2024屆天津市南開(kāi)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆天津市南開(kāi)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2分別為橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓C上的一點(diǎn)，且A．32 B．34 C．52．過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．3．如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是()A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)，則的圖象大致為（）A． B．C． D．5．已知直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)在上，且，則異面直線與所成角為（）A． B． C． D．6．下列幾種推理中是演繹推理的序號(hào)為（）A．由，，，…猜想B．半徑為的圓的面積，單位圓的面積C．猜想數(shù)列，，，…的通項(xiàng)為D．由平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中球的方程為7．已知，且，由“若是等差數(shù)列，則”可以得到“若是等比數(shù)列，則”用的是（）A．歸納推理 B．演繹推理 C．類(lèi)比推理 D．?dāng)?shù)學(xué)證明8．在三棱錐中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線9．設(shè)表示直線，是平面內(nèi)的任意一條直線，則“”是“”成立的（）條件A．充要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要10．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．211．一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前55個(gè)圈中的●個(gè)數(shù)是（）A．10 B．9 C．8 D．1112．一物體在力（單位）的作用下沿與力相同的方向，從處運(yùn)動(dòng)到處（單位，則力所做的功為（）A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標(biāo)系中，已知，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．14．設(shè)是定義在上、以1為周期的函數(shù)，若在上的值域?yàn)?，則在區(qū)間上的值域?yàn)椋?5．用五種不同的顏色給圖中、、、、、六個(gè)區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域不能涂同一種顏色且顏色齊全，則共有涂色方法__________種．16．為了宣傳校園文化，讓更多的學(xué)生感受到校園之美，某校學(xué)生會(huì)組織了6個(gè)小隊(duì)在校園最具有代表性的3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行視頻拍攝，若每個(gè)地點(diǎn)至少有1支小隊(duì)拍攝，則不同的分配方法有_____種（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.18．（12分）如圖，,是經(jīng)過(guò)小城的東西方向與南北方向的兩條公路，小城位于小城的東北方向，直線距離.現(xiàn)規(guī)劃經(jīng)過(guò)小城修建公路(,分別在與上)，與,圍成三角形區(qū)域.(1)設(shè)，,求三角形區(qū)域周長(zhǎng)的函數(shù)解析式;(2)現(xiàn)計(jì)劃開(kāi)發(fā)周長(zhǎng)最短的三角形區(qū)域，求該開(kāi)發(fā)區(qū)域的面積.19．（12分）已知a>0，a≠1，設(shè)p：函數(shù)y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，q：函數(shù)y＝x2＋(2a－3)x＋1的圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果p∨q真，p∧q假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．（12分）某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即抽取該流水線上件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量（單位：克）重量的分組區(qū)間為，，……，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)克的產(chǎn)品數(shù)量．（2）在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件，設(shè)為重量超過(guò)克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列．（3）從流水線上任取件產(chǎn)品，求恰有件產(chǎn)品合格的重量超過(guò)克的概率．21．（12分）某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉（稱(chēng)為A類(lèi)同學(xué)），另外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱(chēng)為B類(lèi)同學(xué)），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類(lèi)、B類(lèi)分兩層）從該年級(jí)的學(xué)生中抽查100名同學(xué)．如果以身高達(dá)到165厘米作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下列聯(lián)表：身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)積極參加體育鍛煉40不積極參加體育鍛煉15總計(jì)100（1）完成上表；（2）能否有犯錯(cuò)率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系？（的觀測(cè)值精確到0.001）．參考公式：，參考數(shù)據(jù)：P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82822．（10分）某屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)隊(duì)以26金18銀26銅的成績(jī)稱(chēng)金牌榜第三、獎(jiǎng)牌榜第二，某校體育愛(ài)好者在高三年級(jí)一班至六班進(jìn)行了“本屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”的滿(mǎn)意度調(diào)查結(jié)果只有“滿(mǎn)意”和“不滿(mǎn)意”兩種，從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了50人，具體的調(diào)查結(jié)果如表：

班號(hào)

一班

二班三班

四班

五班

六班

頻數(shù)

5

9

11

9

7

9

滿(mǎn)意人數(shù)

