-45°=135°,結論錯誤，選項符合題意.

故選：D.

【點睛】

本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，三角形內角和，鄰補角互補，解答本題的關鍵是掌握平行線

的性質：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補.

15.（2021?四川資陽市?中考真題）如圖，已知直線機〃〃,/1=40。,/2=30。，則N3的度數為（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【答案】B

【分析】

如圖，由題意易得/4=/1=40。，然后根據三角形外角的性質可進行求解.

【詳解】

解：如圖，

?/w//n,Zl=40°.

N4=/l=40°,

???/2=30°，

,N3=N4+N2=70°；

故選B.

【點睛】

本題主要考查平行線的性質及三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質及三角形外角的性質是解題的關

鍵.

16.（2021?海南中考真題）如圖，已知a//。，直線/與直線a、8分別交于點48,分別以點48為圓心,

大于-AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M.N，作直線MN，交直線b于點C,連接AC,若N1=40°,

2

則Z4CB的度數是（）

A.90°B.95°C.100°D.105°

【答案】C

【分析】

根據題意可得直線是線段4B的垂直平分線，進而可得CB=AC，利用平行線的性質及等腰三角形中

等邊對等角，可得NC43=NCa4=40°,所以可求得NAC3=100°.

【詳解】

?.?己知分別以點48為圓心，大于』AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N,作直線MN,交直線，

2

于點C,連接AC,

二直線MN垂直平分線段A8,

C3=AC，

?：allh,Zl=40°.

；?NCSA=N1=40。，

NC4B=NCa4=4O°，

，ZACB=1800-ZCBA-ZCAB=100°.

故選：c.

【點睛】

題目主要考查線段垂直平分線的作法及性質、平行線的性質等，根據題意得出直線MN垂直平分線段A8

是解題關鍵.

17.（2021?四川廣元市?中考真題）觀察下列作圖痕跡，所作線段8為AABC的角平分線的是（）

B.

D.

【分析】

根據角平分線畫法逐一進行判斷即可.

【詳解】

A：所作線段為A8邊上的高，選項錯誤;

B：做圖痕跡為邊上的中垂線，為A8邊上的中線，選項錯誤;

C：8為NACB的角平分線，滿足題意。

D：所作線段為AB邊上一的高，選項錯誤

故選：C.

【點睛】

本題考查點到直線距離的畫法，角平分線的畫法，中垂線的畫法，能夠區(qū)別彼此之間的不同是解題切入點.

二、填空題

18.（2021?河北中考真題）下圖是可調躺椅示意圖（數據如圖），AE與BZ）的交點為C,且NA,DB,ZE

保持不變.為了舒適，需調整NQ的大小，使NEED=110。，則圖中ND應___________（填“增加”或“減

少”）___________度.

【分析】

先通過作輔助線利用三角形外角的性質得到/與ND、NE、NOCE之間的關系，進行計算即可判斷.

【詳解】

解：VZA+ZB=50°+60°=110°,

ZACB=180°-110°=70°,

/.ZDCE=70°,

如圖，連接CF并延長，

ZDFM=ZD+ZDCF=20°+ZDCF,

NEFM=ZE+ZECF=3Q0+ZECF,

：.ZEFD=ZDFM+ZEFM=20°+ZDCF+30°+ZECF=50°+ZDCE=500+70°=120°,

要使/EED=110。，則NEFC減少j'10。，

若只調整/￡）的大小，

由ZEFAZDFM+ZEFM=ZD+ZDCF+Z￡+ZECF=ZD+ZE+ZECD=ND+30°+70°=Z。+100°,

因此應將NO減少10度；

故答案為：①減少；②10.

【點睛】

本題考查了三角形外角的性質，同時涉及到了三角形的內角和與對頂角相等的知識；解決本題的關鍵是理

解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數形結

合的思想方法.

19.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）如圖.在中，NC=90°,AF=EF.若NbE=72°,則

ZB=.

【答案】54。

【分析】

首先根據等腰三角形的性質得出N4=NAEF,再根據三角形的外角和定理得出求出NA

的度數，最后根據三角形的內角和定理求出NB的度數即可.

