福建省寧德市福安第六中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質量檢測試題含解析

福建省寧德市福安第六中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若離散型隨機變量的概率分布列如下表所示，則的值為()1A． B． C．或 D．2．已知，則()A．11 B．12 C．13 D．143．已知關于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形4．從1，2，3，4這4個數(shù)中，不放回地任意取兩個數(shù)，兩個數(shù)都是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．5．如圖，在三棱錐中，側面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為A． B． C． D．6．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．7．的值為（）A． B． C． D．8．用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調，則在上至多有一個零點”時，要做的假設是（）A．在上沒有零點 B．在上至少有一個零點C．在上恰好有兩個零點 D．在上至少有兩個零點9．現(xiàn)有下面三個命題常數(shù)數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列；；直線與曲線相切.下列命題中為假命題的是（）A． B．C． D．10．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．12．設函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)f（x）的最大值為﹣1，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，則向量與向量的夾角為_______________.14．下圖三角形數(shù)陣為楊輝三角：按照圖中排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)為______（用含的多項式表示）．15．下列說法中錯誤的是__________（填序號）①命題“，有”的否定是“”，有”；②已知，，，則的最小值為；③設，命題“若，則”的否命題是真命題；④已知，，若命題為真命題，則的取值范圍是.16．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，，點在上．（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積．18．（12分）已知復數(shù).（I）若，求復數(shù)；（II）若復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，求的取值范圍.19．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程；（Ⅰ）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設為曲線上的動點，求點到曲線上的距離的最小值的值.20．（12分）為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為200m，圓心角為的扇形地上建造市民廣場，規(guī)劃設計如圖：內接梯形區(qū)域為運動休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑，上，C，D在圓弧上，；上，；區(qū)域為文化展區(qū)，長為，其余空地為綠化區(qū)域，且長不得超過200m.(1)試確定A，B的位置，使的周長最大？(2)當?shù)闹荛L最長時，設，試將運動休閑區(qū)的面積S表示為的函數(shù)，并求出S的最大值.21．（12分）如圖，在四邊形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的長.22．（10分）有20件產品，其中5件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由離散型隨機變量ξ的概率分布表知：.解得.故選：A.2、B【解題分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合題意,舍去)；∴n的值為12.故選：B.3、B【解題分析】分析：根據(jù)題意利用韋達定理列出關系式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡得到A=B，即可確定出三角形形狀．詳解：設已知方程的兩根分別為x1，x2，根據(jù)韋達定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC為等腰三角形．故選B．點睛：此題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識有：根與系數(shù)的關系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．4、A【解題分析】試題分析：從4個數(shù)中任取2個數(shù)包含的基本事件有:共6個，其中兩個都是偶數(shù)的基本事件有共1個，所以所求概率為．故A正確．考點：古典概型概率．5、A【解題分析】

取BD中點,可證，為直線AC與底面BCD所成角?！绢}目詳解】取BD中點，由，，又側面底面BCD，所以。所以為直線AC與底面BCD所成角。,所以。選A.【題目點撥】本題考查線面角，用幾何法求線面角要一作、二證、三求，要有線面垂直才有線面角。6、A【解題分析】

求出f（x）的導數(shù)，利用導函數(shù)的正負，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【題目詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值問題，考查函數(shù)值的運算，屬于基礎題．7、C【解題分析】分析：直接利用微積分基本定理求解即可.詳解：，故選C.點睛：本題主要考查微積分基本定理的應用，特殊角的三角函數(shù)，意在考查對基礎知識的掌握情況，考查計算能力，屬于簡單題.8、D【解題分析】分析：利用反證法證明，假設一定是原命題的完全否定，從而可得結果.詳解：因為“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，所以用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調，則在上至多有一個零點”時，要做的假設是在上至少有兩個零點，故選D.點睛：反證法的適用范圍是，（1）否定性命題；（2）結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復雜，而反面情況較少．9、C【解題分析】分析：首先確定的真假，然后確定符合命題的真假即可.詳解：考查所給命題的真假：對于，當常數(shù)列為時，該數(shù)列不是等比數(shù)列，命題是假命題；對于，當時，，該命題為真命題；對于，由可得，令可得，則函數(shù)斜率為的切線的切點坐標為，即，切線方程為，即，據(jù)此可知，直線與曲線不相切，該命題為假命題.考查所給的命題：A.為真命題；B.為真命題；C.為假命題；D.為真命題；本題選擇C選項.點睛：本題主要考查命題真假的判斷，符合問題問題，且或非的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10、D【解題分析】

根據(jù)各選項的條件及結論，可畫出圖形或想象圖形，再結合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【題目詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內的直線不一定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【題目點撥】本題考查空間直線位置關系的判定，這種位置關系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡單證明，屬于基礎題.11、D【解題分析】