4

7

8

5

6

6（1）在高三年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該生持滿(mǎn)意態(tài)度的概率；（2）若從一班至二班的調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中對(duì)“本屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”不滿(mǎn)意的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)AF2⊥F1F2且O為F1【題目詳解】如下圖所示：由AF2⊥F1∵O為F1F2中點(diǎn)∴OB為ΔA又AF2本題正確選項(xiàng)：B【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練掌握橢圓通徑長(zhǎng)和對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【題目詳解】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì)，在遇到焦點(diǎn)時(shí)，善于利用雙曲線的定義來(lái)求解，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于中等題．3、A【解題分析】

觀察已知中的三個(gè)圖形，得到每一次變化相當(dāng)于“順時(shí)針”旋轉(zhuǎn)2個(gè)角，由此即可得到答案．【題目詳解】由題意，觀察已知的三個(gè)圖象，每一次變化相當(dāng)于“順時(shí)針”旋轉(zhuǎn)2個(gè)角，根據(jù)此規(guī)律觀察四個(gè)答案，即可得到A項(xiàng)符合要求，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，其中解答中熟記歸納的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某項(xiàng)相同的性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），合理使用歸納推理是解得關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

根據(jù)可知函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，排除；根據(jù)時(shí)，的符號(hào)可排除，從而得到結(jié)果.【題目詳解】，為上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，可排除，；又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可排除，知正確.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的辨析問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題通常采用排除法來(lái)進(jìn)行求解，排除依據(jù)通常為：奇偶性、特殊值符號(hào)和單調(diào)性.5、C【解題分析】

根據(jù)題意將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，由，然后再過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，從而可得異面直線與所成角.【題目詳解】由條件將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖.由條件,設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接.則，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角.在中，，所以為等邊三角形，所以故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成角，要注意補(bǔ)形法的應(yīng)用，屬于中檔題.6、B【解題分析】

根據(jù)演繹推理、歸納推理和類(lèi)比推理的概念可得答案.【題目詳解】A.是由特殊到一般，是歸納推理.B.是由一般到特殊，是演繹推理.C.是由特殊到一般，是歸納推理.D.是由一類(lèi)事物的特征，得到另一類(lèi)事物的特征，是類(lèi)比推理.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)推理類(lèi)型的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】分析：根據(jù)類(lèi)比推理的定義，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類(lèi)比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，可得結(jié)論.詳解：根據(jù)類(lèi)比推理的定義，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類(lèi)比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列類(lèi)比到等比數(shù)列的類(lèi)比推理，類(lèi)比推理一般步驟：①找出等差數(shù)列、等比數(shù)列之間的相似性或者一致性．②用等差數(shù)列的性質(zhì)去推測(cè)物等比數(shù)列的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．8、B【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【題目詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，設(shè)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡(jiǎn)得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.選B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用空間向量研究?jī)蓷l直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.9、A【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可?！绢}目詳解】因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的任意一條直線，具有任意性，若，由線面垂直的判斷定理，則，所以充分性成立；反過(guò)來(lái)，若，是平面內(nèi)的任意一條直線，則，所以必要性成立，故“”是“”成立的充要條件。故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了充分條件、必要條件的判斷，意在考查考生對(duì)基本概念的掌握情況。10、A【解題分析】

利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式可得a，再利用微積分基本定理即可得出．【題目詳解】二項(xiàng)式（ax+）6的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，則T6=××a2x2．∵x2的系數(shù)為，∴×a2=，解得a=2．則x2dx=x2dx==．故選：A．【題目點(diǎn)撥】用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)．此外，如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加11、B【解題分析】將圓分組：第一組：○●，有個(gè)圓；第二組：○○●，有個(gè)圓；第三組：○○○●，有個(gè)，…，每組圓的總個(gè)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，前組圓的總個(gè)數(shù)為，令，解得，即包含整組，故含有●的個(gè)數(shù)是個(gè),故選B.【方法點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.常見(jiàn)的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類(lèi)：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.12、C【解題分析】