【詳解】

,/AF=EF,

：.—AE尸，

NA+NAEF=NCFE=72：

：.ZA=36°,

'：ZC=90°,N4+/B+/C=180°,

，ZB=180°-ZA-ZC=54°.

故答案為：54°.

【點睛】

本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質，掌握相關定理和性質是解題的關鍵.

20.（2021?浙江中考真題）為慶祝中國共產黨建黨1（）（）周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角

星（是正五邊形的五個頂點），則圖中NA的度數是_______度.

【答案】36

【分析】

根據題意，得五邊形（F,G,H,J,K是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且AF=AK；根據多邊形內角

和性質，得正五邊形FGH/K內角和，從而得N4；再根據補角、等腰三角形、三角形內角和性質計算，即

可得到答案.

【詳解】

???正五角星（A,B,C,￡）,E是正五邊形的五個頂點）

???五邊形是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且Ab=AK

正五邊形FGHJK內角和為：（5-2）x180°=540°

/.Z3=180°-Z4=72°

?/AF=AK

，N2=N3=72°

二Zl=180°-Z2-Z3=36°

故答案為：36.

【點睛】

本題考查了正多邊形、多邊形內角和、補角、等腰三角形、三角形內角和的知識；解題的關鍵是熟練掌握

正多邊形、多邊形內角和、等腰三角形、三角形內角和的性質，從而完成求解.

21.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，8E是AABC的中線，點F在BE上,延長A77交BC于點O.若

RD

BF=3FE,則——=.

DC

【分析】

連接EO,由班是AABC的中線，得到S&\BE=S/CE，S/ED=S,EDC，由BF=3FE,得到

Ss5

產1=3,資2.=3,設5,3.=x,s田"=y,由面積的等量關系解得x=最后根據等高三角形的性質

、JFE、.FED3

SBD

解得甘皿ABD=據此解題即可.

'.ADC口。

【詳解】

解：連接

?.?BE是△ABC1的中線,

-S扒BE=SjCE，S“EO=S.EPC

???BF=3FE

qq

?U^ABF_3°ABFD_3

。一'。一

44AFEFED

設SAAEF=X，SAEFD~y?

*'-s：,=3%，sWD=3y

?e?S4ABE=4x,S.BEC~4x,SRED=4y

-S/DC~S&BEC-S"ED=4x—4y

?

??°AqADE_-"aEqDC

:.x+y=4x-4y

5

:.x=-y

3

?「△Ab。與△AOC是等高三角形，

.S.ABD=BD=3x+3y_3x+3y_3x§y+刀8y=3

'S.ADCDCx+y+4x-4y5x-3y5x^162

33

3

故答案為：

2

【點睛】

本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵.

22.（2021?四川遂寧市?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=5,AC=7,直線OE垂直平分BC,垂足為E,

交AC于點O,則AABO的周長是.

【分析】

根據線段的垂直平分線的性質得到DB=DC，根據三角形的周長公式計算即可.

【詳解】

解：???直線QE垂直平分BC,

DB=DC,

：./XABD的周長=4?+A￡>+M=AB+4）+￡>C=AB+AC=5+7=12,

故答案為：12.

【點睛】

本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的母直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解

題的關鍵.

23.（2021?云南中考真題）已知AABC的三個頂點都是同一個正方形的頂點，NABC的平分線與線段AC

交于點O.若AABC的一條邊長為6,則點O到直線AB的距離為.

【答案】3或哼或60-6或6-

【分析】

將△A8c放入正方形中，分NABC=90。，ZBAC=90°,再分另I」分AB=BC=6,AC=6,進行解答.

【詳解】

解：???△ABC三個頂點都是同一個正方形的頂點,

如圖，若/ABC=90。,

則/A8C的平分線為正方形ABCD的對角線，D為對角線交點,

過點。作OFL48,垂足為尸,

當AB=BC=6,

貝J|DF」BC=3；

2

當AC=6,

則AB=8C=*=3亞，

3

如圖，若/54C=90。，過點。作。尸，8c于凡

平分/ABC,

；.NABD=NCBD,AD=DF,

乂NBAD^/BF/)=90。,BD=BD,

:.ABADqABFD(AAS),

：.AB=BF,

當AB=AC=6,

則BC=462+62=60，

BF=6,CF=6及一6，

在正方形A8EC中，ZACB=45°,

...△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=6g-6；

當BC=6,

6

=3亞,

貝ijA8=AC=正

同理可得：6-30，

綜匕點。到直線AB的距離為：3或半或60—6或6—3加，

故答案為：3或或6加一6或6-3夜.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判

定和性質，知識點較多，解題時要結合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答.