利用函數(shù)在連續(xù)可導且單調遞增，可得導函數(shù)在大于等于0恒成立即可得到的取值范圍．【題目詳解】因為函數(shù)在連續(xù)可導且單調遞增，所以在恒成立，分離參數(shù)得恒成立，即，故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)在區(qū)間內單調遞增等價于在該區(qū)間內恒成立．12、D【解題分析】

考慮x≥1時，f（x）遞減，可得f（x）≤﹣1，當x＜1時，由二次函數(shù)的單調性可得f（x）max＝1+a，由題意可得1+a≤﹣1，可得a的范圍．【題目詳解】當x≥1時，f（x）＝﹣log1（x+1）遞減，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，當且僅當x＝1時，f（x）取得最大值﹣1；當x＜1時，f（x）＝﹣（x+1）1+1+a，當x＝﹣1時，f（x）取得最大值1+a，由題意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣1．故選：D．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的最值求法，注意運用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由條件利用兩個向量垂直的性質,兩個向量的數(shù)量積的定義，求得向量與向量的夾角的余弦值,可得向量與向量的夾角的值.【題目詳解】由題意可得，即,為向量與向量的夾角），求得，故答案為.【題目點撥】本題主要考查向量的模、夾角及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.14、【解題分析】

按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…找到規(guī)律及可求出?！绢}目詳解】按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，則第行（）從左向右的第3個數(shù)為?！绢}目點撥】本題考查了歸納推理的問題，關鍵找到規(guī)律，屬于基礎題。15、①④【解題分析】①命題“，有”的否定是“?x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正確；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，則=（）（a+b）=5+≥5+2即的最小值為，正確；③設x，y∈R，命題“若xy=0，則x2+y2=0”的否命題是“若xy≠0，則x2+y2≠0”，是真命題，正確；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命題（￢q）∧p為真命題，則￢q與p為真命題，即，則x的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正確．故答案為①④．16、-2【解題分析】

將有且只有一個零點問題轉化成a＝﹣lnx，兩函數(shù)有一個交點，然后令g（x）＝﹣lnx，對g（x）進行單調性分析，即可得到g（x）的大致圖象，即可得到a的值．【題目詳解】由題意，可知：令2，即：a＝﹣lnx，x＞2．可設g（x）＝﹣lnx，x＞2．則g′（x），x＞2．①當2＜x＜2時，g′（x）＞2，g（x）單調遞增；②當x＞2時，g′（x）＜2，g（x）單調遞減；③當x＝2時，g′（x）＝2，g（x）取極大值g（2）＝﹣2．∵函數(shù)有且只有一個零點，∴a只能取g（x）的最大值﹣2．故答案為：﹣2．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)零點問題，構造函數(shù)的應用，用導數(shù)方法研究函數(shù)的單調性．屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明，轉化成證明平面即可．（2）根據(jù)，可得，從而得出體積．【題目詳解】證明：（1）取中點，連結，則，，四邊形為平行四邊形，，又，，，又，，平面，．解：（2），，三棱錐的體積為：．【題目點撥】本題考查了線線垂直的證明，通常轉化成證明線面垂直．三棱錐體積的計算，選擇不同的底對應的頂點，得到的體積相同．那么通常選擇已知的高和底從而求出體積．18、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)由題意計算可得,若，則，.(2)結合(1)的計算結果得到關于實數(shù)a的不等式，求解不等式可得的取值范圍為.試題解析：（1）,若，則，∴，∴.（2）若在復平面內對應的點位于第一象限，則且，解得，即的取值范圍為.19、(1)；.(2)當時，的最小值為.【解題分析】分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的基本關系把參數(shù)方程化為直角坐標方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式，把極坐標方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）求得橢圓上到直線的距離為，可得的最小值，以及此時的的值，從而求得點的坐標.詳解：（Ⅰ）由曲線（為參數(shù)），曲線的普通方程為：.由曲線，展開可得：，化為：.即：曲線的直角坐標方程為：.（Ⅱ）橢圓上的點到直線的距離為∴當時，的最小值為.點睛：本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉化、直線極坐標方程和直角坐標方程的轉化以及點到直線距離公式，消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，極坐標方程化為直角坐標方程，只要將和換成和即可.20、（1）、都為50m；（2）；；最大值為.【解題分析】

對于（1），設，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，結合基本不等式即可得出結論；對于（2），當△AOB的周長最大時，梯形ACBD為等腰梯形，過O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，則E、F分別為AB，CD的中點，利用已知可表示出相關線段；然后利用梯形的面積公式可知，，，令，，，結合導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求出S的最大值．【題目詳解】解：（1）設，，m，，在中，，即.所以.所以，當且僅當時，取得最大值，此時周長取得最大值.答：當、都為50m時，的周長最大.（2）當?shù)闹荛L最大時