本題是一個(gè)求變力做功的問(wèn)題，可以利用積分求解，由題意，其積分區(qū)間是，，被積函數(shù)是力的函數(shù)表達(dá)式，由積分公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案【題目詳解】由題意得：．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分的應(yīng)用，物理中的變力所做的功用定積分求解是定積分在物理中的重要應(yīng)用，正確解答本題的關(guān)鍵是理解功與定積分的對(duì)應(yīng)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)條件求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，可得知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為圓，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡圓有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離不大于半徑，從而列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，化簡(jiǎn)得，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，由題意可知，直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得或.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，同時(shí)也考查了利用直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是利用距離公式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.14、【解題分析】略15、960【解題分析】分析：先分析出同色區(qū)域的情況，然后其他顏色任意排即可.詳解：同色的區(qū)域可以為AC,AE,AF,BD,BF,CD,CE,DF,共8種，故共有涂色方法8種.故答案為960.點(diǎn)睛：考查排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，認(rèn)真審題，分析清楚情況是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.16、540【解題分析】

首先將6個(gè)小隊(duì)分成三組，有三種組合，然后再分配，即可求出結(jié)果．【題目詳解】（1）若按照進(jìn)行分配有種方案；（2）若按照進(jìn)行分配有種方案；（3）若按照進(jìn)行分配有種方案；由分類(lèi)加法原理，所以共有種分配方案．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，以及排列組合的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用．易錯(cuò)點(diǎn)是平均分配有重復(fù)，注意消除重復(fù)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】分析：（1）分類(lèi)討論的取值情況，去絕對(duì)值；根據(jù)最小值確定的值．（2）代入的值，由絕對(duì)值不等式確定表達(dá)式；去絕對(duì)值解不等式即可得到最后取值范圍．詳解：（1），所以最小值為，即.（2）由（1）知，恒成立，由于，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故，解得或.所以的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題綜合考查了分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式，根據(jù)絕對(duì)值不等式成立條件確定參數(shù)的范圍，屬于中檔題．18、（1）（2）開(kāi)發(fā)區(qū)域的面積為【解題分析】分析：(1)先根據(jù)直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形區(qū)域周長(zhǎng)的函數(shù)解析式;(2)令，化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)有界性確定t范圍，解得最小值，同時(shí)求出開(kāi)發(fā)區(qū)域的面積.詳解：解：（方法一）（1）如圖，過(guò)分別作、的垂線，垂足分別為、，因?yàn)樾〕俏挥谛〕堑臇|北方向，且，所以，在和中，易得，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增所以時(shí)，取得最小值.此時(shí)，，的面積答：開(kāi)發(fā)區(qū)域的面積為（方法二）（1）在中，，即所以在中，所以（2）令，則因?yàn)?，所以，所以由，得記因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)最小此時(shí)，即，所以的面積答：開(kāi)發(fā)區(qū)域的面積為點(diǎn)睛：三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．19、[，1)∪(，＋∞)．【解題分析】

先求出當(dāng)命題p，q為真命題時(shí)的取值范圍，由p∨q真，p∧q假可得p與q一真一假，由此可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可得結(jié)論．【題目詳解】當(dāng)命題p為真，即函數(shù)y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減時(shí)，可得．當(dāng)命題q為真，即函數(shù)y＝x2＋(2a－3)x＋1的圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)，可得，解得，又，所以當(dāng)q為真命題時(shí)，有．∵p∨q為真，p∧q為假，∴p與q一真一假．①若p真q假，則，解得；②若p假q真，則，解得．綜上可得或．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，1)∪(，＋∞)．【題目點(diǎn)撥】根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟：(1)求出當(dāng)命題p，q為真命題時(shí)所含參數(shù)的取值范圍；(2)判斷命題p，q的真假性；(3)根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍．20、（1）件；（2）（3）【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖得到超過(guò)克的頻率，再求出產(chǎn)品數(shù)量；（2）先得到可取的值，再分別計(jì)算每個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列；（3）根據(jù)題意得到所取的件產(chǎn)品中，件超過(guò)克，件不超過(guò)克，從而得到所求的概率.【題目詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知：重量超過(guò)克的頻率為：，所以重量超過(guò)克的產(chǎn)品數(shù)量為（件）（2）可取的值為，，，，所以的分布列為：（3）利用樣本估計(jì)總體，該流水線上重量超過(guò)克的概率為，令為任取5件產(chǎn)品中重量超過(guò)克的產(chǎn)品