2024屆安徽省滁州市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆安徽省滁州市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．-2 B．2 C．4 D．62．已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．3．“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知a=tan(-π5)A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a6．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為()A．，xRB．，xR且x≠0C．,xRD．，xR7．閱讀如圖所示的程序，若執(zhí)行循環(huán)體的次數(shù)為5，則程序中的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)是虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)等于（）A．-2 B．2 C． D．9．三棱錐中，，，為的中點(diǎn),分別交，于點(diǎn)、，且，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．10．如圖所示，這是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)滿足，則=（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用反證法證明命題：“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有個(gè)交點(diǎn)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸__________”．14．已知拋物線上的點(diǎn)，則到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______15．若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)__________．16．已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且．將△AED，△DCF分別沿，折起，使，兩點(diǎn)重合于，連接，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）試判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明.18．（12分）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)的最大值是，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)，為常數(shù)（Ⅰ）若時(shí)，已知在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，已知，恒成立，求的取值范圍。20．（12分）已知在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，且．（1）求角的大??；（2）若的面積，，，求的值．21．（12分）已知矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）求矩陣的特征向量．22．（10分）已知.(1)若,求.(2)設(shè)復(fù)數(shù)滿足，試求復(fù)數(shù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：由題意知隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，又知正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，得到兩個(gè)概率相等的區(qū)間關(guān)于對(duì)稱，得到關(guān)于的方程，解方程求得詳解：由題隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則與關(guān)于對(duì)稱，則故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義、函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x2（x﹣m），求導(dǎo)，把f′（﹣1）=﹣1代入導(dǎo)數(shù)f′（x）求得m的值，再令f′（x）>0，解不等式即得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．詳解：f′（x）=2x（x﹣m）+x2∵f′（﹣1）=﹣1∴﹣2（﹣1﹣m）+1=﹣1解得m=﹣2，∴令2x（x+2）+x2>0，解得,或x>0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是．故選：A．點(diǎn)睛：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．3、C【解題分析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)x是值，然后確定充分性和必要性即可.詳解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，即：，據(jù)此可知，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的充要條件本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查充分必要條件的判斷，已知復(fù)數(shù)類型求參數(shù)的方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)后可得方程至多有兩個(gè)解．因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的解，故方程有兩個(gè)不同的解，且，，最后利用函數(shù)的圖像特征可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；所以的圖像如圖所示：又時(shí)，，又的值域?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，所以方程即有兩個(gè)不同的解，令，故，解得，故選B．【題目點(diǎn)撥】復(fù)合方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，后者可先利用導(dǎo)數(shù)等工具刻畫(huà)的圖像特征，結(jié)合原來(lái)方程解的個(gè)數(shù)得到的限制條件，再利用常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)刻畫(huà)的圖像特征從而得到參數(shù)的取值范圍．5、D【解題分析】

首先通過(guò)誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)三個(gè)數(shù)，然后判斷它們的正負(fù)性，最后利用商比法判斷a,c的大小，最后選出正確答案.【題目詳解】a=tan而ac=【題目點(diǎn)撥】本題考查了誘導(dǎo)公式、以及同角三角函數(shù)關(guān)系，以及商比法判斷兩數(shù)大小.在利用商比法時(shí)，要注意分母的正負(fù)性.6、B【解題分析】

首先判斷奇偶性：A,B為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)，D既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),所以排除C、D，對(duì)于先減后增，排除A，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.7、C【解題分析】輸入執(zhí)行循環(huán)體，不滿足繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，不滿足繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，不滿足繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，不滿足繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，由題可知滿足，輸出故故選C8、C【解題分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得到答案.【題目詳解】知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)且故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.9、B【解題分析】

由已知可知，是正三角形，從而，，進(jìn)而，是的平分線，，由此能求出三棱錐體積的最大值.【題目詳解】由題意得，，所以是正三角形，分別交，于點(diǎn)、，，，，,，，是的平分線，，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則，整理得，，因此三棱錐體積的最大值為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.10、A【解題分析】由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體，上半部分為底面半徑為1，高為2的兩個(gè)半圓柱，故其體積為，故選A.11、C【解題分析】分析：由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和．詳解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，可得黑色平行四邊形的底為高為；黑色等腰直角三角形的直角邊為2，斜邊為2，大正方形的邊長(zhǎng)為2，所以，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，通過(guò)分析觀察，求得黑色平行四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型．12、D【解題分析】