24.（2021?廣西柳州市?中考真題）若長度分別為3,4,a的三條線段能組成一個三角形，則整數a的值可

以是.（寫出一個即可）

【答案】5（答案不唯一）

【分析】

根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進行求解即可.

【詳解】

解：由題意知：4-3<a<4+3,8|Jl<a<7,

整數a可取2、3'4、5、6中的一個，

故答案為：5（答案不唯一）.

【點睛】

本題考查三角形的三邊關系，能根據三角形的三邊關系求出第三邊。的取值范圍是解答的關鍵.

25.（2021?四川成都市?中考真題）如圖，在R/AABC中，NC=90°,AC=BC,按以下步驟作圖：①以

點A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AC,AB于點M,N；②分別以M,N為圓心，以大于的

2

長為半徑作弧，兩弧在NBAC內交于點O；③作射線AO,交8c于點立若點。到A3的距離為1,則8C

的長為.

【答案】1+72

【分析】

過點。作DEJLAB于點E,由尺規(guī)作圖AD平分44C,可求8=止=1,然后證明/EC5=NB,可得

DE=BE=l,在RROEB中，由勾股定理得出血，即可得出答案.

【詳解】

解:過點。作DELAB干點、E,

由作圖步驟知，AO平分N8AC,

-.?ZC=ZA￡￡>=90°，點D到AB的距離為1,

:.CD=DE=\

?：ZC=90°,AC=BC

：.ZB=ZCAB^45°,

：.ZEDB=180°-ZDEB-Z8=45°=ZB,

；.DE=BE=l,

在RIADEB中,由勾股定理8￡>=JQE?+8^2=五十仔=血

：.BC=DC+BD=\+yf2-

故答案為I+V2.

c

【點睛】

本題考查角平分線尺規(guī)作圖，角平分線性質，等腰直角三角形判定與性質，勾股定理，掌握角平分線尺規(guī)

作圖，角平分線性質，等腰直角三角形判定與性質，勾股定理是解題關鍵.

三、解答題

26.（2021?陜西中考真題）如圖，BD//AC,3。=8。，點七在3。上，且8￡=47.求證：ZD=ZABC.

【答案】見解析

【分析】

由題意易得NEBO=NC，進而可證也△ABC，然后問題可求證.

【詳解】

證明：???3O〃AC,

/.ZEBD=ZC.

■:BD=BC，BE=AC，

：.^EDB^ABC（SAS）.

:.ND=ZABC.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

27.（2021?湖南衡陽市?中考真題）如圖，點A、B、。、E在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求

證：△ABC絲△￡>￡：/.

【答案】見解析

【分析】

根據AC//。居BC//EF,可以得到NA=NFDE,NABC=N￡>M,然后根據題目中的條件，利用ASA證

明△ABCg/KOE/即可.

【詳解】

證明：點A,B,C,D,E在一條直線上

?；ACHDF,BCHEF

：.ZA=ZFDE,ZABC=ZDEF

在△ABC與△￡)/中

ZCAB=ZFDE

<AB=DE

NABC=NDEF

：.AABC^ADEF(ASA)

【點睛】

本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS.SSS,直

角三角形可用HL定理，但414、SSA,無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目.

28.(2021?四川樂山市?中考真題)如圖，已知AB=OC,NA=ND,AC與相交于點。，求證：

ZOBC=ZOCB.

【答案】證明見解析

【分析】

根據全等三角形的性質，通過證明得OB=OC,結合等腰三角形的性質，即可得到答

案.

【詳解】

NA=N。

V<ZAOB=ZDOC,

AB=DC

???△ABgADCO（AAS）,

二OB=OC,

二ZOBC=ZOCB.