先解出復(fù)數(shù)，求得，然后計(jì)算其模長(zhǎng)即可.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以所以所以故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、至少有個(gè)交點(diǎn)【解題分析】分析：反證法證明命題，只否定結(jié)論，條件不變。詳解：命題：“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有個(gè)交點(diǎn)”時(shí)，結(jié)論的反面為“與軸至少有個(gè)交點(diǎn)”。點(diǎn)睛：反證法證明命題，只否定結(jié)論，條件不變，至多只有個(gè)理解為，故否定為.14、【解題分析】

利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，求出，然后求解準(zhǔn)線方程，即可推出結(jié)果。【題目詳解】由拋物線上的點(diǎn)可得，所以拋物線方程：，準(zhǔn)線方程為，則到準(zhǔn)線的距離為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線方程，需熟記拋物線準(zhǔn)線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題。15、1【解題分析】

試題分析：由二項(xiàng)式定理可得：，因?yàn)榈南禂?shù)是，所以即，即，所以.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.16、【解題分析】

根據(jù)左右平移可得解析式；利用對(duì)稱性可得關(guān)于和的方程組；結(jié)合和的取值范圍可分別求出和的值，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由題意知：和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，解得：，又本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的平移變換、根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱性求解函數(shù)解析式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)正弦型函數(shù)對(duì)稱軸的求解方法構(gòu)造出方程組.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1）折疊前,，折疊后，，從而即可證明；（2）連接交于，連接，在正方形中，連接交于，從而可得，從而在中，，即得，從而平面.詳解：（Ⅰ）證明：∵折疊前,∴折疊后，又∵∴平面，而平面∴．（Ⅱ）平面，證明如下：連接交于，連接，在正方形中，連接交于，則，所以，又，即，在中，，所以.平面，平面，所以平面.點(diǎn)睛：本題主要考查線面之間的平行與垂直關(guān)系，注意證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直．18、（1）.（2）【解題分析】

（1）利用絕對(duì)值三角不等式即可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由絕對(duì)值三角不等式得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.為正實(shí)數(shù)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.（2）由（1）知：，即.，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取等號(hào)）.的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用絕對(duì)值三角不等式和柯西不等式求解最值的問(wèn)題；利用柯西不等式的關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知等式的形式，配湊出符合柯西不等式形式的式子，屬于?？碱}型.19、（1）（2）【解題分析】分析：⑴將代入，求出的表達(dá)式，求導(dǎo)，然后綜合只有一個(gè)極值點(diǎn)即可求出結(jié)果⑵法一：將代入，求導(dǎo)后利用單調(diào)性來(lái)求解；法二：整體思想，采用放縮法進(jìn)行求解詳解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)樵诙x域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在內(nèi)有且僅有一根，則有圖知，所以（Ⅱ），法1：因，，恒成立，則內(nèi)，先必須遞增，即先必須，即先必須，因其對(duì)稱軸，有圖知（此時(shí)在），所以法2：因，所以，所以，令，因，，所以遞增，，所以，點(diǎn)睛：本題考查了含有參量的導(dǎo)數(shù)極值問(wèn)題和恒成立問(wèn)題，在解答此類題目時(shí)將參數(shù)代入，然后根據(jù)題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，本題有一定難度。20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解出角A的余弦值，進(jìn)而得到角A；（2）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理得到a=，再結(jié)合正弦定理得到最終結(jié)果.【題目詳解】（1）∵在△ABC中2sin2A+3cos（B+C）=0，∴2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解得cosA=，或cosA=﹣2（舍去），∵0＜A＜π，∴A=；（2）∵△ABC的面積S=bcsinA=bc=5，∴bc=20，再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=21，∴a=，∴sinB+sinC∴sinB+sinC的值是.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了同角三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了三角形面積公式和正余弦定理的應(yīng)用，解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.21、（1）；（2）和.【解題分析】

（1）由題中點(diǎn)的變換得到，列方程組解出、的值，再利用逆矩陣變換求出；（2）求出矩陣的特征多項(xiàng)式，解出特征根，即可得出特征值和相應(yīng)的特征向量.【題目詳解】（1）由題意得，即，解得，，由于矩陣的逆矩陣為，因此，矩陣的逆矩陣為；（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，解特征方程，得或.①當(dāng)時(shí)，