【點睛】

本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質，從

而完成求解.

29.（2021?四川瀘州市?中考真題）如圖，點。在A8上，點E在AC上，AB=AC,NB=NC,求證：BD=CE

【答案】證明見詳解.

【分析】

根據“ASA”證明△ABE^AACD,然后根據全等三角形的對應邊相等即可得到結論.

【詳解】

證明：在△ABE和△AC。中，

ZA=ZA

■：<AB^AC,

NB=NC

△ABE四△ACD（ASA）,

：.AE=AD,

：.BD=AB-AD=AC-AE=CE.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS.ASA、A4S和HL）和

全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵.

30.(2021?云南中考真題)如圖，在四邊形ABCD中，A￡>=BC,AC=BD,AC與BO相交于點E.求證:

ZDAC=ZCBD.

【答案】見解析

【分析】

直接利用SSS證明△ACgABDC,即可證明.

【詳解】

解：在△ACD和△BDC中,

AD=BC

<AC=BD,

CD=DC

：.^ACD^^BDC(SSS),

/DAC=/CBD.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是根據題意靈活運用SSS的方法.

31.(2021?四川遂寧市?中考真題)如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC與30相交于點。過點O

的直線EF與84、DC的延長線分別交于點E、F.

(1)求證：AE=CF；

(2)請再添加一個條件，使四邊形3尸ZJE是菱形，并說明理由.

E

【答案】(1)見解析：(2)EELB力或E8=EO,見解析

【分析】

(1)根據平行四邊形的性質和全等三角形的證明方法證明NAOE苗COF,則可得到AE=CF；

(2)連接8尸，DE,由得到OE=OF,又AO=CO,所以四邊形AECF是平行四邊形,

則根據EFVBD可得四邊形BFDE是菱形.

【詳解】

證明：(1).??四邊形A3CD是平行四邊形

：.OA=OC,BE//DF

：.ZE=ZF

在△4?！辏汉?CO尸中

NE=NF

<ZAOE=NCOF

OA=OC

：.NAOE爾COF(A4S)

：.AE=CF

(2)當EFJ_BD時，四邊形BfDE是菱形，理由如下:

如圖：連結8F,DE

?四邊形ABCO足平行四邊形

:.OB=OD

'：NAOE^JCOF

，OE=OF

，四邊形班7汨是平行四邊形

:EFLBD,

.?.四邊形跳DE是菱形

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的性質與判定、平行四邊形的性質，菱形的判定等知識點，熟悉相關性質，能

全等三角形的性質解決問題是解題的關鍵.

32.(2021?江蘇連云港市?中考真題)在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動.

(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1,小亮以BE為邊作等邊三角形

BEF,如圖1,求CF的長；

(2)AABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以3E為邊作等邊三角形班廠,

如圖2,在點E從點C到點4的運動過程中，求點尸所經過的路徑長；

(3)AMC是邊長為3的等邊三角形，M是高CZ)上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN,

如圖3,在點M從點C到點。的運動過程中，求點N所經過的路徑長；

圖4

(4)正方形ABC0的邊長為3,E是邊C6上的一個動點，在點E從點C到點8的運動過程中，小亮以

3為頂點作正方形BEG”,其中點尸、G都在直線AE上，如圖4,當點E到達點8時，點F、G、”與

點8重合.則點H所經過的路徑長為,點G所經過的路徑長為

【答案】(1)1；(2)3；(3)1V3;(4)-71；還萬

244

【分析】

(1)由AA8C、△龐戶是等邊三角形，BA=BC，BE=BF，ZABE=NCBF,可證AABEgACB/7

即可;

(2)連接。尸，A4BC、ABEF是等邊三角形,可證AABEgACM,可得NBCF=NA3C，乂點E在

C處時，CE=AC,點E在A處時，點尸與C重:合.可得點尸運動的路徑的長=AC=3：

(3)取8C中點H,連接HN,由AABC、是等邊三角形，可證△￡>而會MBN,可得

NHLBC.又點M在C處時，HN=CD=￡3,點M在D處時，點N與H重合.可求點N所經過

2

的路徑的長=。。=之6：

2

(4)連接CG,AC,OB,由NCGA=90。，點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的BC上運動，由四邊形

ABCO為正方形，8c為邊長，設OC=x,由勾股定理CC>2+BO2=BC2即，可求*=逑，點G所經過的

2

QB3

路徑長為5C長=三絲乃，點H所經過的路徑長為切的長=一萬.

44

【詳解】

解：(1)VAABC.ABEF是等邊三角形,

:.BA=BC，BE=BF，ZABC=NEB/=60°.

/.ZABE+/CBE=/CBF+ZCBE，

/.ZABE=ZCBF,

：.MBE^CBF.

二CF=A￡=1；

(2)連接CF,

??,AABC、ABEF是等邊三角形,

：.BA=BC.BE=BF，ZABC=NEBF=60。.

：.ZABE+ZCBE=ZCBF+ZCBE.

/.ZABE=ZCBF,

???AABE^ACBF.

：.CF=AE,NBCF=ZBAE=60°，

ZABC=60。，

/BCF=ZABC,

；?CF//AB,

又點E在。處時，CF=AC，點￡在A處時，點F與C重合.

二點F運動的路徑的長=AC=3；

(3)取BC中點”，連接HN,

：.BH=-BC,

2

2

VCD1A8,

BD=-AB,

2

c

:.BH=BD，

'：AABC,ABMN是等邊三角形，

:.BM=BN,ZABC=NMBN=60°，

二ADBM+AMBH=/HBN+/MBH,

，ZDBM=AHBN,

XyBM”MiBN，

：.HN=DM.ABHN=ABDM=9Q°,

；?NHA.BC，

又點M在。處時，HN=8=之叵，點M在。處時，點N與”重合,

2

???點N所經過的路徑的長=CD='B

2

(4)連接CG,AC,OB,

'：NCGA=90°,

點G在以4c中點為圓心，4c為直徑的BC上運動，

???四邊形ABC。為正方形，8c為邊長，

/.ZCOB=90°,設OC=x,

由勾股定理CO2+8O2=3。2即￡+彳2=32,

.35/2

點G所經過的路徑長為BC長=$2n

71

點〃在以8c中點為圓心，BC長為直徑的弧加上運動,

點H所經過的路徑長為BN的長度，

?，點G運動圓周的四分之一，

.?.點”也運動圓周的四分一，

133

點”所經過的路徑長為S7V的長=-x2〃x-=—萬，

424

故答案為一乃；.

44

【點睛

本題考查等邊三角形的性質，三角形全等判定與性質，勾股定理，90。圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，

掌握等邊三角形的性質，三角形全等判定與性質，勾股定理，90。圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解

題關鍵.

33.（2021?四川樂山市?中考真題）在等腰AABC中，AB^AC,點。是BC邊上一點（不與點8、C重

合），連結AD.

A

(D如圖1,若NC=60°,點。關于直線AB的對稱點為點E,結AE,DE,則；

(2)若NC=6()°,將線段45繞點A順時針旋轉60。得到線段AE,連結5E.

①在圖2中補全圖形；

②探究CO與蛇的數量關系，并證明；

ARAn

(3)如圖3,若一=—=k,且NAOE=NC,試探究8￡、BD、4c之間滿足的數量關系，并證

BCDE

明.

【答案】(1)30°；(2)①見解析；②CD=BE；見解析；(3)AC=k(BD+BE),見解析

【分析】

(1)先根據題意得出△A8C是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可

(2)①按要求補全圖即可

②先根據已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明△A￡3gAAZ)C,即可得出CD=BE

(3)先證明生=生，再證明/\ACB^ADE，得出ABAC=NEAD，從而證明AA￡B^AAT>C,

ADDE

得出=從而證明=+

【詳解】

解：(1)VAB=AC,ZC=60°

.,.△A8c是等邊三角形

二ZB=60°

:點D關于直線AB的對稱點為點E

：.AB1.DE,

：.ZBDE=30°

故答案為：30°；

(2)①補全圖如圖2所示;

E

BD

②CO與BE的數量關系為：CD=BE；

證明：VAB=ACZB4C=60°.

△A5C為正三角形,

又?:A